Эконометрика. Учебное пособие

Примеры решения и варианты индивидуальных заданий

Ш а г 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (табл. 28, столбец 6). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S (табл. 29). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты Si . В моделях с сезонной

компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Таблица 29

Для данной модели имеем

289,667 264 271,417 293,375 11,125.

81

Эконометрика

Корректирующий коэффициент k 11,1254 2,781.

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты ( Si Si k ) и занесем полученные данные в табл. 29.

Проверим равенство нулю суммы значений сезонной компоненты:

292,448 266,781 268,636 290,593 0 .

Ш а г 3. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины

T E Y S (табл. 30, столбец 4). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Ш а г 4. Определим компоненту T данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (T + E) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:

T = 671,777 + 0,9233t.

Подставляя в это уравнение значения t = 1, 2, …, 16, найдем уровни T для каждого момента времени (табл. 30, столбец 5).

Ш а г 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням T значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов (табл. 30, столбец 6).

82

Примеры решения и варианты индивидуальных заданий

На одном графике отложим фактические значения уровней временного ряда и теоретические, полученные по аддитивной модели (рис. 8).

Рис. 8

Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных ошибок:

Следовательно, аддитивная модель объясняет 97 % общей вариации уровней временного ряда количества правонарушений по кварталам за четыре года.

Ш а г 6. Прогнозирование по аддитивной модели. Предположим, что по рассматриваемому примеру необходимо дать прогноз об общем объеме правонарушений на I и II кварталы 2003 г. Прогнозное значение Ft

уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда

T = 671,777 + 0,9233t.

Получим

T17 671,777 0,9233 17 687,473 ;

83

Эконометрика

T18 671,777 0,9233 18 688,396 .

Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны:

S1 292,448 и S2 266,781. Таким образом,

F17 T17 S1 687,473 292,448 395;

F18 T18 S2 688,396 266,781 422 .

То есть в первые два квартала 2003 г. следовало ожидать порядка 395 и 422 правонарушений соответственно.

Далее рассмотрим построение мультипликативной модели.

Ш а г 1. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методикой построения аддитивной модели.

Ш а г 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние (табл. 31, столбец 6). Эти оценки используются для расчета сезонной компоненты S (табл. 32). Для этого вычислим средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты Si . Так же как и в аддитивной модели, счи-

тается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В мультипликативной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В данном случае число периодов одного цикла равно 4.

84

Примеры решения и варианты индивидуальных заданий

Таблица 32

Имеем

0,5816 0,6167 1,3991 1,4283 4,0257 .

Определяем корректирующий коэффициент: k 4 4,0257 0,9936 .

Скорректированные значения сезонной компоненты Si получаются при умножении ее средней оценки Si на корректирующий коэффициент k.

Проверяем условие – равенство четырем суммы значений сезонной компоненты:

0,5779 0,6128 1,3901 1,4192 4 .

Ш а г 3. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. В результате получим величины T E YS (табл. 33, столбец 4), которые содержат только тенденцию и

случайную компоненту.

85

Эконометрика

Ш а г 4. Определим компоненту T в мультипликативной модели. Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, используя уровни

T E . В результате получим уравнение тренда:

T = 651,6364 + 3,2809t.

Подставляя в это уравнение значения t = 1, 2, …, 16, найдем уровни T для каждого момента времени (табл. 33, столбец 5).

Ш а г 5. Найдем уровни ряда, умножив значения T на соответствующие значения сезонной компоненты (табл. 33, столбец 6). На одном графике откладываем фактические значения уровней временного ряда и теоретические, полученные по мультипликативной модели (см. рис. 8).

Расчет ошибки в мультипликативной модели производится по фор-

муле

E Y T S .

Для сравнения мультипликативной модели и других моделей временного ряда можно, по аналогии с аддитивной моделью, использовать

Сравнивая показатели детерминации аддитивной и мультипликативной моделей, делаем вывод, что они примерно одинаково аппроксимируют исходные данные.

Варианты индивидуальных заданий

Решите задачу 4, если имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии yt жителями региона за 16 кварталов (табл. 34).

86

Примеры решения и варианты индивидуальных заданий

87

Эконометрика

ТЕСТЫ

Те с т 1. Парная регрессия и корреляция

1.Наиболее наглядным видом выбора уравнения парной регрессии является:

а) аналитический; б) графический;

в) экспериментальный (табличный).

2.Рассчитывать параметры парной линейной регрессии можно, если

унас есть:

а) не менее 5 наблюдений; б) не менее 7 наблюдений; в) не менее 10 наблюдений.

3.Суть метода наименьших квадратов состоит: а) в минимизации суммы остаточных величин;

б) минимизации дисперсии результативного признака; в) минимизации суммы квадратов остаточных величин.

4.Коэффициент линейного парного уравнения регрессии:

а) показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу;

б) оценивает статистическую значимость уравнения регрессии; в) показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат,

если фактор изменится на 1 %.

5. На основании наблюдений за 50 семьями построено уравнение

регрессии y 284,56 0,672x , где у – потребление, х – доход. Соответст-

вуют ли знаки и значения коэффициентов регрессии теоретическим представлениям:

а) да; б) нет;

в) ничего определенного сказать нельзя? 6. Коэффициент детерминации rx2y :

а) оценивает качество модели из относительных отклонений по каждому наблюдению;

б) характеризует долю дисперсии результативного признака y, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака;

88

Тесты

в) характеризует долю дисперсии y, вызванную влиянием неучтенных в модели факторов.

7. Качество модели из относительных отклонений по каждому наблюдению оценивает:

а) коэффициент детерминации rx2y ;

б) F-критерий Фишера;

в) средняя ошибка аппроксимации A.

8. Значимость уравнения регрессии в целом оценивает: а) F-критерий Фишера;

б) t-критерий Стьюдента;

в) коэффициент детерминации rx2y .

9.Классический метод оценивания параметров регрессии основан: а) на методе наименьших квадратов; б) методе максимального правдоподобия; в) шаговом регрессионном анализе.

10.Остаточная сумма квадратов равна нулю:

а) когда правильно подобрана регрессионная модель; б) когда между признаками существует точная функциональная

связь;

в) никогда.

11.Объясненная (факторная) сумма квадратов отклонений в линейной парной модели имеет число степеней свободы, равное:

а) n – 1; б) 1;

в) n – 2.

12.Остаточная сумма квадратов отклонений в линейной парной модели имеет число степеней свободы, равное:

а) n – 1; б) 1;

в) n – 2.

13.Общая сумма квадратов отклонений в линейной парной модели имеет число степеней свободы, равное:

а) n – 1; б) 1;

в) n – 2.

14.Для оценки значимости коэффициентов регрессии рассчитывают: а) F-критерий Фишера;

б) t-критерий Стьюдента;

в) коэффициент детерминации rx2y .

89

Эконометрика

15. Какое уравнение регрессии нельзя свести к линейному виду:

а) yx a b ln x ; б) yx a xb ;

в) yx a b xc ?

16. Какое из уравнений является степенным:

а) yx a b ln x ; б) yx a xb ;

в) yx a b xc ?

17.Параметр b в степенной модели является: а) коэффициентом детерминации; б) коэффициентом эластичности; в) коэффициентом корреляции.

18.Коэффициент корреляции rxy может принимать значения:

а) от –1 до 1; б) от 0 до 1; в) любые.

Те с т 2. Множественная регрессия и корреляция

1.Добавление в уравнение множественной регрессии новой объясняющей переменной:

а) уменьшает значение коэффициента детерминации; б) увеличивает значение коэффициента детерминации;

в) не оказывает никакого влияние на коэффициент детерминации.

90