Эконометрика. Учебное пособие

2. Нелинейные модели регрессии

y10 = 0,055 102 – 2,26 10 + 38,2 = 21,1, y20 = 0,055 202 – 2,26 20 + 38,2 = 15, y0 = 0,055 302 – 2,26 30 + 38,2 = 19,9.

Найденное уравнение хорошо согласуется с данными наблюдений.

2.3. Экспоненциальная и степенная регрессии

а затем уже строят линейную регрессию между ln ŷ и х для экспоненциальной регрессии и между ln ŷ и ln х для степенной регрессии.

Для вычисления параметров экспоненциальной регрессии (23) на компьютереиспользуется встроенная статистическая функция ЛГРФПРИБЛ. Порядок вычисления аналогичен применению функции ЛИНЕЙН.

Для расчета параметров степенной регрессии после преобразования исходных данных в соответствии с выражением (26) можно воспользоваться функцией ЛИНЕЙН.

П р и м е р 6. По данным проведенного опроса восьми групп семей известны данные связи расходов населения на продукты питания с уровнем доходов семьи:

Предположим, что связь между признаками носит нелинейный характер, и найдем параметры следующих нелинейных уравнений:

y a b ln x ε, y a b x ε и y a xb ε.

31

Эконометрика

a y b z 2,34 1,063 1,914 0,305.

То есть получаем следующее уравнение регрессии: yˆх 0,3051,063 ln x . Теперь заполняем столбцы 8–11 табл. 10. Имеет место обозна-

аиндекс детерминации ρ2 = 0,918, который показывает, что 91,8 % вариации результативного признака объясняется вариацией признака-фактора,

а8,2 % приходится на долю прочих факторов.

что значительно превышает табличное Fтабл 5,99.

32

2. Нелинейные модели регрессии

Изобразим на графике исходные данные и линию регрессии (рис. 2).

Рис. 2

33

Эконометрика

a y b z 2,34 0,931 2,82 0,286 .

То есть получаем уравнение регрессии в следующем виде:yx 0,286 0,931 x . Теперь заполняем столбцы 8–11 табл. 11.

Индекс корреляции находим по формуле

аиндекс детерминации ρ2 = 0,991, который показывает, что 99,1 % вариации результативного признака объясняется вариацией признака-фактора,

а0,9 % приходится на долю прочих факторов.

Средняя ошибка аппроксимации ̅= 4,98 %, следовательно, линия регрессии хорошо приближает исходные данные.

F-критерий Фишера

что значительно превышает табличное Fтабл 5,99.

Изобразим на графике исходные данные и линию регрессии (рис. 3).

Рис. 3

Для нахождения параметров регрессии y a xb ε необходимо провести ее линеаризацию, как было показано выше:

Y = A + b·X + E,

где Y ln y, X ln x, A ln a, E ln ε.

34

2. Нелинейные модели регрессии

Составим табл. 12 для преобразованных данных.

Таблица 12

A Y b X 0,750 0,551 1,914 0,305.

То есть получаем следующее уравнение регрессии: = –0,305 + 0,551X. После потенцирования имеем искомое уравнение регрессии:

yx 0,737 x0,551 . Теперь заполняем столбцы 7–10 табл. 12. Индекс корреляции вычисляем по формуле

а индекс детерминации ρ2 = 0,967, который показывает, что 96,7 % вариации результативного признака объясняется вариацией признака-фактора, а 3,3 % приходится на долю прочих факторов.

Средняя ошибка аппроксимации ̅= 4,39 %, следовательно, линия регрессии хорошо приближает исходные данные.

F-критерий Фишера

что значительно превышает табличное Fтабл 5,99.

35

Эконометрика

Изобразим на графике исходные данные и линию регрессии (рис. 4).

Рис. 4

Сравним построенные модели по индексу детерминации и средней ошибке аппроксимации (табл. 13).

Наиболее хорошо исходные данные аппроксимирует модель с квадратным корнем. Но поскольку в рассматриваемом случае индексы детерминации линейной модели и модели с квадратным корнем отличаются всего на 0,004, то вполне можно обойтись более простой линейной функцией.

36

3. Временные ряды

3. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

Методы математической статистики широко применяются для анализа экономических временных рядов.

3.1.Характеристики временных рядов. Выявление тренда

вдинамических рядах экономических показателей

В общем случае временной ряд содержит детерминированную и случайную составляющие:

уt = f(t, хt) + t, t = 1, …, Т,

где уt – значения временного ряда; f(t, хt) – детерминированная составляющая; хt – значения факторов, влияющих на детерминированную составляющую в момент t; t – случайная составляющая; Т – длина ряда.

Получив оценки детерминированной и случайной составляющих, решают задачи прогноза будущих значений как самого временного ряда, так и его составляющих.

Если детерминированная составляющая зависит только от времени и линейна относительно своих параметров, то задача сводится к задаче множественной линейной регрессии, рассмотренной выше. Действительно, в этом случае

Детерминированная составляющая, в свою очередь, представляется тремя составляющими.

Долговременная эволюторно изменяющаяся составляющая является результатом действия факторов, приводящих к постепенному изменению экономического показателя. Так, в результате научно-технического прогресса, совершенствования системы управления производством показатели эффективности производства растут, а удельные расходы на единицу полезного эффекта снижаются.

37

Эконометрика

Долговременная циклическая составляющая проявляется на протя-

жении длительного времени в результате действия факторов, обладающих большим последействием или циклически изменяющихся во времени. Например, кризисы перепроизводства или периодичность солнечной активности, влияющая на урожайность.

Сезонная циклическая составляющая легко просматривается в коле-

баниях продуктивности сельскохозяйственных животных, а также в колебаниях розничного товарооборота в зависимости от времени года.

Многие исследователи первую составляющую называют трендом, другие трендом называют все три составляющие.

Эволюторно изменяющуюся долговременную составляющую во многих практических случаях представляют в виде некоторой аналитической функции (см. ниже), тогда как долговременная и сезонная циклические со-

ставляющие представляются тригонометрическими трендами.

Для построения эволюторных трендов (моделирования тенденции) чаще всего применяются те же функции, которые были рассмотрены выше:

●линейный тренд: ŷt = b + at;

●гипербола: ŷt = b + a/t;

●экспоненциальный тренд: ŷt = еb + at (или ŷt = bat);

●тренд в форме степенной функции: ŷt = bta;

●полином порядка m: ŷt = b + a1t + a2t2 + … + amtm.

Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время t. Для нелинейных трендов предварительно проводят процедуру их линеаризации.

П р и м е р 7. Имеются помесячные данные о темпах ростазаработной платывРФзадесятьмесяцев2004 г. впроцентахкуровнюдекабря2003 г.:

Требуется выбрать наилучший тип тренда и определить его параметры. Рассчитаем параметры основных видов тренда (табл. 14).

38

3. Временные ряды

Наилучшей является степенная форма тренда в исходном виде (после потенцирования):

ŷt = е4,39∙t0,193 или ŷt = 80,32t0,193.

Наиболее простую экономическую интерпретацию имеют параметры линейного и экспоненциального трендов.

Параметры линейного тренда можно интерпретировать так: b – начальный уровень временного ряда при t = 0;

a – средний за период абсолютный прирост ряда.

Можно констатировать, что темпы роста месячной заработной платы за десять месяцев 2004 г. изменялись от 82,66 % со средним за месяц абсолютным приростом 4,72 %.

Параметры экспоненциального тренда имеют следующую интерпретацию:

b – начальный уровень временного ряда при t = 0; еa – средний за период коэффициент роста ряда.

В примере 7 уравнение экспоненциального тренда в исходной форме имеет вид

ŷt = е4,43∙е0,045t или ŷt = 83,96е0,045t.

Следовательно, темпы роста месячной заработной платы за десять

месяцев 2004 г. изменялись от 83,96 % со средним за месяц темпом роста,

равным е0,045 = 1,046.

3.2. Моделирование сезонных и циклических колебаний

Общий вид модели (аддитивной) следующий:

Y = T + S + E,

где Т – трендовая, S – сезонная и Е – случайная компоненты.

Сезонная компонента S может моделироваться с помощью тригонометрических функций, однако можно обойтись и более простым способом, суть которого разберем на простом примере.

П р и м е р 8. Пусть известны объемы потребления электроэнергии жителями района за четыре года (табл. 15).

39

Эконометрика

Данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4 (объемы потребления электроэнергии в осенне-зимний период выше, чем весной и летом).

Ша г 1. Проведем выравнивание исходных данных методом скользящей средней:

а) просуммируем уt последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один (табл. 15, столбец 3);

б) разделив эти суммы на 4, найдем скользящие средние (столбец 4); в) приведем эти значения к соответствующим кварталам, для чего определим средние значения из двух последовательных скользящих сред-

них – центрированные скользящие средние (столбец 5).

Ша г 2. Найдем оценки сезонной компоненты (табл. 15, столбец 6). Вычислим средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты:

Š1 = (0,575 + 0,55 + 0,675)/3 = 0,6, Š2 = (–2,075 – 2,025 – 1,775)/3 = –1,958,

Š3 = (–1,25 – 1,1 – 1,475)/3 = –1,275, Š4 = (2,55 + 2,7 + 2,875)/3 = 2,708.

Сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю, а у нас получилось 0,6 – 1,958 – 1,275 + 2,7 = 0,075, поэтому определяем корректирующий коэффициент k = 0,075/4 = 0,018 75. Окончательно находим сезонную компоненту Si = Ši – k.

40