Эконометрика. Учебное пособие

1. Линейная модель множественной регрессии

2)выделите область пустых ячеек 5 2 (5 строк, 2 столбца) для вывода результатов регрессионной статистики или область 1 2 для получения только оценок коэффициентов регрессии;

3)активизируйте Мастер функций любым из способов: а) в главном меню выберите Вставка/Функция; б) на панели инструментов Стандарт-

ная щелкните по кнопке Вставка функции;

4)в окне Категория выберите Статистические, в окне Функция – ЛИНЕЙН. Щелкните по кнопке ОК;

5)заполните аргументы функции:

Известные_значения_у – диапазон, содержащий данные результативного признака;

Известные_значения_х – диапазон, содержащий данные факторов независимого признака;

Константа – логическое значение, которое указывает на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении; если Константа = 1, то свободный член рассчитывается обычным образом; если Константа = 0, то свободный член равен 0;

Статистика – логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если Статистика = 1, то дополнительная информация выводится; если Статистика = 0, то выводятся только оценки параметров уравнения.

Щелкните по кнопке ОК; 6) в левой верхней ячейке выделенной области появится первый эле-

мент итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмите клавишу

<F2>, а затем – комбинацию клавиш <CTRL> + <SHIFT> + <ENTER>.

В выделенной области представляется регрессионная статистика:

Полученные данные регрессионной статистики в Excel позволяют оценить качество уравнения в целом. С их помощью можно установить степень влияния независимых величин на зависимую переменную. Таким образом, основываясь на главных факторах, можно прогнозировать и планировать развитие приоритетных направлений, принимать управленческие решения.

1.3.2. Многофакторная регрессия

Построение линейной многофакторной модели производится с помощью инструментов пакета анализа данных Корреляция и Регрессия.

21

Эконометрика

Корреляция используется для расчета матрицы парных коэффициентов корреляции. С помощью Регрессии, помимо результатов регрессионной статистики, дисперсионного анализа и доверительных интервалов, можно получить остатки и графики подбора линии регрессии, остатков и нормальной вероятности. Порядок действий следующий:

1)проверьте доступ к пакету анализа. В главном меню последовательно выберите Сервис/Надстройки. Установите флажок Пакет анализа;

2)введите исходные данные или откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные;

3)в главном меню выберите пункты Сервис/Анализ данных/Кор-

реляция;

4) заполните диалоговое окно входных данных и параметров вывода: Входной интервал – диапазон, содержащий анализируемые данные

(все столбцы или строки); Группирование – по столбцам или по строкам;

Метки – флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Выходной интервал – достаточно указать левую верхнюю ячейку диапазона;

5)представьте результаты вычислений в виде матрицы парных коэффициентов корреляции, анализ которых позволяет выполнить первый этап процесса моделирования;

6)в главном меню выберите пункты Сервис/Анализ данных/Рег-

рессия;

7)заполните диалоговое окно входных данных и параметров вывода, как в п. 4, только интервал для результативного признака Y и для факторов Х надо задавать отдельно (причем входной интервал Х должен включать все столбцы, содержащие значения факторных признаков).

В результате получаем регрессионную статистику, таблицу дисперсионного анализа и таблицу коэффициентов модели, в которой первая

строка (Y-пересечение) соответствует коэффициенту а0, а следующие строки описывают коэффициенты регрессии аi.

1.4.Линейные регрессионные модели

сгетероскедастичными и автокоррелированными остатками

При исследовании остатков i должно проверяться наличие следующих пяти предпосылок МНК:

1)случайный характер остатков;

2)нулевая средняя величина остатков, не зависящая от хi;

22

1. Линейная модель множественной регрессии

3)гомоскедастичность – дисперсия каждого отклонения i одинакова для всех значений хi;

4)отсутствие автокорреляции остатков – значения остатков i распределены независимо друг от друга;

5)подчинение остатков нормальному распределению.

Если распределение случайных остатков i не соответствует некоторым предпосылкам МНК, то следует корректировать модель.

При нарушении первых двух предпосылок необходимо либо применять другую функцию, либо вводить дополнительную информацию и заново строить уравнение регрессии.

Пятая предпосылка (о нормальном распределении остатков) позволяет проводить проверку параметров регрессии и корреляции с помощью критериев t, F. Однако и при нарушении пятой предпосылки МНК оценки регрессии обладают достаточной состоятельностью.

Совершенно необходимым для получения по МНК состоятельных оценок параметров регрессии является соблюдение третьей и четвертой предпосылок.

Если не соблюдается гомоскедастичность, то имеет место гетероскедастичность. Наличие гетероскедастичности может привести к смещенности оценок коэффициентов регрессии, а также к уменьшению их эффективности. В этом случае рекомендуется применять обобщенный метод наименьших квадратов, который заключается в том, что при минимизации суммы квадратов отклонений (5) отдельные ее слагаемые взвешиваются: наблюдениям с большей дисперсией придается пропорционально меньший вес. Чтобы убедиться в гетероскедастичности остатков и, следовательно, в необходимости использования обобщенного МНК, обычно не ограничиваются визуальной проверкой гетероскедастичности, а проводят ее эмпирическое подтверждение, в частности используют метод Гольдфельда – Квандта. Проиллюстрируем его на примере табл. 7, в которой отражена зависимость поступления налогов в бюджет yi, млн руб., от численности работающих хi , тыс. чел.

По выборочным данным строим уравнение регрессии:

ŷх = –4,565 + 1,178х.

Теоретические значения ŷх и отклонения от них фактических значений i приведены в столбцах 4 и 5 табл. 7. Очевидно, что остаточные вели-

чины i обнаруживают тенденцию к росту по мере увеличения х и у. Этот вывод подтверждается и по критерию Гольдфельда – Квандта. Для его применения необходимо выполнить следующие шаги:

● упорядочить n наблюдений по мере возрастания переменной х (выполнено);

23

Эконометрика

● исключить из рассмотрения k центральных наблюдений (рекомендовано при n = 60 принимать k = 16, при n = 30 k = 8, при n = 20 k = 4),

вданном случае исключаем строки 9–12;

●разделить совокупность на две группы (по ń = (n – k):2 = 8 наблюдений, соответственно, с малыми и большими значениями фактора х) и определить по каждой из групп уравнения регрессии (результаты представлены в табл. 8.);

●найти остаточные суммы квадратов для первой (S1) и второй (S2) групп и их отношение R = S2 : S1. Чем больше величина R превышает табличное значение F-критерия с (ń – 2) степенями свободы (см. прил. 1, табл. П1.1), тем больше нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин, т. е. наблюдается гетероскедастичность остатков.

Величина R = 2 638,4 : 68,34 = 38,6 существенно превышает табличное значение F-критерия 4,28 при 5%-м и 8,47 при 1%-м уровне значимости для числа степеней свободы 8 – 2 = 6, подтверждая тем самым наличие гетероскедастичности.

Нарушается четвертая предпосылка МНК: автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих

24

1. Линейная модель множественной регрессии

(последующих) наблюдений. Коэффициент корреляции r i j между i и j,

где i – остатки текущих наблюдений, j – остатки предыдущих наблюдений (например, j = i – 1) определяется по обычной формуле линейного коэффициента корреляции (2).

Для подсчета автокорреляции необходимо наблюдения упорядочить по значению фактора х (как в предыдущем примере) и составить ряды с текущими и предыдущими остатками. Рассмотрим расчет коэффициента корреляции между i и j, взяв в качестве примера данные из табл. 7 и перенеся их в табл. 9 (n = 19).

25

Эконометрика

Тогда σε = 15,1347, σε = 14,7663 и в соответствии с формулой (2) r i j = (48,5311 – (–0,2842)(–0,7949))/15,1347/14,7663 = 0,2161,

что при 17 степенях свободы явно незначимо и демонстрирует отсутствие автокорреляции остатков.

Автокорреляция остатков может быть вызвана несколькими причинами, имеющими различную природу. Во-первых, иногда она связана с исходными данными и обусловлена наличием ошибок измерения в значениях результативного признака. Во-вторых, причину нужно искать в формулировке модели, которая может не включать существенный фактор, влияние которого отражается в остатках, вследствие чего они оказываются автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени, поэтому проблема автокорреляции остатков весьма актуальна при исследовании динамических рядов, что будет рассмотрено в соответствующей главе.

1.5. Обобщенный метод наименьших квадратов. Прогнозирование

При нарушении гомоскедастичности и наличии автокорреляции ошибок рекомендуется традиционный метод наименьших квадратов заменять обобщенным методом. Он применяется к преобразованным данным и позволяет получать оценки, которые не только обладают свойством несмещенности, но и имеют меньшие выборочные дисперсии.

Суть метода заключается в том, что подбираются коэффициенты Ki, такие, что σ ε = σ2∙Ki, где σ ε – дисперсия ошибки при i-м значении фактора; σ2 – постоянная дисперсия ошибки при соблюдении предпосылки

26

1. Линейная модель множественной регрессии

о гомоскедастичности остатков; Ki – коэффициент пропорциональности, меняющийся с изменением величины фактора.

Уравнение парной регрессии при этом принимает вид

По отношению к обычной регрессии уравнение с новыми преобразованными переменными представляет собой взвешенную регрессию,

применяют и для множественной регрессии, уравнение с преобразованными переменными принимает вид

Параметры такой модели зависят от концепции, принятой для коэффициента пропорциональности K. В эконометрических исследованиях до-

вольно часто выдвигается гипотеза, что остатки i пропорциональны значениям фактора. Пусть, например, у – издержки производства, х1 – объем продукции, х2 – основные производственные фонды, х3 – численность работников, тогда уравнение у = 0 + 1х1 + 2х2 + 3х3 + является моделью издержек производства с объемными факторами. Предполагая, что σ ε

пропорциональна квадрату численности работников (т. е. √ = х3), получим в качестве результативного признака затраты на одного работника (у/х3), а в качестве факторов – производительность труда (х1/х3) и фондовооруженность труда (у/х3). Соответственно, трансформированная модель примет вид

у/х3 = 3 + 1х1/х3 + 2х2/х3 + ,

где найденные параметры 3, 1, 2 численно не совпадают с аналогичными параметрами предыдущей модели. Кроме того, коэффициенты регрессии меняют экономическое содержание: из показателей силы связи, характеризующих среднее изменение издержек производства с изменением абсолютного значения соответствующего фактора на единицу, они превращаются в показатели, фиксирующие среднее изменение затрат на работника в зависимости от изменения производительности труда на единицу и в зависимости от изменения фондовооруженности труда на единицу.

Если же предположить, что в первоначальной модели дисперсия остатков пропорциональна квадрату объема продукции, получаем уравнение регрессии

у/х1 = 1 + 2х2/х1 + 3х3/х1 + ,

где у/х1 – затраты на единицу продукции; х2/х1 – фондоемкость продукции; х3/х1 – трудоемкость продукции.

27

Эконометрика

Переход к относительным величинам существенно снижает вариацию фактора и, соответственно, уменьшает дисперсию ошибки.

Теперь рассмотрим, как в эконометрике используется метод прогно-

зирования.

Основная цель получения уравнения регрессии – это использование модели для анализа и прогноза поведения изучаемого экономического явления.

Прогноз осуществляется подстановкой значения фактора х в полученную формулу регрессии. Доверительный интервал для прогностического

значения у(х) = 0 + 1х определяется по формуле

где tp – критическая граница распределения Стьюдента с (n – 2) степенями свободы, соответствующая уровню значимости р.

Используем полученное в примере 1 уравнение регрессии для прогноза объема товарооборота. Пусть намечается открытие магазина с численностью работников х = 140 чел., тогда достаточно обоснованный объем товарооборота следует установить по уравнению ŷ(х) = –0,974 + + 0,019 24 140 = 1,72 млрд руб.

Для получения доверительного интервала воспользуемся выраже-

нием (15).

Выберем уровень значимости 5 %. Число степеней свободы у нас 8 – 2 = 6, тогда по таблице распределения Стьюдента (см. прил. 1, табл. П1.2) находим

1,72 – 2,447 0,039 < y(x) < 1,72 + 2,447 0,039, или 1,65 < y(x) < 1,815.

Следовательно, с вероятностью 95 % истинные значения объемов товарооборота будут лежать в пределах от 1,650 до 1,815 млрд руб.

28

2. Нелинейные модели регрессии

2.НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ

Вэтой главе будут рассмотрены различные виды и особенности построения нелинейных моделей регрессии.

2.1.Мультипликативные модели регрессии

Уравнение (13) называют аддитивным, тогда как уравнение вида

называется мультипликативным. Логарифмируя выражение (16), приходим опять к линейному уравнению регрессии. Пусть, например, требуется оце-

нить параметры производственной функции Кобба – Дугласа Y = AK L . Логарифмируя обе части, получаем

Полученная формула линейна относительно логарифмов выпуска Y, капитала K и труда L, и она может быть оценена как множественная линейная регрессия.

В частном случае, когда + = 1, осуществляется преобразование

Далее оценивается парная линейная регрессия логарифма производительности труда Y/L от логарифма капиталовооруженности K/L. Если зависимость оценивается по данным временных рядов, то часть тренда зависимой переменной может объясняться действующими во времени факторами, например, в производственной функции Кобба – Дугласа нейтральный технический прогресс учитывают с помощью множителя е t:

Таким образом, опять приходим к модели линейной регрессии.

2.2. Гиперболическая и полиномиальная регрессии

Для определения криволинейной функции регрессии по расположению точек на диаграмме рассеяния делают заключение о примерном виде этой функции, при этом необходимо учитывать особенности конкретной

29

Эконометрика

экономической задачи, в рамках которой анализируется взаимосвязь признаков.

Гиперболическая регрессия имеет вид

Выполнив замену 1/х = z, получаем линейную регрессию у = b + аz, параметры которой на компьютере можно вычислить с помощью функции

ЛИНЕЙН.

Выполнив замену zi = xi , получим уравнение линейной регрессии: y = α0 + α1z + α2z2 +…+ αmzm .

Например, глядя на рис. 1 (см. пример 2), можно предположить, что имеет место параболическая регрессия второго порядка, т. е. следует искать уравнение регрессии вида

= 0 + 1х + 2х2,

где 0, 1, 2 – неизвестные коэффициенты.

Пользуясь методом наименьших квадратов, получаем систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров:

П р и м е р 5. По данным корреляционной табл. 2 построить параболическую функцию регрессии.

Подставив данные в систему уравнений (22), получаем

Решив эту систему, найдем 2 = 0,055, 1 = –2,26, 0 = 38,2. Искомое параболическое уравнение регрессии принимает вид

= 0,055х2 – 2,26х + 38,2 (см. рис. 1, пунктирная линия).

Легко убедиться, что условные средние, вычисленные по данному уравнению, незначительно отличаются от условных средних корреляционной таблицы:

30