Числовые ряды. Учебное пособие

сходится в силу признака сравнения 1 (теорема 2.2), т.к. имеем неравенство

Пример 3

Покажем расходимость нескольких рядов, которая следует из признака сравнения 2 (следствие 1 теоремы 2.2). Ряд

расходится, так как

31

сходится по признаку Даламбера (теорема 2.4). Действительно

Пример 6

Ряд

сходится по признаку Коши (теорема 2.5). Действительно

сходится по признаку Коши (теорема 2.5). Действительно

Пример 8

где обозначение (k)!! означает произведение всех четных (нечетных) чисел от 2 до k (от 1 до k), если k четно (нечетно). Используя признак Даламбера, получим

33

Таким образом, признак Даламбера не позволяет сделать определенного утверждения о сходимости ряда. Применим признак Раабе

Пример 9

Приведем примеры на применение интегрального признака КошиМаклорена.

Обобщенный гармонический ряд

Очевидно, что I < + при p > 1 (интеграл сходится) и I = + при p 1 (расходится). Таким образом, исходный ряд также сходится при p > 1 и расходится при p 1.

Пример 10

Ряд

A

таким образом, интеграл расходится.

34

§3. Знакопеременные числовые ряды

3.1.Абсолютная и условная сходимости рядов

Вэтом параграфе изучим свойства рядов, члены которых являются вещественными числами с произвольным знаком.

Определение 1. Числовой ряд

Определение 2. Числовой ряд (3.1) называется условно сходящимся или неабсолютно сходящимся, если ряд (3.1) сходится, а ряд (3.2) расходится.

Теорема 1. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.

Доказательство. В соответствии с критерием Коши (теорема 2 в § 1) абсолютная сходимость ряда (3.1) эквивалентна выполнению соотношений

> 0, М > 0 такое, что n > M, p 1

Так как известно, что модуль суммы нескольких чисел не превосходит суммы их модулей (“неравенство треугольника”), то из (3.3) следует неравенство (справедливое для тех же, что в (3.3), чисел , М, п, р)

Выполнение последнего неравенства означает выполнение условий критерия Коши для ряда (3.1), следовательно, этот ряд сходится.

Следствие 1. Пусть ряд (3.1) сходится абсолютно. Составим из положительных членов ряда (3.1), перенумеровав их по порядку (как они встречаются в процессе возрастания индекса), положительный числовой ряд

36

Аналогично, составим из модулей отрицательных членов ряда (3.1), перенумеровав их по порядку, следующий положительный числовой ряд:

Тогда ряды (3.4) и (3.5) сходятся.

Если обозначить суммы рядов (3.1), (3.4), (3.5), соответственно,

Доказательство. Обозначим сумму ряда (3.2) через А*. По теореме 2.1 имеем, что все частичные суммы ряда (3.2) ограничены числом А*, а так как частичные суммы рядов (3.4) и (3.5) получаются в результате суммирования части членов частичных сумм ряда (3.2), то очевидно, что они тем более ограничены числом А* . Тогда, вводя соответствующие обозначения, получаем неравенства

из которых в силу теоремы 2.1 следует сходимость рядов (3.4) и (3.5).

Далее, если рассмотрим n -ую частичную сумму ряда (3.1), то в ней окажется некоторое число k положительных и некоторое число m отрицательных членов, так что

Так как числа к и m зависят от п, то очевидно, что при п одновременно к и m . Тогда, переходя в равенстве (3.7) к пределу (все пределы существуют в силу теоремы 3.1 и по доказанному выше), получаем

Следствие 2. Пусть ряд (3.I) сходится условно. Тогда ряды (3.4) и (3.5) расходятся, и формула (3.6) для условно сходящихся рядов не верна.

Доказательство. Если рассмотрим п-ую частичную сумму ряда (3.1), то так же, как и в предыдущем доказательстве, ее можно записать в виде

С другой стороны, для п-ой частичной суммы ряда (3.2) можно аналогично написать выражение

Предположим противное, то есть пусть хотя бы один из рядов (3.4) или (3.5) сходится. Тогда из формулы (3.8) ввиду сходимости ряда (3.1) следует, что и второй из рядов (соответственно, (3.5) или (3.4)) сходится как разность двух сходящихся рядов. А тогда из формулы (3.9) следует сходимость ряда (3.2), то есть абсолютная сходимость ряда (3.1), что противоречит условию теоремы о его условной сходимости.

Таким образом, из (3.8) и (3.9) следует, что так как

что и требовалось доказать.

Замечание 1 (Сочетательное свойство для рядов)

Сумма бесконечного ряда существенно отличается от суммы конечного числа элементов тем, что включает предельный переход. Поэтому привычные свойства конечных сумм часто нарушаются для рядов, либо они сохраняются только при выполнении определенных условий.

Так для конечных сумм имеет место сочетательный (ассоциативный)

закон, а именно: сумма не меняется, если элементы суммы группировать в каком угодно порядке

38

и ведем обозначения

В приведенной ниже без доказательства теореме собраны несколько важнейших утверждений, связанных с сочетательным свойством рядов.

Теорема 2

а) Если ряд (1) сходится и имеет сумму А (достаточно условной сходимости), то произвольный ряд вида (3.10) сходится и имеет ту же сумму А . То есть сходящийся ряд обладает сочетательным свойством.

б) Из сходимости какого-либо ряда вида (3.10) не следует сходимость ряда (3.1).

в) Если ряд (3.10) получен специальной группировкой, так что внутри каждой из скобок находятся слагаемые только одного знака, то из сходимости этого ряда (3.10) следует сходимость ряда (3.1).

г) Если ряд (3.1) положительный и какой-либо ряд вида (3.10) для него сходится, то ряд (3.1) сходится.

д) Если последовательность членов ряда (3.1) бесконечно малая

(то есть ап 0 ), и число слагаемых в каждой группе — члене ряда

n

(3.10) — ограничено одной постоянной М (то есть nk –nk-1 М , k = 1, 2,...), то из сходимости ряда (3.10) следует сходимость ряда (3.1).

е) Если ряд (3.1) сходится условно, то без перестановки всегда можно сгруппировать члены ряда так, что полученный ряд (3.10) будет абсолютно сходящимся.

39

Замечание 2 (Переместительное свойство для рядов)

Для конечных числовых сумм имеет место переместительный

(коммутативный) закон, а именно: сумма не меняется при любой перестановке слагаемых

a1 a2 ... an ak1 ak2 ... akn ,

где (k1, k2, … ,kn) – произвольная перестановка из набора натуральных чисел (1,

2, . . . , п ) .

Оказывается, что аналогичное свойство имеет место для абсолютно сходящихся рядов и не выполняется для условно сходящихся рядов.

Пусть имеется взаимно однозначное отображение множества натуральных чисел на себя: N N , то есть каждому натуральному числу k

Обозначим ряд, полученный из ряда (3.1) с помощью произвольной перестановки, соответствующей указанному выше отображению, следующим образом

Правила применения переместительных свойств рядов отражены в приведенных ниже без доказательств теоремах 3.3 и 3.4.

Теорема 3. Если ряд (3.1) сходится абсолютно, то ряд (3.11), полученный произвольной перестановкой членов ряда (3.1), также сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и исходный ряд.

Теорема 4 (Римана). Если ряд (3.1) сходится условно, то члены этого ряда можно переставить так, что его сумма будет равна любому наперед заданному числу D (конечному или бесконечному: ± ) или будет неопределена.

На основании теорем 3.3 и 3.4 легко установить, что условная сходимость ряда получается в результате взаимного погашения роста n-ой частичной суммы при п за счет добавления к сумме то положительных, то отрицательных слагаемых, и поэтому условная сходимость ряда существенно зависит от порядка следования членов ряда. Абсолютная же сходимость ряда является результатом быстрого убывания абсолютных величин членов ряда

a 0,

n n

и не зависит от порядка их следования.

40