Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Числовые ряды. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

3.2. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница

Среди знакопеременных рядов

рядов – знакочередующиеся ряды.
	b

Определение 3. Пусть	n	n 1

чисел bп > 0, n N. Тогда ряд вида

выделяется важный частный класс

– последовательность положительных


	( 1)	n 1	b	b b		b	b	... ( 1)	n 1	b	...
	( 1)		b	b b		b	b	... ( 1)		b	...
			n	1	2	3	4			n
										1
n 1

(3.12)

называется знакочередующимся рядом,. Для рядов вида (3.12) имеет место следующее утверждение.

Теорема 5 (Признак Лейбница). Если последовательность,

составленная из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда

(3.12), монотонно убывает до нуля
bn > bn+1, n N; lim bn 0,						(3.13)
		n
то такой знакочередующийся ряд	(3.12)		называется рядом Лейбница.
Ряд Лейбница всегда сходится. Для остатка ряда Лейбница
n				m
n			m 1	m
r		( 1)		b
	m n 1
имеет место оценка
rn = (-1)nqnbn+1, (0 qn 1)					n N,	(3.14)

Доказательство. Запишем произвольную частичную сумму ряда (3.12) с четным числом слагаемых в виде

B	2k

( 1)i 1 bi

i 1

(b	b	) (b
1	2	3

b	) ... (b
4	2k 1

b	)
2k

По условию (3.13)


есть	положительное
последовательность		B
последовательность

каждая из скобок в правой части этого выражения

число, следовательно, с			возрастанием k


2k	k 1	монотонно возрастает.	С другой стороны,

любой член В2k последовательности можно записать в виде

B2k = b1 – (b2 – b3) – (b4 – b5) - … - (b2k-2 - b2k-1) – b2k,,

и так как по условию (3.13) в каждой из скобок последнего равенства стоит положительное число, то, очевидно, выполняется неравенство

		B2k < b1,		k 1.
Таким образом, имеем	монотонно			возрастающую и ограниченную
	B

сверху последовательность		2k	k 1 ,	a такая последовательность по

известной теореме из теории пределов имеет конечный предел

lim B	2k	B b .
k	2k	1
k

Далее, рассмотрим последовательность частичных сумм ряда (3.12) с нечетным числом слагаемых, записывая каждую такую сумму в виде

B2k-1 = B2k + b2k,

и, учитывая, что общий член ряда (по условию теоремы) стремится к нулю при п , получаем

lim B2k 1	lim B2k	lim b2k	B 0 B.
k	k	k

Таким образом, доказано, что ряд (3.12) при условии (3.13) сходится и его сумма равна В .

Докажем оценку (3.14). Выше показано, что частичные суммы четного порядка В2k , монотонно возрастая, стремятся к пределу В – сумме ряда.

Рассмотрим частичные суммы нечетного порядка

B2k-1 = b1 – (b2 – b3) – (b4 – b5) - … - (b2k-2 - b2k-1).

Из этого выражения очевидно (так как выполнено условие (3.13)),

	B
что последовательность			убывает, и, следовательно, по
	2k 1	k 1

доказанному выше стремится к своему пределу В сверху. Таким образом, доказано неравенство

0 < B2k < B < B2k-1 < b1.					(3.15)
Если теперь рассмотреть остаток ряда (3.12)
n					m
n			m 1		m
r		( 1)		b
	m n 1

как новый знакочередующийся ряд с первым членом bп+1, то для этого ряда на основании неравенства (3.15) можно записать при четных и нечетных индексах соответственно

r2k = b2k+1 – b2k+2 + …, 0 < r2k < b2k+1,

r2k-1 = - b2k + b2k+1 – …,	r2k < 0, r2k-1	.< b2k.
Итак, доказано, что всегда остаток ряда Лейбница		имеет знак своего

первого члена и меньше его по абсолютной величине, то есть для него выполняется оценка (3.14). Теорема доказана.

3.3. Признаки сходимости произвольных числовых рядов

В этом пункте приведем без доказательства достаточные признаки сходимости для числовых рядов с членами, являющимися произвольными действительными числами (любого знака), более того, эти признаки пригодны и для рядов с комплексными членами.

			c

Определение	4.	Последовательность		n	n 1

последовательностью с ограниченным изменением, если сходится ряд

сn 1 сn . n 1

называется

Теорема 3.6. Всякая последовательность с ограниченным изменением

сходится.						c
						c

Теорема	3.7.	Если		последовательность			n	n 1	монотонная и
		c

ограниченная,	то		n	n 1	– последовательность с				ограниченным
изменением.

Теорема 6 (Первый обобщенный признак Абеля).

Пусть члены числового ряда

an bn n 1

(3.16)

удовлетворяют условиям:

1) последовательность частичных сумм ряда

an

n 1

ограничена, то

есть, выполняются неравенства

	n
A		a	i	L,	n N;	(3.17)
n			i			(3.17)

	b
	i 1
2) последовательность			является сходящейся к нулю (bп
2) последовательность	n	n 1	является сходящейся к нулю (bп
	n

0 при n ) последовательностью с ограниченным изменением. Тогда ряд (3.16) сходится.

Теорема 7 (Признак Дирихле).

Пусть члены числового ряда (3.16) удовлетворяют условиям:

1)последовательность частичных сумм ряда

an

n 1

ограничена

(неравенства (3.17));

2)	последовательность	b
		n

последовательностью, сходящейся к нулю Тогда ряд (3.16) сходится.



n 1	является

(bп 0 при n ).

монотонной

Теорема 8 (Второй обобщенный признак Абеля).

Пусть члены числового ряда (3.16) удовлетворяют условиям:


1)	ряд	an	сходится;
1)	ряд	n 1	сходится;
		n 1		b
				b

2)	последовательность			n	n 1

последовательностью с ограниченным изменением. Тогда ряд (3.16) сходится.

является произвольной

Теорема 9 (Признак Абеля).

Пусть члены числового ряда (3.16) удовлетворяют условиям:


1)	ряд	an	сходится;
1)	ряд	n 1	сходится;
		n 1		b
2)	последовательность			b
2)	последовательность			n

ограниченной последовательностью. Тогда ряд (3.16) сходится.

является монотонной


	Теорема 10 (Коши). Если ряды an
	Теорема 10 (Коши). Если ряды an	и bn сходятся
	n 1	n 1

абсолютно и их суммы равны, соответственно , А и В, то ряд, составленный из всех произведений вида aibj (i = 1 , 2 , . .. , ; j = 1,2, . . . , ) , занумерованных в каком угодно порядке, также сходится абсолютно и его сумма равна АВ .

3.4.Примеры

Рассмотрим вначале несколько примеров на абсолютную сходимость рядов. Ниже полагаем, что переменная х может быть любым действительным числом.

Пример 1

Ряд


	x	n



n 1	n

сходится абсолютно при х < + , так как по радикальному признаку Коши (теорема 2.5)

K		x	0 1.
K	n	n	0 1.
	n		n
			n
Пример 2
Ряд
			x	n
			x
			n!
		n 1	n!
		n 1

сходится абсолютно при х < + , так как по признаку Даламбера (теорема 2.4)

D			x		0 1.
D	n				0 1.
	n	n 1 n
		n 1 n
Пример 3
Ряд
					(s 0)
		s	n	,
		n	x	,
		n 1

а) сходится абсолютно при х < 1, так как по радикальному признаку Коши (теорема 2.5)

			s		n			n	s
K	lim n	n	s	x	n		x lim	n	n	x	1.
K	lim n	n		x			x lim		n	x	1.
	n						n
б) расходится при \|x\| 1, так как							limn		,
	K lim a						limn	s	,
								s
	n					n	n
	n						n
то есть не выполняется		необходимое						условие			сходимости ряда
(теорема 4 (§ 1)).

Пример 4
Ряд
	x	n
	x		,	(s 0)
	n	s	,	(s 0)
n 1	n
n 1

а) Сходится абсолютно при х < 1, так как по радикальному признаку Коши (теорема 2.5)

lim n

lim

б) расходится при х > 1 по тому же признаку Коши. в) сходится абсолютно при х = ±1, если s > 1, так как

		1
an
	s		(3.18)
n 1	n 1	n

есть обобщенный гармонический ряд, который сходится при s > 1 и расходится при s 1.

г) согласно (3.18) расходится при x = 1 , если 0 < s 1. д) сходится условно при x = - 1, если 0 < s 1, так как

( 1)n

n 1

есть ряд, который сходится условно по признаку Лейбница (теорема 3.5) (причем он абсолютно не сходится, см. пункт г) данного примера).

Пример 5

Ряд


	x n
n!

n 1	n

а) сходится абсолютно при х < е, так как по признаку Даламбера (теорема 2.4)

D lim

an 1

lim

б) расходится при х > е по тому же признаку Даламбера.

в) расходится при |x| = е, по признаку Даламбера (теорема 2.4) в непредельной форме, так как

D		a	n 1		e			1,	n,
D								1,	n,

	n	an				1	n
		an				1
				1
						n

в силу того, что, стоящая в знаменателе экспоненциальная последовательность стремится к своему пределу, монотонно возрастая,

Пример 6

Ряд


	x	n



n 1	a

	1	n
	1	e.
1		e.

	n	n

, (a 0 – действительное число)

а) сходится абсолютно при |x/a| < 1, то есть при |x| < |a|, так как в данном случае имеем ряд, составленный из членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = x/a, либо по радикальному признаку Коши (теорема 2.5).

б) расходится при \|x/a\| 1, то есть		при \|x\| \|a\|, так как в данном случае
нарушается необходимый признак сходимости (теорема 4 (§ 1))
		x	n
		x		0.
lim				0.

n
		a
Пример 7.
Ряд
	n	ln n def			n
( 1)	n			( 1)	n	an
( 1)		n		( 1)		an
n 2		n		n 2
n 2				n 2

а) абсолютно не сходится, так как по признаку сравнения (теорема 2.2) с гармоническим рядом в силу неравенства

a		1	,	n N,
a	n	n	,	n N,
	n

получаем, что ряд an расходится.

n 1

б) сходится условно, так как удовлетворяет условиям теоремы 3.5 Лейбница. Действительно, проверим монотонное убывание последовательности модулей членов ряда

n ln

ln(n 1)

n 1

ln n ln 1

an 1

n 1

ln n

(n 1) ln n

ln 1

ln n

(так как ln(1 x) x, x 0, 1 x )

1/ n

(так как ln n 1)

1) ln n

ln n

n 1

Итак, доказано, что ап+1 < ап , то есть последовательность модулей членов

ряда монотонно убывает, причем ап 0

при n ,

что легко показать с

помощью правила Лопиталя

ln x

1/ x

lim

ln x

lim

Таким образом, все условия теоремы 3.5 Лейбница выполнены.

3.5.Задачи для самостоятельной работы

Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:

( 1)

3n 2

n 1

( 1)n 1

7n 4

n 1

( 1)n sin

4 / 3

n 1

4. ( 1)n

n 1

( 1)

n 1

2n 3

n 1


6.	( 1)	n 1
	( 1)

	n 1

	( 1)		n
7.	( 1)
7.	n 1
	n 1

		cos		2	n
		cos			n
4	n	3	3n 2
	n		3n 2
1			1
1
	ln(n 1)

Литература

1.Чезаро Э. Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечно малых. Москва-Ленинград, ОНТИ, 1936.

2.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.

Москва, Наука. 1967–1969, тт. 1–3.

3.Абасов Н.М., Запреев А.С. Элементарная теория числовых рядов. Новосибирск: Издательство НИИ МИОО НГУ, 1998.

4.Воронин Д.В. Числовые ряды (учебное пособие). Новосибирск, Изд-во НГТУ, 2005.

5.Смирнов В.И. Курс высшей математики. Москва, Наука, 1967–1970, тт. 1–5.

6.Дьедоне Ж. Основы современного анализа. Москва, Мир. 1964.

7.Рудин У. Основы математического анализа. Москва, Мир, 1976.

8.Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ.

Москва, изд. МГУ, 1985–1987, тт. 1–2.

9.Никольский С.М. Курс математического анализа. Москва, Наука, 1983, тт. 1–

10.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Москва. Высшая школа, 1988, тт. 1–3.

Учебное издание

Воронин Дмитрий Владимирович

Числовые ряды

Учебное пособие

Корректор И.Л. Гончарова

Подписано в печать 19.03.2021, заказ № 26 п. л. 3,4, 50 стр., электронная версия – 1,02 Мб

Отдел рекламы и PR СибГУТИ

630102, г. Новосибирск, ул. Кирова, 86, офис 105 тел. (383) 269-83-56

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]