Числовые ряды. Учебное пособие

б) либо расходящимся при q1.

Ниже в формулировках и доказательствах теорем обратные утверждения и условия записываем в скобках сразу за соответствующими прямыми.

то ряд сходится (расходится).

(Признак Даламбера в предельной форме). Если для членов указанного выше, ряда выполняетесь условие:

с помощью которых, используя неравенства (2.6), получаем соотношения:

теоремы 2.3 получаем сходимость (расходимость) ряда an .

n 1

21

Докажем второе утверждение. Из условия (2.7) и определения верхнего (нижнего) предела последовательности следует, что существуют число >0 и номер М такие, что выполняется неравенство

Dn<1- (Dn>1) n M.

Очевидно, что число (1- ) играет роль числа q в первом утверждении данной теоремы, из которого следует сходимость (расходимость) исследуемого ряда, что и требовалось доказать.

При доказательстве данной теоремы мы пользовались признаком сравнения рядов в форме теоремы 2.3. При доказательстве следующего признака сходимости воспользуемся признаком сравнения рядов в форме теоремы 2.2.

то ряд сходится (расходится).

Радикальный признак Коши в предельной форме. Если для членов указанного выше ряда выполняется условие:

Доказательство. Докажем первое утверждение. Положим bn=qn (bn=1). Тогда из неравенства (2.8) получаем

an bn (an bn),

полученного неравенства следует сходимость (расходимость) ряда an .

n 1

Докажем второе утверждение. Из условия (2.7) и определения верхнего (нижнего) предела последовательности следует, что существуют число >0 и номер М такие, что выполняется неравенство

Очевидно, что число (1- ) играет роль числа q в первом утверждении данной теоремы, из которого следует сходимость (расходимость) исследуемого ряда, что и требовалось доказать.

Замечание 3. В непредельных формулировках теорем 2.4 и 2.5 неравенства

для него:

Замечание 4. Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых выполняются соотношения

однако первый ряд расходится, а второй сходится. Напомним, что если последовательность имеет предел, то все частичные (в частности, верхний и нижний) пределы ее совпадают с этим пределом.

Другими словами, если, например, предел последовательности Коши или

последовательности Даламбера для исследуемого ряда an существует и

n 1

равен 1, то ничего о сходимости или расходимости ряда сказать нельзя. В этом случае требуется дополнительное исследование.

23

существует предел его последовательности Коши:

предел же последовательности Даламбера для него не существует:

2.4. Достаточные признаки Раабе, Куммера, Бертрана, Гаусса

В случаях, когда признаки Даламбера и Коши не дают результата, иногда утвердительный ответ могут дать признаки, основанные на сравнении с другими рядами, сходящимися или расходящимися ''медленнее", чем ряд геометрической прогрессии.

Приведем без доказательства формулировки четырех более громоздких признаков сходимости рядов. Доказательства этих признаков основаны также на признаках сравнения 1, 2, 3 (теоремы 2.2 и 2.3) исследуемого ряда с некоторыми рядами, сходимость или расходимость которых уже установлена. Эти доказательства можно найти, например, в фундаментальном учебнике Г.М. Фихтенгольца ([2], т. 2).

Теорема 6 (Признак Раабе). Если для членов положительного числового

то ряд сходится (расходится).

(Признак Раабе в предельной форме). Если для членов указанного выше ряда выполняется условие

то ряд сходится (расходится).

24

Замечание 6. Если сравнить признаки Даламбера и Раабе, то можно показать, что второй значительно сильнее первого.

то для последовательности Раабе существует предел

Таким образом, если признак Даламбера дает ответ на вопрос о

причем эти случаи охватываются всего двумя из возможных значений R: + и - . Все остальные случаи конечного R 1, когда признак Раабе дает утвердительный ответ на вопрос о сходимости или расходимости ряда, соответствуют случаю D = 1, то есть случаю, когда признак Даламбера не дает утвердительный ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда.

Теорема 7 (Признак Куммера). Пусть {сn} – произвольная последовательность положительных чисел. Если для членов положительного

неравенство

25

Из признака Куммера, как следствия, легко получить доказательства признаков Даламбера, Раабе и признака Бертрана. Последний получается, если в качестве последовательности {сn} взять

сn=n·ln n, n N,

для которой ряд

расходится (расходимость этого ряда будет показана в примерах данного параграфа).

Теорема 8 (Признак Бертрана в предельной форме).

последовательность Бертрана

Ниже сформулируем признак Гаусса – наиболее мощный в последовательности, расположенных по возрастанию области применимости, признаков сходимости рядов: Даламбера, Раабе и Бертрана. Признак Гаусса обобщает всю мощь предыдущих признаков и позволяет изучать значительно более сложные ряды, но, с другой стороны, для его применения требуется проводить более тонкие исследования, чтобы получить асимптотическое разложение отношения соседних членов ряда до второго порядка малости

1

относительно величины n .

26

Рассмотренные выше признаки сходимости рядов основаны на теоремах сравнения и являются достаточными, то есть при выполнении условий признака для данного ряда можно сделать определенные утверждения о его поведении, но если условия признака для него не выполнены, то ничего о сходимости ряда утверждать нельзя, он может как сходиться, так и расходиться.

Интегральный признак Коши-Маклорена отличается от изученных выше по содержанию, будучи необходимым и достаточным, а также по форме, базируясь на сопоставлении бесконечной суммы (ряда) с бесконечным (несобственным) интегралом и демонстрирует естественную взаимосвязь, существующую между теорией рядов и теорией интегралов. Эта взаимосвязь легко прослеживается также на примере признаков сравнения, аналоги которых имеют место для несобственных интегралов и их формулировки почти дословно совпадают с формулировками для рядов. Полная аналогия наблюдается также в формулировках достаточных признаков сходимости произвольных числовых рядов, которые будут изучены в следующем параграфе, и признаков сходимости несобственных интегралов, таких как признаки сходимости Абеля и Дирихле.

Ниже будут приведены также "телескопический" признак Коши и оригинальный признак сходимости рядов, полученный российским математиком В.II. Ермаковым, который по своей мощности имеет примерно ту же область применения, что и интегральный признак Коши-Маклорена, однако не содержит в формулировке терминов и понятий интегрального исчисления.

27

Теорема 10 (Признак Коши-Маклорена).

некоторого номера М, выполняется равенство

Числовой ряд an сходится тогда и только тогда, когда сходится

n 1

несобственный интеграл

и ряд расходится, если предел I=+ .

Доказательство. В силу теоремы 1 (§ 1) очевидно, что без ограничения общности можем считать М = 1, так как, отбросив (М - 1) членов ряда и сделав

Далее заметим, что неотрицательная и невозрастающая на полупрямой {х1} функция f(х) удовлетворяет условиям интегрируемости по Риману на любом конечном промежутке [1, А] и поэтому рассмотрение соответствующего несобственного интеграла имеет смысл.

Перейдем к доказательству. На любом сегменте единичной длины m х

m + 1 в силу невозрастания f(х) , выполняется неравенство f m f x f m 1 .

Проинтегрировав его по отрезку [m, m + 1] и воспользовавшись соответствующим свойством определенного интеграла, получим неравенство

28

Так как f(х) неотрицательная функция, то интеграл

является неубывающей непрерывной функцией аргумента А. Тогда

а) если S < + (то есть ряд сходится), то для неубывающей непрерывной функции I(А) А 1 существует номер n такой, что n + 1 А, и I(А) I(n + 1)

Sn S , а следовательно lim I A I S , то есть интеграл сходится; A

б) если S = + (то есть ряд расходится), то для любого достаточно большого А существует n А такой что I(А) I(n) Sn - f(1) + (n ), то есть интеграл расходится. Что и требовалось доказать.

Приведем без доказательства еще два интересных признака сходимости.

29

Теорема 12 (Признак Ермакова В.П.). Пусть члены положительного

где функция (х) кусочно-непрерывна, положительна и монотонно убывает при х М0.

Тогда если существует число М М0 такое, что для всех х М

2.6. Примеры применения признаков сходимости

Пример 1

С помощью теоремы 2.2 легко исследовать на сходимость следующий ряд

Если а 1, то нарушается необходимый признак сходимости (теорема 4

(§ 1))

30