Числовые ряды. Учебное пособие

Пример 3

Нетрудно вычислить и сумму следующего ряда, воспользовавшись свойством (1.7) и формулой суммы ряда геометрической прогрессии:

Пример 4

Рассмотрим ряд

11

Докажем сходимость этого ряда и вычислим его сумму. Представим n-й член ряда в виде

тогда n-ая частичная сумма представляется в виде

Отметим, что, хотя рассматриваемый ряд расходится, тем не менее, необходимый признак сходимости ряда для него выполняется. Действительно

Пример 6

Непосредственным вычислением предела последовательности частичных сумм, найдем сумму следующего интересного ряда:

Докажем с помощью метода математической индукции, что справедлива следующая формула для n-ой частичной суммы данного ряда:

12

Докажем, что из предположения о выполнимости формулы (1.11) для произвольного n следует ее выполнение для (n+1):

Подставляя в нее a=arctgx и b=arctgy, получим формулу

Таким образом, методом математической индукции формула (1.11) доказана для произвольного n. Отсюда получаем

Пример 7

Используя критерий Коши, нетрудно доказать сходимость следующего

Ряд

1

n n

n 1

членов данного ряда содержит в себе по крайней мере две подпоследовательности {a2k-1} и {a2k} (k = 1,2,3,...}, имеющие различные пределы:

14

Пример 10

Пример 11

Ряд

удовлетворяет необходимому признаку сходимости (теорема 4), но он расходится, так как номера k < n имеем: ak > an . Тогда частичные суммы этого ряда Sn удовлетворяют неравенству

Поэтому

1.5. Задачи для самостоятельной работы

Записать общий член ряда, проверить необходимое условие сходимости и достаточный признак расходимости.

1.13 52 73 94 ...

2.1 56 79 129 1511 ...

1 4 9 16 ...

3.4 9 16 25

15

§ 2. Положительные числовые ряды. Признаки сходимости и расходимости положительных числовых рядов

2.1. Необходимое и достаточное условие сходимости положительного

ряда

аn 0 ( n N ), называется положительным рядом.

Теорема 1. Положительный числовой ряд сходится (то есть имеет конечную сумму), если частичные суммы ряда ограничены сверху, и расходится (то есть имеет сумму равную + ), если частичные суммы ряда не ограничены. Другими словами, для сходимости положительного ряда необходима и достаточна ограниченность его частичных сумм.

(n N) его n-ые частичные суммы Sn (n=1,2,…, ) образуют монотонную неубывающую последовательность

Sn+1 = Sn + an Sn, n N.

Отсюда, в силу известной теоремы из теории пределов о том, что монотонная последовательность имеет конечный предел тогда и только тогда, когда она ограничена, получаем утверждение доказываемой теоремы.

Следствие 1. Если положительный числовой ряд сходится и имеет конечную сумму А, то все его частичные суммы Sn ограничены сверху числом А

Sn A n N.

Если же все частичные суммы ряда ограничены положительным числом

Sn M <

то и сумма ряда удовлетворяет неравенству

A M.

Доказательство. Утверждение непосредственно следует из теоремы 2.1, неравенства

Sn+1=Sn+an Sn, n N,

и свойств предела числовой последовательности.

Замечание 1. Очевидно, что все свойства, связанные со сходимостью, которые имеют место для положительных числовых рядов, в силу указанных в § 1 Теоремы 1 и Теоремы 5 остаются в силе для рядов с неположительными членами an 0 (n N), и для рядов, конечное число членов которых имеют знаки, противоположные знакам всех остальных членов. В первом случае, умножая ряд на "-1", приходим к положительному ряду: во втором случае, отбрасывая конечное число членов ряда (что не влияет на сходимость), приходим к ряду, все члены которого имеют одинаковые знаки.

16

2.2. Признаки сравнения

Рассмотренный в § 1 критерий Коши является мощным средством исследования сходимости рядов, однако практическое его применение часто бывает громоздко и неудобно. На практике обычно используют гораздо более удобные и легче проверяемые, так называемые, достаточные признаки, то есть признаки, которые дают достаточные (но не обязательно необходимые) условия для сходимости или расходимости ряда.

Часто сходимость или расходимость ряда устанавливается путем сравнения его с другим рядом, сходимость или расходимость которого уже установлена (последний ряд обычно называют эталонным). Утверждения такого рода называются признаками сравнения.

Теорема 2 (Признак сравнения 1). Если для членов двух положительных

Доказательство. На основании Теоремы 1 (§ 1) без нарушения общности

ограничены некоторым числом L > 0 . Следовательно, из (2.2) получаем

An Bn L, n N.

Отсюда в силу той же теоремы 2.1 имеем, что ряд an сходится.

n 1

б) Пусть ряд an расходится. Тогда по теореме 2.1 его частичные

n 1

суммы Аn образуют последовательность монотонно стремящуюся к + , а

17

следовательно, в силу неравенства (2.2) получаем, что и частичные суммы Вn образуют последовательность, монотонно стремящуюся к + , что и означает

расходимостьряда bn . Теорема доказана.

n 1

Следствие 1 (Признак сравнения 2). Если для двух положительных

ряда bn .

n 1

Таким образом, при условии 0<k<+ ; оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

n 1

k bn , из сходимости которого в силу неравенства (2.3) и теоремы 2.2

n 1

следует сходимость ряда an .

n 1

18

следует существование предела

Доказательство. На основании Теоремы 1 (§ 1), не умаляя общности, можем считать, что неравенство (2.4) выполняется n N. Взяв первые (n-1) неравенств, перемножим их почленно (то есть левую часть каждого неравенства умножим на левую, а правую на правую). Тогда получим соотношение

из которого следует неравенство

19

из сходимости которого в силу неравенства (2.5) и теоремы 2.2 следует

свойству 3 (§ 1) следует расходимость ряда

Замечание 2. При использовании признаков сравнения в качестве эталонного ряда часто удобно использовать обобщенный гармонический ряд

свойства ряда содержится в примерах к данному параграфу и проведено с помощью интегрального признака Коши-Маклорена).

2.3. Достаточные признаки Даламбера и Коши

Следующие два часто используемых достаточных признака сходимости рядов доказываются на основании сравнения исследуемого ряда с рядом геометрической прогрессии, исследованном в § 1, который является:

20