Числовые ряды. Учебное пособие

§ 1. Понятие числового ряда, сходимость ряда, умножение ряда на число, сложение рядов

1.1. Определения

Будем обозначать через N множество натуральных чисел: N 1,2,3...

Определение 1. Числовым рядом называется бесконечная сумма чисел, расположенных в определенном порядке. Каждое число в этой сумме называется членом ряда.

Символическая запись:

Формула для числа an, с помощью которой можно получить любой член ряда в зависимости от его номера, называется формулой общего члена ряда или n-го члена ряда. Само множество {an} образует последовательность, каждый член которой является функцией целочисленного аргумента an = f(n).

Пример 1.

Замечание 1. Нумерацию членов ряда иногда удобнее начинать не с

единицы, а с нуля или с некоторого натурального числа, большего единицы.

Члены последовательности (1.2) называются частичными суммами ряда

Числовой ряд (1.1) называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм (1.2):

5

Если же предел S бесконечный (то есть, S = + или S = - ), либо предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд (1.1) называется

расходящимся.

Конечный или бесконечный предел А называется суммой ряда (1.1) и символически записывают

называется n-ым остатком ряда (1.1), понимая под этими записями (в отличие от понятия суммы конечного числа слагаемых) пределы последовательностей соответствующих частичных сумм вида (1.3).

Пример. Рассмотрим бесконечную сумму членов арифметической прогрессии

Теорема 1. Произвольное изменение первых n членов ряда не влияет на сходимость или расходимость этого ряда.

Доказательство.

Представим ряд в виде суммы двух слагаемых:

Зафиксируем значение n. Тогда Sn – константа. Запишем новый ряд, где заменим величину А другим значением В (что соответствует произвольному изменению первых n слагаемых ряда). Если исходный ряд сходится, то Rn и S = А + Rn – константы. Тогда В + Rn – константа, и новый ряд также сходится.

6

Пусть исходный ряд расходится, т.е. S не существует в виде константы (как и Rn). Тогда В + Rn – не является константой, и новый ряд также расходится.

1.2. Критерий Коши сходимости ряда

Так как вопрос о сходимости ряда по определению 2 эквивалентен вопросу о сходимости последовательности его частичных сумм, то напомним критерий Коши сходимости последовательности.

Для сходимости последовательности {Sn} необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа > 0 нашелся номер М такой, что для всех номеров n, удовлетворяющих условию n М, и для всех натуральных р N выполнялось условие

Как следствие из этого утверждения получаем основную теорему.

достаточно, чтобы для любого положительного числа > 0 нашелся номер М такой, что для всех номеров n удовлетворяющих условию n М, и для всех натуральных р N выполнялось условие

Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно заметить, что выражение, стоящее под знаком модуля в неравенстве (1.5), есть разность (n + р)-ой и n-ой частичных сумм ряда: Sn+p - Sn , и, следовательно, критерий Коши для рядов является просто переформулировкой критерия Коши для конкретной последовательности – последовательности частичных сумм. Заметим, что критерий Коши представляет в основном теоретический интерес, так как его использование для исследования конкретных рядов затруднительно. Поэтому ниже будут приведены более эффективные в практическом отношении признаки сходимости и расходимости рядов.

1.3 Свойства сходящихся рядов

В этом пункте рассмотрим свойства сходящихся числовых рядов, которые являются следствиями соответствующих свойств сходящихся числовых последовательностей.

7

остатков ряда rn ak является бесконечно малой.

k n 1

Доказательство. Для доказательства достаточно показать, что для любого > 0 найдется номер М, такой, что для любого n М имеет место неравенство:

которое следует непосредственно из определения 2 сходимости ряда к своей сумме А и из определения предела последовательности. А именно, условие сходимости последовательности частичных сумм рассматриваемого ряда к пределу А означает, что для любого > 0 найдется номер М такой, что

Что и требовалось доказать.

Теорема 4 (Необходимый признак сходимости ряда).

Так как

Теорема 5 (Алгебраические свойства рядов). Для сходимости ряда

произвольное число. Если ряд сходится, то:

Из этого равенства и из свойств последовательностей следует, что последовательности Sn и Sn сходятся и расходятся одновременно. Кроме того,

из которого и следует последнее утверждение данной теоремы.

Из этого равенства и из свойств последовательностей следует, что предел последовательности {Сn} существует и, кроме того, выполняется равенство

1.4. Примеры числовых рядов

Пример 1

Простейшим примером бесконечного числового ряда является сумма бесконечного числа членов геометрической прогрессии

Ниже будем называть ряд вида (1.8) рядом геометрической прогрессии.

Ее n-ая частичная сумма легко находится, если воспользоваться