Численные методы в задачах математического моделирования и исследования математических моделей объектов. Учебно-методическое пособие

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

О.А. Сафарьян

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

ВЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

ИИССЛЕДОВАНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОБЪЕКТОВ

Учебно-методическое пособие

Ростов-на-Дону ДГТУ

2019

1

УДК 681.3(07) + 06 С12

Рецензент

доктор технических наук, профессор Д.Д. Габриэльян

Сафарьян, Ольга Александровна.

С12 Численные методы в задачах математического моделирования и исследования математических моделей объектов : учеб.- метод. пособие / О.А. Сафарьян ; Донской гос. техн. ун-т. – Ро- стов-на-Дону, 2019. – 85 с.

ISBN 978-5-7890-1684-8

Приведены элементы теории погрешностей, численные методы решения линейных алгебраических уравнений и систем линейных алгебраических уравнений, приближение функций, численное дифференцирование и интегрирование.

Предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся по дисциплине «Вычислительные методы в алгебре и теории чисел» направления 10.05.01 «Компьютерная безопасность».

УДК 681.3(07) + 06

Печатается по решению редакционно-издательского совета Донского государственного технического университета

2

Предисловие

Настоящее учебное пособие является основой для изучения дисциплин, связанных с формированием системы базовых понятий, четких представлений о современных численных методах исследования, умений применения численных и численно-аналитических методов для решения научных и прикладных задач с проведением корректных оценок пределов достоверности и применимости полученных результатов

втаких областях, как:

–развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей для использования на предварительном этапе математического моделирования;

–разработка, обоснование и тестирование эффективных численных методов с применением компьютерной техники;

–реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента;

–разработка систем имитационного моделирования.

Указанные вопросы, хотя и не позволяют решать всю совокупность задач, возникающих при построении математических моделей и проведении исследований с их использованием, дают возможность сформировать базовые понятия применения основных численноаналитических моделей и численных методов их решения.

Учебное пособие, помимо теоретических основ, необходимых для понимания выполняемых операций, включает практикум, позволяющий получить первоначальное знакомство с системой, технологией работы, а также лабораторные работы, предусмотренные государственным стандартом.

3

Введение

Дисциплина «Численные методы в задачах математического моделирования и исследования математических моделей объектов» формирует базовые понятия, четкие представления о современных численных методах исследования, умение применять численные и численноаналитические методы для решения научных и прикладных задач с проведением корректных оценок пределов достоверности и применимости полученных результатов.

Персональные компьютеры сегодня стали мощным инструментом, позволяющим значительно расширить возможности проведения исследований как в научной области, так и дальнейшего развития учеб- но-методического материала, используемого для проведения занятий со студентами.

Большинство языков высокого уровня (Бейсик, Паскаль, СИ) дают возможность решать задачи научно-технических расчетов, не прибегая к их кодированию на каком бы то ни было алгоритмическом языке. Использование интегрированных программных систем автоматизации ма-

тематических расчетов (Eureka, MatLab, Maple, Mathematica, MathCAD

идр.) позволяет решать поставленные задачи на входном языке, который максимально приближен к естественному математическому языку.

Данное учебное пособие посвящено рассмотрению одной из самых популярных систем – MathCAD, разработанной фирмой MathSoft (США).

ВMathCAD описание решения математических задач дается с помощью привычных математических формул и знаков. Такой же вид имеют и результаты вычислений. Обозначения требуемых операций, которые необходимо проводить над математическими объектами, также ничем не отличаются от используемых при записи математических соотношений. Именно поэтому система MathCAD вполне оправдывает аббревиатуру CAD (Computer Aided Desing), говорящую о принадлежности к сложным и продвинутым системам автоматизированного проектирования – САПР. MathCAD представляет собой своего рода САПР при проведении математических преобразований и вычислений в самых различных областях математики.

К задачам, решаемым в системе MathCAD, можно отнести:

– подготовку научно-технических документов, содержащих текст

иформулы, записанные в привычной для специалистов форме;

4

–вычисление результатов математических операций, в которых участвуют числовые константы, переменные и размерные физические величины;

–операции с векторами и матрицами;

–решение уравнений и систем уравнений (неравенств), включая алгебраические, трансцендентные, иррациональные, алгебраические и т.д.;

–статистические расчеты и анализ данных;

–построение двумерных и трехмерных графиков;

–тождественные преобразования (в том числе упрощение) с различными выражениями;

–аналитическое решение уравнений и систем;

–аналитическое и численное дифференцирование и интегрирова-

ние;

–решение дифференциальных уравнений;

–проведение серий расчетов с различными значениями начальных условий и других параметров.

Технология работы в системе MathCAD проста и удобна.

5

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Основой теории погрешностей является понятие погрешности измерений, определения какой-либо физической величины. Под погрешностью понимается некоторая величина, характеризующая точность получаемого результата. Существуют три вида погрешностей:

а) неустранимая погрешность, возникающая из-за неточности исходной информации, например неточности и неполноты проводимых измерений;

б) погрешность метода (методическая погрешность), определяемая некорректностью принятых допущений;

в) погрешность вычислений, возникающая из-за округлений (вычислительные погрешности).

Пусть a точное (вообще говоря, неизвестное) значение некоторой величины, a – известное приближенное значение той же величины (приближенное значение или его оценка).

Ошибкой (или погрешностью) приближенного значения a называется разность a a между точным и приближенным значениями.

Количественной простейшей мерой ошибки является абсо-

Чем меньше значение относительной погрешности, тем выше точность вычислений (измерений).

Так как значение a неизвестно, то непосредственное вычисление величин a и a по формулам (1.1), (1.2) невозможно.

Более важная с практической точки зрения и, как правило, имеющая решение задача состоит в получении оценок погрешности в одном

6

Абсолютная погрешность и ее верхняя граница имеют ту же физическую размерность, что и сама величина. Относительная погрешность и ее верхняя граница являются безразмерными.

Абсолютные и относительные погрешности числа принято округлять в соответствии с их определением и определением только в большую сторону, так как при округлениях границы неопределенности числа, как правило, увеличиваются. По этой причине вычисления абсолютной и относительной погрешностей ведут с одним-двумя дополнительными знаками.

Значащими цифрами числа a называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева от запятой (в десятичном представлении). Значащая цифра называется верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит 12 единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Запись приближенного числа. Приближенное значение принято записывать так, чтобы все цифры в записи были верными. Такая запись приближенных чисел позволяет грубо судить об их погрешностях и потому не требует дополнительного выписывания погрешностей. В том случае, когда число содержит сомнительные цифры или имеет слишком много десятичных знаков, производят округление. Округление чисел, записанных в десятичной системе, производится по правилу первой отбрасываемой цифры:

1)если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то оставляемые десятичные знаки сохраняются без изменения;

2)если первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу;

3)если первая из отбрасываемых цифр равна 5, а за ней идут не нули, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу;

4)если первая из отбрасываемых цифр равна 5, и все значащие цифры, идущие за ней, а последующие за ней цифры нули, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу, если она нечетная, и

остается без изменения, если четная.

Это правило округления обеспечивает увеличение абсолютной погрешности не более чем на половину последнего сохраняемого разряда. При работе на ПК используется как способ отбрасывания всех разрядов, не помещающихся в ячейку, без изменения последней цифры,

7

так и предшествующее отбрасыванию округление по правилу, аналогичному приведенному выше. Второй режим работы требует больших затрат машинного времени.

Вопросы для самопроверки

1.Что понимают под погрешностью?

2.Каковы виды погрешностей?

3.Какую физическую размерность имеют абсолютная и относительная погрешности?

3.Что понимают под погрешностью приближенного числа?

4.Какова количественная мера ошибки?

5.Что служит показателем качества вычислений?

6.Что называют значащими цифрами в записи приближенного значения?

7.Сформулируйте правила округления чисел, записанных в десятичной системе счисления.

8

2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Постановка задачи. Требуется найти решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), которую можно записать в следующей (канонической) форме:

или в матричной форме:

A X B ,

где

Условие разрешимости системы уравнений

По теореме Кронекера-Капелли, СЛАУ (2.1) совместна (имеет решение) тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы (матрицы A ) равен рангу расширенной матрицы этой системы уравнений. Напомним, что расширенной матрицей СЛАУ называется матрица D , полученная путем присоединения к матрице A столбца свободных членов B :

( A A 0 ), то решение СЛАУ (2.1) является единственным.

Понятие решения системы уравнений

Решением системы линейных алгебраических уравнений (2.1)

ного пространства Rn , при подстановке которого в СЛАУ (2.1) каждое из уравнений системы обращается в тождество. Найти точное ре-

9

шение системы уравнений (2.1) не всегда представляется возможным.

Rn . Характеристикой точности получаемого решения является вектор

Методы решения систем уравнений

Численные методы решения СЛАУ могут быть разделены на следующие две группы: точные или прямые методы и итерационные, которые позволяют найти приближенное решение.

Методы, которые позволяют найти решение задачи при помощи конечного числа элементарных арифметических и логических операций (сложение, вычитание, перенос результата из одного места в другое), относят к точным методам. Название этих методов вытекает из того, что если исходные данные задачи определены точно и вычисления проводятся точно (без ошибок округления), то решение также получается точное (левая и правая части каждого уравнения в системе (2.1) в точности равны друг другу).

В точных методах число необходимых для решения вычислительных операций зависит только от вида вычислительной схемы и от порядка матрицы, определяющей данную задачу.

Итерационные методы (методы последовательных приближений) решения СЛАУ характеризуются тем, что при их использовании точное решение системы (2.1) получается, вообще говоря, лишь как предел некоторой бесконечной последовательности векторов X( m ) . Эта после-

довательность сходится при m к решению задачи (2.1). На практике при использовании итерационных методов ограничиваются вычислением конечного числа приближений в зависимости от допустимого уровня погрешности.

Погрешности решения систем уравнений

Для того чтобы анализировать методы решения систем уравнений, необходимо уметь количественно оценивать «величины» векторов X и X X . Удобной для этой цели количественной характеристикой является широко используемое понятие нормы вектора.

10