Tekst_lekcij_8_s

Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Физика конденсированного состояния

Файл:

В спектре возникает щель.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

U 0

в пределах

одной ячейки;

U Gmin

Gmin

drU

r eiGr

Разбивается на n интегралов по одной ячейке.

U r - периодическая функция. Разделили воздействие Фурье – компонент на нулевую

и ненулевые части U . В результате получаем:

E U 0 C

G C

G G

G 0

Слагаемые, оставшиеся в правой части малы по сравнению с нулевыми; это позволяет применить теорию возмущений.

	2	q		2
	2	q	G
"0"порядок			1		Е 0 C 0 q	G1	0 это так называемая
"0"порядок		2m			Е 0 C 0 q	G1	0 это так называемая
		2m

пустая решетка Шокли:

Получили условия на G1, то есть учет решетки, хотя мы от нее вроде как хотели избавиться.

L	0	L
2	0	2

яма с гладким дном

свободное движение,огр. в простр ве

U G 0

U 0

Учет последующих Фурье – компонент привел бы к искривлению дна с ничтожной амплитудой.

								2			2
		0							q G1
					q		1
							1
						G			2m
									2m
		0
	C		q
	C		q			G G ,G
								1		0				2
										0
												G	0,
												G	0,
												1		a
		2					2							a
		2					2
G1				,									qy
G1		a		,			a
		a					a

чтобы сместить

отсчет энергии

в эту точку

Для разных G1

получаем параболоиды,

расположенные в разных ячейках обратной

решетки.

eiqr

C q

eiG r

ei q G1 r

плоская волна (свободное движение).

...

0 C 1

C 2 ....

C C

"1"порядок

C 0 q G

0 q G 0 q G1

C 1 q G

1 q

G ,G1

U G C

G 0

G G,G1

G G

1 q G1

1 0 C 1

q G1

U G

G,G1

G 0

Таким образом, поправка 1 q G1 0 для любого параболоида;

G,0

G G1

q G 0

q G1

q G

G,G G

G 0

Из этого уравнения легко найти выражение для коэффициентов разложения

U G G1

C 1 q G

|G G1

q G

q G1

Есть ли поправка к волновой функции при G G - мы не знаем.

"2"порядок 2 q G

C 0

q G

1 q

C 1 q G

q G

C q

U G C

q G

G 0

Опять рассмотрим сначала случай

G G .

1 G G 2

C 1

q G

0 C 2

1 q G1 0

U G 1 G G1

U G C

1 q G1 G

U G

G 0

q G

G 0

G G

(так как G 0 здесь мы подставили C 1 q

G G

вместоG G1

Таким образом, поправка к энергии возникает только во втором порядке теории


									U		2
											2
		2	q							G
возмущений:				G


				1		0						0
						0		G1 G				0
					G 0		q	G1 G					q G1
G G1	позволяет найти C 2 , но оно нам уже не нужно.

Ограничимся первой ячейкой обратной решетки; положение qy 0 означает проведение

плоскости через qx и 0 .

qx,0

a a

Каждый кусок параболы, пересекающий первую ячейку, отвечает своему G1 (т.е. своей

зоне – своему n ).

Изменение энергии во втором порядке теории возмущений идет в меру разности энергии невозмущенных состояний.

n q

|||

В точках встречаются параболы, отвечающие разным G1, то есть возникает

вырождение (энергии совпадают) , следовательно, ноль в знаменателе, следовательно, бесконечные поправки.

Надо исключить эти q (выделить эти вырожденные состояния).

q G

C q

U G C q

G1 G

G 0

q q* 0 q* 0 q* G*

C q*

	0		0	2
					,0

0		a	a	a

0 C q* G 0U G C q* 0 G U G* C q* G*

U G C q* G

G 0, G*

Для всех членов этой суммы – теория возмущений прекрасно работает.

Получаем первую пару уравнений:

0	С q* U G* C			q* G*

	С q			G C q
0	С q	G	U	G C q	G G
	*	*		*	*
			G 0
			G 0
U G* C q* U G C q* G* G
		G 0,G*
Второе уравнение для тех же амплитуд:
0	С q* G* U G*			C q*

Таким образом, мы получили систему для q q* :

q q*

		0
			q	C q* U G* C q*	G* ...
q
q
	x	0 q G* C q* U G* C q* ...

Или окончательно :

0 q C q* U G* C q* G* 0

U G* C q* 0 q G* C q* G* 0

Для существования решения необходимо, чтобы определитель был равен нулю

	0 q				U

							G*	0 ;
								0 ;
		U G*		0 q G*
Получаем квадратное уравнение:
		2	0			0			0		0			2	0
		2	0			0			0		0			2
				q			q G*			q		q G*	U G*

И, соответственно, решение для энергии:

	0			0		0			0			2
		q			q G*		q			q G				2
		q			q G*						*			2
1,2 q q*			2					4					U G*
			2					4

Разность энергий нулевого приближения мала.

0 q 0 q G*

U G*

;

|q q

Поэтому

q G*

1,2 q q*

U G*

В случае

q q* 1,2 q* 0 q*

U G*

Главным требованием было

	0			0					G*
			q*			q*			G*
		2					2				G q			G*	0
		2					2			2	G q				0
										2	*	*
			q* 2					q* G*					2
2m			q* 2		2m			q* G*					2
2m					2m

То есть условие возникновения энергетической щели совпадает с условием чисто упругого брегговского рассеяния.

Сколь бы малым не было qx , макроскопичность числа рассеивателей гарантирует изменение состояния (в данном случае – возникновение щели в спектре).

Рассмотрим поведении волновой функции.

1,2\|
1,2\|			eiqrC1,2	q* ei q	G* rC1,2	q* G*
	q	q
		*

Выберем для удобства рассмотрения частный случай -

G* 0,0,G*

q q ,qz

Тогда волновая функция примет следующий вид :

1,2 q q*

C1,2

i q

eiq

e z

1,2

C1,2 q*

При этом

C1,2 q*

1,2 q*

верхний знак отвечает первому корню

0 q*

U G*

1 q q

i q

G z

iq z

e C

z e

При q

, G 2

получаем:

a a

C1 e

A1 cos

1,q q*

2,q q

C2 q* e

A2 sin

В результате получили стоячую волну вдоль z (вместо бегущих плоских волн)

Если z a nz ( a -размер ячейки, nz Z ), то

z anz nz , тогда

a a

1 anz cos nz 1 nz

2 anz sin nz 0 ! вторая волновая функция в узлах решетки обращается

в ноль, т.е. вероятность попасть туда равна нулю.

Если применить этот результат к нейтронной волне, то в случае 1(на отдельном ядре)

нейтрон поглощается ядром, для 2 - вообще не взаимодействует (на решетке), т.е.

возможно подавление канала ядерной реакции.

Это называется радикальной перестройкой состояний.

Определим поведение каждого из корней 1,2 q q*

в окрестности точки q*. Для

этого вычислим производную:

1,2

2 2

1,2

2m 2

a a

То есть z - нормальная составляющая групповой скорости обращается в ноль ( стоячая волна).

a	2a	3a	na
a	a	a		a
				a

Происходит расщепление за счет перекрытия (возникает потенциальный барьер). Такие же стенки потенциала (далеко отстоит), a - тот же уровень.

В результате все большего сближения возникает полоса разрешенной энергии на фоне неоднородного потенциала дна.

Таким образом, приближение ПСЭ хорошо работает в тех металлах, где перекрытие оболочек сильное.

Рассмотрим теперь противоположное приближение – когда перекрытие слабое.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Физика конденсированного состояния

#
15.08.20262 Мб0Tekst_lekcij_7_s.pdf
#
15.08.20261 Мб0Tekst_lekcij_8_s.pdf