Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Физика конденсированного состояния

Файл:

Tekst_lekcij_8_s

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

(***)

4 e

n |ak

a a

| n

k q

2 q 0

N k1

| n

N k q,

n | n

k q

n n

| n

k k

n n

n | n

k k

4 e2

n n

E 1

n |V ee| n

q2 k

k k q

Вклад получился отрицательным, хотя взаимодействие – кулоновское (отталкивание одноименных точечных зарядов). Вклад оказался отрицательным, что соответствует притяжению. Этот удивительный на первый взгляд результат объясняется тем , что прямое кулоновское отталкивание полностью компенсировалось за счет электронейтральности. Электроны с различными проекциями спинов

и по сравнению с и могут находиться на различных расстояниях.

Взаимодействие при учете электронейтральности “цепляет” пару с совпадающими спинами , , расстояние между ними больше, чем среднее re .

Так как мы считаем все вклады для среднего значения re , мы завысили вклад

электронов с параллельными спинами и . Расстояние между такими электронами на самом деле больше , чем среднее, ,вклад получился отрицательный (т.е. мы

завысили Ee0 , отрицательность Ee1 это компенсирует).

Корреляционная функция или коррелятор «плотность – плотность».

Как уже было сказано, движение электронов определяется их квантовыми свойствами ,

большую роль играют обменные эффекты, связанные с «фермиевостью»электронов.

ne r	e	i k1 k2	r

				ak	ak	- оператор плотности электронов.

			1			2
k1k2				1	1
1

Рассмотрим коррелятор типа

ei k1 k2 r

|ne

r R

| n

n |

k1k2

i k3 k4

r R

| n

k3k4

i k1 k2 r

i k3 k4 r

n |a

k1k2 k3k4

		ak2
ak1
	1		1

(***)

	ak		\| n
ak		4
3
2	2

1			k1 k2				, 1 1					;k3 k4,		2 2
2				k1 k4			, 1 2					;k2 k3,		1 2				Складываем обе возможности:
(***)					1			11			n \|a		a	a	a		\| n
(***)								11			n \|a		a	a	a		\| n
						2						k	k	k		k
							k	k	2			1	1	3		3
							1		2
							2					1 1		2 2
							1														nk3nk1 n \| n
												N k1 1		N k3		2					nk3nk1 n \| n
	1									r
	1						i k1 k2			r		i k2 k1 r		R
				e						e					n \|a			k1	a	k2	a	a	\| n
		2		e						e					n \|a				a		a	a	\| n
		2																				k2	k1
				1 k1 k2														1		1		1	1
																		1		1		1	1

1 k

k1 1

i k2

k1 R

| n

k1 k2

N k

1 N k

k2 k1

1 n

1 e

k1 k2

n eik1R

e ik2R

n eik1R

n e

ik2R

R,0

R всегда для этих элементов не равно нулю (у них совпадает спин, и по принципу Паули они не могут находиться в одной точке). Поэтому этот член отбрасываем.

Замечание.
a	a не всегда (анти)коммутируют (возможно k1 k2 ).
k1	k2
1	1
Некоммутирующая пара даст Ne : Ne2 Ne этой частью мы пренебрегли

точность второго слагаемого 1 .

Итак, было получено выражение для оператора электрон-электронного взаимодействия.

4 e

iq r

V ee

a a

2 k k

q 0 q2

k1 k2

k2 q

k1 q

1 2

Поправка к энергии за счет этого взаимодействия

4 e2

n |V ee|

n n

2 k

k k q

2 q 0 q

Стартуя с положительной отталкивательной энергии, мы получили отрицательную

поправку; остался вклад только от электронов с одинаковыми спинами и .

Из – за фермиевости системы (за счет принципа Паули) электроны с одинаковыми спинами не могут располагаться также близко , как это возможно для электронов с

противоположными спинами .

Электроны, которые располагаются на расстоянии больше, чем при однородном

распределении, дают в кинетическую энергию меньший вклад отрицательная поправка.

Вернемся к исследованию коррелятора «плотность – плотность».

n |ne r

r R

| n

...

R 0

k1,k2

возникло от eik2R ;

дает 2.

R10

В силу принципа Паули R 0 невозможно для электронов с совпадающими спинами;

поэтому второе слагаемое можно выбросить;

eik1Rn eik2Rn

eikRn

Так как сумма по всем k2 , можно заменить k2 k2 , nk2 зависит только от модуля.

																k	F		1
eikRn					dkeikR cos n								2					dk k2 1		dxeikRx
eikRn				3	dkeikR cos n						3		2					dk k2 1		dxeikRx
			k	3			k		2		3
k				2					2							0		1
( x cos ,				получаем )
			kF							1		kF
			2	dk k 2 12sin kR					4	1					dk k sin kR					*
	2	3	2	dk k 2 12sin kR			2	3	4	R					dk k sin kR					*
	2			0		k R	2			R		0
						kF			kF			1		d coskR
Интеграл возьмем по частям:						k sin kRdk k						1
Интеграл возьмем по частям:						k sin kRdk k
						0			0			R

kcos

dk coskR

kF coskFR sinkFR

sinkFR kFRcoskFR

sin kF R kF R cos kF R

2 3

(перепишем это выражение в безразмерных переменных) :

	3	2		4		k		3 sin z z cos z									3	N	sin z z cos z
																			e
			3									3									3
	2	2	3	3				F			z	3					2			z	3
													z k			R						z k		R
													z k			R						z k		R
															F								F
			Ne
В результате корреляционная функция приобретает вид
					1				9		sin z z cos z 2
K R ne2					1		2		9	Ne2
K R ne2					2		2		4	Ne2			z	3
									4				z

Сучетом Ne2 n2 получаем

2 e

R	1	9	sin z z cos z 2

2		2		z	3
ne						z k	F	R
ne						z k		R

Отследим за пространственным поведением этой функции:

1) Рассмотрим поведение на больших расстояниях R					kF R z 1
sin z z cos z 2			1	0
			1
	z	3	4
	z		z	z

R 1

ne2 R

2) Теперь для малых расстояний R 0 (но R 0 - это невозможно по физическим причинам , соответственно, z 1

				z	z	3
					z
sin z z cos z
sin z z cos z				6

	z	3
		3
			z 1

z3 сокращается со знаменателем;

R 1 9 1 1 ne2 R 0 2 3 2

K R

ne2

0	1KF	Z 1

				z2
... z			1		...
... z			1	2	...	1	1	1
				2		1	1	1

	z	3				6	2	3
		3

Таким образом, наблюдается уменьшение эффективной плотности электронов с такой же проекцией спина в непосредственной окрестности данного электрона – так называемая “обменная дырка”.

Плотность точно таких же электронов e в окрестности любого выделенного электрона уменьшается вдвое.

Лекция 5.

Диэлектрическая проницаемость электронного газа. Поляризационный оператор. Экранировка внешнего заряда электронным газом различной плотности. Фриделевские осцилляции. Собственные возбуждения в электронном газе, плазмоны.

Диэлектрическая проницаемость электронного газа –

- величина, наиболее полно описывающая эффект электростатического взаимодействия в системе взаимодействующих электронов, поскольку фактически диэлектрическая проницаемость – реакция системы на внешний заряд.

Уравнения Максвелла для истинного электрического поля и электрической индукции в

среде divE 4 e t и divD 4 e ext

связывают E с полным зарядом системы

t ext ind (с учетом перестройки собственных зарядов как реакции на появление

ext и, как следствие, - возникновение ind ) , а D - с внешним ext .

Поскольку все уравнения – линейны, то можем считать все фигурирующие величины представленными лишь одной Фурье – компонентой.

В результате уравнения принимают вид:

q, 4 e t q, ,

4 e

qD q,

q, .

ext

Отсюда, для продольных(вдоль q!) составляющих поля и индукции получаем

соотношение:

D q,

ext q,

Но с другой стороны связь D

и E

определяет продольную диэлектрическую

проницаемость:

ext q,

q, q, E q,

, т.е. q,

ext q, ind

так что найдя при заданном ext q, отклик системы в виде возникающего

ind q, , мы получим и q, .

Работать технически будем в приближении самосогласованного поля – возмущающий внешний заряд перераспределяет собственные заряды системы, что приводит и к изменению как их взаимодействия между собой, так и с этим внешним зарядом. Каждый отдельный электрон чувствует теперь поле, возникшее как от внешнего заряда, так и от перестроившихся других электронов – в этой “перестройке” уже есть доля и самого рассматриваемого электрона. При этом приближение будет состоять в том, что поле

перестроившихся электронов мы будем рассматривать как усредненное по всему объему,

т.е. фактически – сглаженное, и тем самым – пренебрегать флуктуациями. Ясно физически, что это приближение будет тем лучше, чем выше плотность электронов(как

всегда в статистике флуктуации	1	! ).


	N

Итак, мы будем искать истинную электронную плотность в каждой точке, возникающую в результате действия в системе результирующего потенциал

t	t							- величины действительной. При этом
				t
V e		q, eiqr i t *e iqr i t
плотность t			и потенциал t связаны уравнением Пуассона:
t r ,t 4 e t r,t ,				что в Фурье – представлении дает
	2								4 e
q		q,	4 e q, , или		t	q	,				q, .
										2
	t		t						q		t

Что касается полной плотности t , то мы получим ее как среднее значение от оператора плотности:

| n

t n |

n | r

r | n

n |

r r

k ,k

| a

k k

k ,k

Здесь k r - истинная одночастичная электронная -функция, возникающая в результате самосогласованного воздействия на каждый электрон.

Наша задача – найти k , возникшую в результате воздействия Vt на первоначально однородное распределение электронов с волновой функцией

0		eikr		i	k0 t
0		eikr			k0 t
	r,t		e
k

Уравнение Шредингера (в нестационарном случае):

	r,t
i		H r,t ,	H H 0 V t .
	t

r,t

Ищем r

r,t , так что :

t ,

где

* 0

r,t Vt r,t

Vk k1

dr k

k1 r,t

ik r

ik1r

e k

e q, eiqr i t * q, e iqr i t

k ,k q

t i t

k q k1

q, e

dre

e * q, e

dre

k1,k q

Используем далее теорию возмущений, полагая в правой части Ck

t k ,k

т.е. считаем, что в начальном невозмущенном состоянии электрон находился в определенном состоянии k ! .

C t

1, так что,

Т.е.

t i t

t dt

e t

Vk ,k

q, k ,k q

t i t

e t q,

k ,k q

где мы предполагаем, что взаимодействие включается адиабатически, т.е.

i , 0 .

e t q,	e i kk0 t					e t* q,	e i kk0 t
e t q,						e t* q,
k ,k q						k ,k q
			0		0				0		0
			0		0				0		0

		k		k				k		k

					0						0

					k q						k q

В результате, в первом порядке теории возмущений:

r,t

k k

1 0

ikr

k q

e t q,

k q

i t e

k q

i k

q r

e t

k q

ei t

k q

ikr

k t

iqr i t

e t q, e

e t

k q

Отсюда результирующая полная электронная плотность:

t nk	k r ,t	2	nk	1	1 ...	2


k			k



1 ... ... *

iqr

i t

e t q, e

C.C

k q

Здесь

ne0

- исходная невозмущенная равновесная электронная плотность.

Все остальное - ind , так что прямо:

e t

ind

, или, если во

k q

втором члене заменить k k

q :

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Физика конденсированного состояния

#
15.08.20262 Мб0Tekst_lekcij_7_s.pdf
#
15.08.20261 Мб0Tekst_lekcij_8_s.pdf