Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Физика конденсированного состояния

Файл:

Tekst_lekcij_8_s

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

e t q,

nk nk

ind q,

k k

k q

4 e2

nk nk q

Так что:

ind q, t

k k

k q

Отсюда непосредственно находим:

ind q,

ext

ind ind

ind

nk nk q

4 e2

k q

4 e2

nk nk q

или окончательно:

q, 1

k q

q, 1 q, i 2

(из-за наличия i

в знаменателе ! ), где

4 e2

Re q,

nk q nk P

, а

k q

4 e2

q, Im q,

, т.е.

распространение волны возмущения eiqr i t

оказывается в определенном интервале

и q - затухающим для выполнения ... 0 нужно:

, -

возмущение переводит электрон из состояния k

в состояние q k

вблизи

поверхности Ферми в полосе шириной 2 , что и дает поглощение волны, с одной стороны, и возникновение конечного времени жизни у электрона, с другой стороны.

При этом замечательно, что t ext внешнее воздействие экранируется за счет

перестройки системы, что и определяет коллективные свойства этой системы.

В частности, если , т.е. внешняя частота столь велика, что у электронов нет состояний, переход между которыми мог бы осуществляться при поглощении такого кванта , то Im 0, и более того:


			4 e2						1		0		1
			4 e2						1				1				0		0
Re q, 1																				...
Re q, 1				2		q	2			nk q		nk		2 nk q		nk	k q	k		...
						q				k					k

	1			2p						2
		q,	1					,	где p		- квадрат некоторой характерной частоты.
		q,	1		2			,	где p		- квадрат некоторой характерной частоты.
		\|0			2

Получим эту частоту, полагая - большим, а q - малым(это автоматически даст

Im 0!).

Тогда

vk q

vkq

4 e

4 e2

4 nee2

Следовательно:

- так называемая

ne !

плазменная частота электронов.

Можно найти и следующий по 2 член (легко проверить, что член ... 0! - ),

									1															0				0					1							4			4		4
																																							F vF q
именно:												4 nk q										nk k q				k								4		k			F vF q					cos		,
														k																							k
																		nk										3
																				k	vkq		vkq
																				k									1
																													1									2	3	4
																																						2	3	4
так что будем иметь в интеграле по углам:																											2 x x4 2															, т.е.
так что будем иметь в интеграле по углам:																											2 x x4 2															, т.е.
																													1									5	5	3
		p2																											1
	3	p2								2
				qvF							;
	5		4	qvF							;												2p				p2
	5		4
																										3									2
Окончательно: q, \|																						1								qvF						1!, т.е. столь
Окончательно: q, \|																						1		2		5			4	qvF						1!, т.е. столь
																										5
																	q kF
быстроменяющиеся поля не экранируются.
Отметим далее, что если ext																						0 , то в этом случае: t												ind , или с учетом
1 q,										ind				,
1 q,														,
										t
									1)				ind				0 система не реагирует
ind 0													ind																												;
ind 0																																									;
									2) q, 0 незатухающие собственные частоты Im 0

		2p			3			p2								2									2			2			3						2
1										qvF								... 0 , или								p						qvF						....
1		2			5				4	qvF								... 0 , или								p					5	qvF						....
Рассмотрим экранировку точечного заряда, статический случай 0 .
							4 e2
Vind q							2
						q			q
Vind r			d3q								4 e				2
											4 e								eiqr
											2								eiqr
										q q

При больших r

вклад в интеграл дают малые q , тогда можно считать, что

4 e2

q 1

, и Vind r d

iqr

, т.е. экспоненциальный

q2 2

спад.

Но ! в q есть еще неаналитичность при q 2kF

(точнее во второй производной q ).

Поэтому будет аномальный вклад в интеграл d3q

4 e

eiqr , дважды интегрируя по

cos 2kF r

q q

частям, получим V r

- осциллирующее и гораздо медленнее

спадающее поведение. Это называется Фриделевские осцилляции.

Лекция 6.

Поправки высших порядков в энергии электрон-электронного взаимодействия. Электронионное взаимодействие в неоднородном случае. Оператор смещений ионов во вторичном квантовании.

E 1

4 e2

n n

(**)

2q 0

k k q

k k 1

k k1

k k

это

Фурье образ функции

(Переобозначим

k q k1;

q k k1.)

e i k k1 R

(**) e2 dR R nknk 1 k k1

k k1

( В этом интеграле k k1, иначе – расходимость. Поэтому это ограничение можно снять

(и так выполняется).)

	1	dR
e2			eikRnk eik1Rnk			(***)

		R		1
			k k1
Мы перешли к таким суммам с точностью до				1	;кулоновская особенность перешла в

при R 0.

Ранее мы уже считали

ikR

ik R

ikR

sin z z cos z

e 1

k k1

z k

e2 9

sin z z cos z

dRkF sin z z cos z

***

1 4 RkF

z 6 5

4 e

e kF2

( Обезразмерили R,добавив нужное количество kF )

e2 9 N2 4 dz sin z z5cos z 2

4 e kF2 0 z

обозначим I

sin z

cos z sin2z

sin z z cos z

Штрих означает производную по z;

sin z

cos z

2sin z

sin z

sin z z cos z

2cos z

sin z z cos z

sin z

Учитываем, что

sin z

z cos z

sin z

Перемножив эти выражения, получим:

2 0

sin z z cos z 2

sin z

I dz

sin z

		z
		z
		sin z

2					z					z						z		z
2	0				z					z			0			z		z
1						sin z			sin z				d		sin z				sin z
			d										d


							2		1					2


1	1			sin z							sin z						1
2		2			z				2			z					4

								0
								0								0
																0
					0 1								0 0

	sin z z cos z	2	1

Следовательно, интеграл I dz	z5		4
0

Таким образом, обменная поправка оказалось равной:

kF e2

E 1

9 N2

e kF kF2 4

4 k3 , k

2 3

2 3 3

2 4

E 1 e2k

9 N 2

9 3

2 4

F 4

2 3 3

4 4 3 8 2 3

Итак

E 1 N

kF e2

13 1

9 13 1 e2

kFe2

2 1

4 r3

2Ry

;

re aбrs ;

3 e

E 1

2Ry

0,916 N

(если посчитать все численные коэффициенты.)

С формальной точки зрения, (вторая поправка по теории возмущений)


E 2		0\|V ee\|S	S\|V ee\|0
E 2
e	s 0	E0 Es
\|0 \| n ,		\|S промежуточное состояние системы.
	содержит 4 оператора a			a	aa после действия на \|0 имеется ферми –
V ee	содержит 4 оператора a			a	aa после действия на \|0 имеется ферми –

сфера с двумя дырками внутри и двумя рожденными электронами e над поверхностью ферми–сферы – это и есть промежуточное состояние |S .

Второй оператор V ee должен дырки «закрыть», а электроны над поверхностью Ферми

– поглотить.

							4 e2								4 e2
				...						...			...						...
				...			q2			...			...						...
E 2						q	q2							q		q
														1			1

e		s 0							E0 Es
		s 0							E0 Es
(подставили только размерные величины)

q
				3			e2							3			e2
			kF									kF										e2kF	2	e2kF 2
			kF				kF2					kF				kF2						e2kF	2	e2kF 2
																					...		...	2	...
									F												...	F	...		...
									F													F			2
																								m	kF
						dq... kF3								1										m

...																		dq
...				3										2 3				dq		число
q	2													2 3						число
E 2			e4		...						e2			... ... e2								...	Ry
E 2		2			...			2			me2			... ... e2								...	Ry
e		2						2													a
			m																			rs 0	!

Т.к. rs - безразмерный параметр, то при вычислении может быть еще и логарифм (ln -

особенность кулоновских систем).

lnr	при малых r отрицателен; E 2 - отрицательна.
s	s	e
На сегодняшний день вычислено точное значение:
Ee2 ln rs Ry ,		0,115.

Поправка 3-го рядка содержит уже 12 одноэлектронных операторов; она также вычислена:

Ee3 ...Vee3 rs ln rs Ry

corr Ee2 Ee3 ...

Сформальной точки зрения, энергия (корреляционная) представляет собой

функциональный ряд по степеням rs и lnrs . Возникает вопрос, хорошо ли сходится ряд

corr как функции rs . Для хорошей сходимости ряда необходимо, чтобы каждый следующий член был меньше предыдущего, то есть rs .должны быть малы по сравнению с единицей.

r	re		для элементов первой группы (реальных щелочных

s	aб	2 Li	6 Cs
металлов).				rs
Истинным параметром этого ряда оказалось по числовым причинам					.
				4,5

С точки зрения этого подхода металлы с большим rs - “плохие”: чем больше размер иона,

тем хуже выполняется условие “простоты” (расстояние между электронами расстояние между ионами, а не сравнимы).

Мы всегда можем использовать корреляционную энергию в виде ряда, ограничиваясь, в зависимости от точности, каким – то количеством первых членов.

С чего мы начали:

V ii V ei

H T e

V ee

z N (с учетом электронейтральности –

q 0

локальной)

2,21

0,916

ZNRy corr ;

ZNRy ;

V ee

1,8

NRy ;

V ii

Ne N

V ei |q 0

Vei q

1n 1q 0

(по слагаемым этот оператор одночастичен)

iq r R

V q

a a

k1 k2

k ,k

q 0 n 1

k1,k2

1 2

(от вклада по частицам перешли к вкладу по состояниям)

a .

iqR

iqr

Vei q e

k1,k2 a

q 0n 1

k1 k2

k ,k

1 2

Матричный элемент в этой формуле

ik1r

iqr e

ik2r

iqr

k1,k2

1 2

i k1 q k2

dre

1 2

k2,k1 q

Следовательно, мы можем записать

iqRn

V ei

k q

0 n 1

Вычислим теперь энергию электрон-ионного взаимодействия.

n |V ei|

| n

...

n |a a

| n

q 0

k k q

q 0

Но у нас q 0 , следовательно, Eei1 0 - первая поправка к энергии электрон-

ионного взаимодействия есть ноль.

Чтобы понять, как решетка влияет на электронные состояния, необходимо вычислять

вторую поправку:		E 2 ?
R n		ei
	un такой величиной задается мгновенное положение иона вблизи узла n;
n