Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Физика конденсированного состояния

Файл:

Tekst_lekcij_8_s

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Лекция 7.

Вклад электрон-ионного взаимодействия с учетом колебаний ионов . Гамильтониан Фрелиха. Возможные типы электронфононного взаимодействия. Изменение полной энергии системы электронов и фононов. Полная энергия электронионной системы. Нулевая модель металла и проблема металлического водорода.

				0	1	...
				0	1
V ei				V ei	V ei
		q 0
		q 0
	0			N
V ei			Vei q e
		q		0n 1

a			*
	a
	k k	q

k ,

Взаимодействие электронов с жесткой колеблющейся решеткой.

Решеточная функция e iqn N

q,G

q 0 необходимо, чтобы expобращалась в 1.

G - вектора обратной решетки.

N V

a a

k G

G 0

Электрон, двигаясь через жесткую решетку, не будет на ней рассеиваться, если его

состояние является собственным для этой решетки: он не может обменяться вектором

G с решеткой.

iqn

V ei

iqu e

a a

k q

q 0 n 1

Зависимость от n теперь входит еще в Un;

i f

iqn

q n

une

l b

2NM

q - электронный волновой вектор.

f - фононный (решеточный) вектор.

i f q n

f q,G

,q G

i f q n

f q,G

N f , q

Проведем суммирование по

f ; получим:

bs q G

q G

ls q

ls* q

s q G

q G

f как собственный фононный вектор принадлежит первой ячейке обратной решетки;

Если q G и попадает внутрь первой ячейки, то найдется подходящее f , и никакого

G не надо G 0 ; если q выпадает из первой ячейки, нужно подобрать такое

значение G , которое его в эту ячейку вернет. Законы сохранения требуют, чтобы

G было одним и только одним. G - период решетки , следовательно, его можно отбросить, однако если q не лежит в первой ячейке обратной решетки, “вычитать”

соответствующее G необходимо. ( вспоминаем ls* q ls q ) ;

q bs

2M s q

Подставим эту сумму в исходное выражение;

V ei

a a

H e ph

q 0 s k

k q

где As q

Vei q

2M s

iqls q

- вершина электронфононного

взаимодействия.

Полученный результат называется гамильтонианом Фрёлиха, или оператором электрон – фононного взаимодействия.


				q
bs q ak ak q			bs	q	ak ak q

k q			k q			q
k q			k q			s
						k
		k				k
	q	k
	q

Первоначальное направление k q за счет “зацепления” за решетку всегда

меняется, то есть электрон – фононное взаимодействие приводит к сопротивлению.

При T 0 равновесных фононов нет, поэтому первый процесс (с поглощением фонона) невозможен; однако испускание всегда возможно.

k q	k1 k2
k q	k q
1	2

k1 k2 k1 k2

Если фонон, испущенный одним электроном, подхватывается другим, то его как такогого в решетке нет , то есть такой фонон - виртуальный; Суммарный импульс пары электронов при определенных обстоятельствах не меняется

при «зацеплении» за решетку,что и является причиной возможной сверхпроводимости. Но для этого нужно, чтобы каждый электрон нашел себе пару.

Эти пары называются куперовскими.

Это низкотемпературная сверхпроводимость (теория БКШ).

Итак, гамильтониан простого металла имеет следующий вид

					b

H	T e V ee Vii	V ei				ZN ,
			q		0
				0

где

Te E 0 2,21ZNRy

e rs2

	0,916	ZNRy corr
V ee	rs	ZNRy corr
	rs
		E 2 ...

Vii 1,8 z53 NRy rs

	2	...
V ei 0 Eei
Полная энергия простого металла в ридбергах

2,21

1,8

0,916

...

Etot

ZN r Z

3 N

ZN 0

Если выкинуть все поправки более высоких порядков

E 0

2,21

1,8

0,92

Z N

tot

Для веществ с Z 1,

(основное состояние простого металла) и b 0 (возможно ли

устойчивое состояние атомарного водорода)? имеем

E 0

2,21

2,72

N - функция только r , то есть электронной плотности.

tot

E E T,

Рассмотрим случай

T 0

E E

Полная энергия

2 2,21

2,72

N4 aб3rs2 rs

N4 aб3rs2

rs3

rs2

N 0

4 r3 4 a3r3

б s

rs 0 2 2,21 1,63 2,72

Таким образом, существует точка экстремума, расположенная на расстоянии 1,63aб ,

которая соответствует экстремуму энергии. Убедимся в том, что это минимум:

	2	0	1	1	2 2,21	2,72
		EH	1	1	2 2,21	2,72			*
		EH		2	3	2			*
2			N 2 4 aб3 2 rs2 rs rs		rs	rs	r r		0
			N 2 4 aб3 2 rs2 rs rs				r r
							s	s

Считаем производную только от скобки (при подстановке r 0			скобка дает
	1	s
0	1	можно не дифференцировать).
0	r2	можно не дифференцировать).
	r2
	s

					1								6 2,21
*					1								6 2,21		2 2,72

									0			2	r 0	4	r 0	3
	N		2	3		2			0		2		r 0		r 0
	N			4 aб					rs				s		s
1
1											0
			6 2,21 2 2,72 rs
rs 0		4	6 2,21 2 2,72 rs
rs 0
6 2,21				2,72 2			2 2,21			2 2,21 0
6 2,21				2,72 2						2 2,21 0
								2,72
2EH0			0 !		То есть это действительно - минимум.
2

Значит , существует метастабильное состояние, поэтому до сих пор идет исследование металлического водорода (ищут!).

Если бы он существовал, он был бы сверхпроводником при комнатной температуре (такая фононная структура) и, возможно, лучшим экологически чистым топливом.

Время жизни этого метастабильного состояния неизвестно, так как неизвестны все каналы развала метастабильной фазы.

Известно, что 3,5 Мегабар – необходимое давление для образования металлического

водорода.

Для изучения свойств простых металлов с b 0, величину b можно оценить по макроскопическим параметрам системы (из равновесной плотности электронов).

Лекция 8.

Одноэлектронное приближение. Уравнение Шредингера для электрона в поле периодического потенциала. Зонная структура спектра. Статистика заполнения электронами состояний в зонах. Классификация кристаллов. Диэлектрики, полупроводники, металлы. Волновые функции Блоха. Движение в классических электрическом и магнитном полях. Эффективные массы электронов.

Одноэлектронные собственные состояния в кристалле (в жесткой неколеблющейся решетке).

Рассмотрим характерные особенности поведения одного электрона в периодическом потенциале.

H E

H T

iGr

r n

iG r n

U G e

r n

В таком разложении свойство периодичности выполняется автоматически.

Произведение Gn всегда дает целое число 2 , то есть лишняя exp просто дает множитель 1.

Будем искать волновую функцию электрона в периодической решетке в виде

r C q1 eiq1r . Подействуем на эту функцию оператором кинетической

энергии

eiq1r iq1

iq1r

C q e

C q

iq r

e 1

2q2

Таким образом, первое слагаемое 1) T r

C q1

e 1 .

Вклад от оператора потенциальной энергии

C q

G eiGr

eiq2r

G C q

ei G q1

G q1

eiqr

G C

( в последней формуле мы сделали замену G q1 q )

eiqr

G C

q G

eiqr C

- это уравнение –

полный аналог уравнения Шредингера. Получили равенство рядов Фурье; экспоненты образуют полную ортонормированную систему ,следовательно, коэффициенты должны совпадать:

2q2
		E C q		q	G	0
	2m		U G C
			G

Вместо дифференциального уравнения Шредингера мы получили алгебраическую систему уравнений на коэффициенты.

q мы предполагаем независимой величиной; в данном уравнении она фиксирована;

количество неизвестных C q G зависит от количества векторов обратной

решетки. Используя это обстоятельство, можно сказать, что

C q

eiq1r

G ei q

G r

(все неизвестные коэффициенты C отличаются друг от друга только добавкой своего фиксированного G )

В результате можно получить ограниченный ряд. Заменим q q G1, где G1- любой вектор обратной решетки из набора G , и подставим в исходное уравнение:

2			2
	q G
		1		E C q	G1	U G C q	G1 G 0
	2m			E C q	G1	U G C q	G1 G 0
	2m
						G

Или, вынося знак суммы за общую скобку, имеем

q G1

U G Cn q G1 G 0.

G,0

Вспомним линейную алгебру – уравнение aij xj 0 det	a	0

j

У нас j G ;

i G1 и уравнение на собственные значения будет таким:

q G1

det

G,0

Ограничиваясь конечным числом столбцов и строк , получаем

D0 D1E D2E2 ... 0 , ряд обрывается в зависимости от нужной нам точности.

Найдем En q (они все существуют в силу Теоремы существования и единственности решения системы линейных уравнений) n 1,2,... - в общем случае, разные.

Итак, в принципе можно найти энергии и волновые функции электрона с заданной точностью.

1 En q

n 1,2,...

i q

G n

iqr

n,q

q G

; - это теорема Блоха.

Unq r Cn ... eiGr ; Unq r Unq r n n

Итак, для одноэлектронной задачи в периодической решетке имеем

q G1

U G C q G1 G 0.

G,0

Условия разрешимости

q G1

det

E G,0 U G

,n 1,2,...

нумерует строки (количество уравнений).

G нумерует столбцы.

G, G1 определены на одном множестве.

Хотя формально G, G1 принимают бесконечное множество значений, ряд всегда

можно обрезать так, что последующие члены заведомо меньше предыдущих.

		En q
Теорема Блоха:

		e	iqr	U
	nq	e		U		qn	r
	nq	r n				qn		r
U		r n			U			r

	qn						qn
	qn						qn

Если в системе заменить q q G , то просто получим циклическую перестановку строк ,следовательно, определитель может только если знак поменять.

det 0, следовательно, он не изменится и, следовательно, набор корней не поменяется.

En q G En q

Период изменения волнового вектора - G ;

Gmin q Gmin

a 2 2 a

Собственные функции эрмитового оператора образуют полную ортогональную систему:

qn r

q s r

При

drUqn r Uqs r

Собственные значения энергии располагаем в порядке возрастания

(при фиксированном q ):

E1 E2 E3 ...

(Множество собственных значений счетно). Набор q N

Enmin En q Enmax

	Emax
N уровней	n
N уровней
	Emin
	n
запрещенная	E
запрещенная	Enmax1

зона

Enmin1

Спектр имеет полосатую (зонную) структуру. Запрещенной зоны может и не быть, зоны могут перекрываться.

	Emax	Emax
	n	Emax
		n 1
E	Emin
n	n
		Emin
En 1		n 1
En 1

При перекрытии хоть уровни и отвечают различным аналитическим функциям q , но численно – перекрываются.

Внутри каждой зоны 2N состояний. Расселим по ним N электронов одновалентного металла.

Включение электрического поля позволяет (всегда) перевести часть электронов из – подF в область над F . Там – все еще разрешенная зона, это проводник.

Ne 2N

	E2
F	KT E
E1	E1
0	0

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Физика конденсированного состояния

#
15.08.20262 Мб0Tekst_lekcij_7_s.pdf
#
15.08.20261 Мб0Tekst_lekcij_8_s.pdf