Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Физика конденсированного состояния

Файл:

Tekst_lekcij_8_s

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

0			KF		K	K1 K1, 1	Волновой вектор и спин –
0			KF		K	K2 K2, 2	eik1r
							eik1r
два квантовых числа.				Тогда волновая функция k ...,					;


						1		1
	1			1
		0	,	1
		0
					Спиновые волновые функции образуют полный
					Спиновые волновые функции образуют полный
	1
			,	1
			,	1
		0
		0

ортонормированный набор (т.к. они собственные функции оператора спина). Здесь

меряется в единицах

, а 1. - номер элемента в строке или

; поэтому пишем не

столбце.

eik2r

...,

a a

;

k k

k1 1

1 2

k2 2

Вычислим матричный элемент кинетической энергии

ik r

k2 2

1,0 или 0,1

	2														1							2
	p														1			ik r							ik r
																dre		1						e		1
												2				dre								e
										1		2									2m
	2m k				1																2m
				1	1
											1 2
			k			2					1 2
				2		2
							2	1										2	k	2
								1			ik r		ik	r					k				i( k k					)r
			2						dre		1		e 2							2 dre						1	2
									dre		1		e 2							2 dre						1	2
	1					2m										1	2 2m

																								k	,k
																								2		1
		2
ik2			eik2r				k22eik2r

Таким образом , для оператора кинетической энергии во вторичном квантовании получаем:

p2					2k2
						1				,
						1				,
			2 1	k k		2m	k k		2	k1
	2m k			1 2		2m	1 2	1	2
		1 1

		k2 2

где k		2k2
где k		1 .
	1	2m									1
											1			1 0 1,
									1,0					1 0 1,
												0
												0
												0	0 0 0,

									1,0
					* *	c		* *
					* *	c		* *			1
			2	a ,b			d	a c b d			1
	1		2				d				1			0 0 0,
										0,1				0 0 0,
												0
												0
										0,1 0			0 1 1,
										0,1 0			0 1 1,


											1

	1	2 1
при	1 1, 2 1		, соответственно.
	1	1, 2 1
	1	2 1

Продолжим вычисление кинетической энергии.

...

a a

k k

k1k2

1 2

Обозначим,

| n |n1,n2,...,nNe

Окончательно выражение для кинетической энергии электронов примет вид

(0)

n |

|N k | n

n1,n2,...,nk 1,nk ,nk 1,...|

|n 1

|N k |n1,...,nk 1,nk ,nk 1,...

произвед.1

k k

|N k |n

dkk2

k k

;dk k2dkd

4 dk k2

1 2

5 2m

2m 5 2

Лекция 3.
Оператор	числа частиц. Невзаимодействующий электронный газ, его основные

характеристики, уравнение состояния. Одночастичные возбуждения в электронном газе металла.

Итак,

1 2kF5

n |

n 2

5 2m

Введем теперь оператор числа электронов

;

r r r1

k1 1

1 1

k2 2

При этом мы опять воспользовались

вторичным квантованием.

Ne ZN - оператор числа электронов.

Вычислим , как и раньше, матричный элемент:

ik r

eik2r1

1 1

r r

k2 2

i k1 k2

dr1e

r r1

i k k

Теперь оператор числа электронов принимает вид

i k k

1 2

a ;

1 2

k1 k2

k k

1 1

1 2

k2 2

n {n}\| ne \| n		ei k1 k2 r
			{n}\|ak ak \| n
			{n}\|ak ak \| n
e
	k k		1	2
			1	2
	1 2

Действуя оператором a на набор состояний, мы можем уменьшать n на 1 только
k2	k2

внутри ферми-сферы; Затем с помощью оператора ak1 можем увеличить nk1 на 1 только

если k1- снаружи сферы или единственное уменьшенное состояние внутри, то есть k2 .

Если электрон « родится» вновь внутри сферы, получим исходное состояние.

Чтобы матричный элемент не равнялся нулю, a

должен действовать на состояния k

т.е. “исправлять” результат действия a .

Таким образом,

| n {n}

{n}

{n}|a

a a

k1k2

k1 k2

k1k2

продолжим вычисления,

i k1 k2 r

{n}| N | n

{n}|N

k1k2

Итак, на прошлой лекции мы получили выражения для различных вкладов в энергию системы:

E 1,8Z5 3NRy

, r

, N ak

1 2m

0 k kF

внутри сферы

Ферми

k kF

E 0

{n}|T?

| n 2

kF5

- это кинетическая энергия

2 3

2m 5

электронов.

i k

r r

a a

k1k2

i k

n |ne| n

n |a

a | n

k1k2

i k

n |a

a | n

k1k2

k1 k2

k k

1 2

n |N

| n

dk n

4 dk

2 3

k 2 3

nk n | n

Заметим, что

4 k3

n N

2 3

Тогда

kF5

2 4

3 2kF2

n |T e| n

2 3

2m 5

2 3

5 2m

или

E 0

коэффициент

показывает, что электроны ближе к поверхности

Ферми дают вклад больше; (nk

- однородное распределение от 0 до 1 ).

Шаровой слой при большем радиусе (большей энергии) содержит в себе больше точек.

Получим теперь уравнение состояния электронного газа.

T 0,		S 0				нет разницы между полной и свободной энергиями.
0			Eo0						3 2						2
0			Eo0						3 2						2
Pe							Ne							KF
Pe							Ne		5 2m					KF
						Ne			5 2m
						Ne									N	e	1 3						2 3
															N		1 3						2 3
						*		KF				3 2					,		KF2 3 2Ne						2 3
						*		KF				3 2					,		KF2 3 2Ne						2 3

					2				2 3											3	2		1			1
P 0	N			3			3 2Ne					2 3				2		Ne		3		KF2	1	2 E 0		1
P 0	N			3			3 2Ne					2 3				2		Ne				KF2		2 E 0
e		e		5 2m													3			5 2m				3	e
				5 2m													3			5 2m				3
Получаем уравнение состояния										P 0		2 E 0						-	в некотором смысле, это
											e		3		e

аналог уравнения Клайперона – Менделеева для идеального газа.

Система свободных электронов сопротивляется сжатию, то есть устойчива против коллапса. Существование KF2 следует из принципа запрета Паули.

Ne p2

N ;

Z N

1 2m

Выразим электронную энергию в ридбергах

2 3

2 3 N

E 0

3 2

5 2m

re3

3 2

9 2 3 1

9 2 3

2 1 1

3 9 2 3 1

me2

5 2m

4 r3

объем, приходящийся на одну частицу;

Окончательно для кинетической энергии электронного газа имеем

Ee0 2,21ZN Ry . rs2

Теперь рассмотрим энергию взаимодействия электронов.

		1	N	e	2		4
		1		e	2		4		iq r		r
V ee			e						e			- это уже двухчастичный оператор.
V ee		2	e					2	e			- это уже двухчастичный оператор.
		2	1			q q
Перейдем к вторичному квантованию.

A A r ,r										A r1,r2		ak		ak	2	ak	ak	4
	,											k1k2k3k4	1		2	3		4
	,						k1k2k3k4

“четырехквостка”(диаграмма взаимодействия электронов)

A r1,r2

k k

dr1 dr2 k

1,...,r1

2,...,r2

A r1,r2

2,...,r2

k k

1... 2...

1 2

3 4

1,...,r1

Аргументы внешних и внутренних обкладывающих функций должны совпадать.

4 e

V ee

a a

k1k2k3k4

k1 k2

k1k2k3k4

1 2 3 4

1 2

1 2 3 4

Вычислим матричный элемент


			iq r1 r2
e


													k1k2k3k4

																1		2 3 4
												e ik1r1																	e ik2r2				iq r1 r2
	dr1 dr2																								1								2 e



1 2																								1									2
1 2
		e ik3r2												2					e ik4r1											1


																												4
													3															4



					1							4											2
					1				1			4					1						2				2			3		2
			1 1
								1 4																		2 3
								1 4																		2 3
																														q
1					i k1 q k4 r1																1				i k2					q	k3 r2
			dr1e																			dr2e
			dr1e																			dr2e


			1 4 2 3 k4 ,k1 q k3 ,k2 q
При этом мы учли известные выражения для символа Кронекера
1				i		k q k									r
			dr1e					1						4		1
			dr1e					1						4		1
											q					r				k4,k1 q					.
1						i																			.
1						i	k						k
			dr2e							2				3		2
			dr2e							2				3		2
																					k3,k2 q

Лекция 4.

Взаимодействующий электронный газ. Обменное взаимодействие. Оператор электронэлектронного взаимодействия. Структура корреляционной энергии. Корреляция в положении электронов. Коррелятор «плотностьплотность». Энергия взаимодействия электронов. Вигнеровский кристалл.

Для оператора энергии электрон-электронного взаимодействия получаем:

	1		4 e	2

V ee						1111 ak	ak	ak		q	ak q
V ee			q2			1111 ak	ak	ak		q	ak q
	2q	0	q2		k k	1 1 2 2			2	1 2	1 1 1
					1 2

1 2

Теперь найдем электрон-электронный вклад в энергию:

(1)

4 e

n |V ee|

n |a

k1k2

k2 q

k1 q

2q 0

1 2

(**)

Функция | n не должна поменяться; индексы операторов рождения и уничтожения должны совпадать попарно. Имеется две возможности спаривания :

1	k1 k1 q	k2 k2 q	q 0
	1 2	2 2

Но в нашей сумме q 0 , следовательно, этот способ спаривания дает нулевой вклад

(мы учитываем электронейтральность).

k1 k2 q

k2 k1 q ,

Тогда имеем:

1 2

2 1

(**)

4 e

n |a a

| n

(***)

k q

k q k

2q 0

У всех операторов оказались одинаковые спиновые индексы (однонаправленные),

т.е. и		сумма	2.
	ij


ai a j			ak q ak ak ak q

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Физика конденсированного состояния

#
15.08.20262 Мб0Tekst_lekcij_7_s.pdf
#
15.08.20261 Мб0Tekst_lekcij_8_s.pdf