Физические свойства твердых тел. Сборник задач

№ 4086 М И Н И С Т Е РС Т В О Н АУ К И И В ЫС Ш Е ГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ НОВЫХ МАТЕРИАЛОВ И НАНОТЕХНОЛОГИЙ

Кафедра физического материаловедения

В.Ю. Введенский Е.А. Шуваева А.С. Перминов

ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Сборник задач

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2021

3

Предисловие

Сборник содержит более 150 задач по различным разделам курса «Физические свойства твердых тел». Целью пособия является демонстрация возможности практического применения теоретических представлений физики твердого тела.

Развитие науки в настоящее время обусловливает очень быстрое совершенствование наукоемких технологий. Следует обратить внимание на практическое ориентирование современного материаловедения. Повышение качества подготовки обучающихся технических вузов в результате изучения физических свойств твердых тел приобретает большую значимость, а одним из аспектов повышения качества образования является приобретение способности использовать базовые теоретические знания фундаментальных разделов физики для решения профессиональных задач. В сборнике приводятся задачи с реальным профессиональным и техническим содержанием. Решение задач поможет обучающимся понять физический смысл различных свойств реальных материалов, разобраться с влиянием различных факторов, таких как изменение структуры, фазового состояния, анизотропии, температуры, давления и т.п., на формирование физических свойств твердых тел.

4

1. ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ

1.1. Основные формулы

Различают несколько видов теплоемкости.

Теплоемкость тела C, Дж/К, определяется как отношение количества теплоты Q, поглощаемой телом при бесконечно малом изменении его температуры T, к этому изменению:

Различают также теплоемкости для разных условий передачи тепла. Из теории теплоемкости газов известно, что для каждого вещества имеются две характерные величины – удельная теплоемкость при постоянном давлении Cр и удельная теплоемкость при постоянном объеме CV, причем Cр > CV. Поскольку эксперименты, как правило, проводятся в условиях атмосферного давления, то в большинстве случаев измеряется именно теплоемкость при постоянном давлении. Следует заметить, что поскольку тепловое расширение твердых тел очень мало, разница между Cр и CV также не существенна.

5

Линейный закон дисперсии, который связывает угловую частоту колебаний атомов ω и волновой вектор k:

где υзв – скорость распространения звука в среде.

В соответствии с теорией теплоемкости Дебая решеточную составляющую теплоемкости можно определить так:

где параметр x = ħω/kBT, здесь ħ – постоянная Планка, отнесенная к 2p; kB – постоянная Больцмана;

q – характеристическая температура Дебая; R – газовая постоянная.

Температура Дебая определяется следующим выражением:

где W – объем, который приходится на один атом в элементарной ячейке,

l – минимальная длина волны нормальных колебаний атомов в решетке.

При Т > θ возбуждены все частоты нормальных колебаний, и повышение энергии колебаний при нагреве осуществляется в результате увеличения амплитуды. Новые нормальные колебания не появляются. При Т < θ в процессе охлаждения часть нормальных колебаний начинает «вымерзать». Температура Дебая может быть определена следующим образом:

6

где Е – модуль Юнга,

r – плотность твердого тела.

Температуру Дебая можно определить из полуэмпирической формулы Линдемана:

где А – атомная масса, а.е.м.; Ω – объем, приходящийся на атом, Å3,

Тпл – температура плавления материала, К, а = 137 (а.е.м.)1/2 × К1/2 × Ǻ.

Интеграл в формуле (1.9) нельзя выразить через элементарные функции и следует определять численными методами. Рассмотрим предельные случаи для низких и высоких значений температуры.

1. Малые значения температуры: T << θ.

В этом случае верхний предел интеграла θ/T можно приравнять к бесконечности. Тогда интеграл станет постоянной величиной, не зависящей от температуры. В этом случае решеточная составляющая теплоемкости определяется следующим образом:

Уравнение (1.13) называется законом Т3 Дебая (иногда используют название «закон кубов Дебая»).

2. Большие значения температуры: T ≥ θ.

В этом случае x = ħω/kBT << 1, ex ≈ 1 + x и интеграл в формуле (1.9) приближенно равен (θ/T)3/3, тогда

CV = 3R ≈ 25 Дж/(моль · К)

Этот результат совпадает классической теорией (законом Дюлонга – Пти).

Если тип связи и кристаллическое строение химического соединения или промежуточной фазы переменного состава незначительно отличаются от аналогичных свойств компонентов,

7

то их теплоемкость при Т > θ может быть определена в соответствии с правилом аддитивности Неймана – Коппа, согласно которому молярная теплоемкость соединения (промежуточной фазы, твердого раствора) равна сумме атомных теплоемкостей компонентов:

где x1 и x2 – стехиометрические коэффициенты компонентов в соединении.

Правило Неймана – Коппа выполняется для большинства интерметаллических соединений с точностью примерно 6 % в области значений температуры, превышающих температуру Дебая. Кроме того, это правило применимо к промежуточным фазам и твердым растворам, причем в тем большей степени, чем ниже энергия их образования (связи).

Зависимость электронной составляющей теплоемкости от содержания второго компонента в случае переходных металлов в наименьшей степени подчиняется правилу Неймана – Коппа, поскольку переходные металлы имеют сложное электронное строение.

Правило аддитивности справедливо также для гетерогенной системы, только в этом случае с его помощью учитывается не вклад отдельных компонентов в общую теплоемкость, а вклад соответствующих фаз. Причем, как и в случае теплоемкости соединений, твердых растворов и проч., это правило применимо только при значениях температуры, превышающих температуру Дебая:

где q1 и q2 – массовые доли соответствующих фаз; Суд1 и Суд2 – удельные теплоемкости фаз.

Явление теплопроводности описывается законом Фурье: плотность теплового потока jQ пропорциональна градиенту температуры grad T и направлена противоположно ему:

где λ – коэффициент теплопроводности, Вт/(м · К).

8

Плотность потока тепла jQ – это вектор, параллельный направлению потока тепла и равный по абсолютной величине количеству тепловой энергии, пересекающей за единицу времени единичную площадь, перпендикулярную потоку.

Коэффициент теплопроводности определяется в соответствии с классической теорией теплопроводности:

где υ – скорость частицы, которая является носителем тепла в твердом теле (это либо скорость звука для фононного механизма переноса тепла, либо скорость свободных электронов для электронного механизма переноса тепла);

l – длина свободного пробега частицы.

Явление термического расширения заключается в том, что при нагревании металлы и сплавы меняют свои линейные размеры и объем. Это происходит как вследствие изменения среднего расстояния между атомами (истинного термического расширения), так и в результате различных фазовых превращений. Величину термического расширения характеризуют температурным коэффициентом линейного pacширения a (ТКЛР). Среднее значение ТКЛР α в температурном интервале DТ определяют так:

где Dl – изменение длины образца с ростом температуры, l0 – первоначальная длина образца.

Аналогично определяется и температурный коэффициент объемного расширения материалов:

αV = dV 1 . dT VT

Для поликристаллических образцов и монокристаллов с кубической решеткой между коэффициентами a и aV существует простая связь: aV = 3a.

Важным свойством потенциала межатомного взаимодействия U(r), где r – расстояние между центрами соседних атомов, явля-

9

ется его асимметричность. Для аналитического описания потенциала целесообразно использовать величину смещения атомов из положения равновесия x (x = r – r0, где r0 – равновесное межатомное расстояние). В этом случае потенциал взаимодействия можно описать степенным рядом:

где g – константа материала, которую часто называют коэффициентом ангармонизма, g = 3γ f /r0, здесь γ – постоянная Грюнайзена; f – квазиупругий коэффициент (сила при единичном смещении атома, f ≡ U″(0)).

Тогда, силу взаимодействия можно описать следующим образом:

При нагреве атомы начинают колебаться около положения равновесия. Рассматривая атомы как классические гармонические осцилляторы, примем среднюю энергию тепловых колебаний на одну степень свободы атомов ε =kBT . С другой сто-

роны, кинетическая энергия колебаний составляет 12 fx2, где

x2 – среднее во времени значение квадрата амплитуды колебаний атомов. Приравнивая эти виды энергии, получим:

Далее вычислим среднее за период колебаний смещение атомов из положения равновесия x . За период колебаний среднее значение F равно нулю ( F =0 ). Тогда из (1.20) следует:

F = −fx + gx2 =0;

10