Физические свойства твердых тел. Сборник задач

Таким образом, выражение (1.25) показывает, что коэффициент термического расширения прямо пропорционален постоянной Грюнайзена, которая является показателем типа сил связи в решетке, с одной стороны, и ангармоничности колебаний атомов, с другой.

11

1.2.Задачи

1.1.Оценить максимальную частоту колебаний атомов меди.

Дополнительные данные: для Cu характерна решетка ГЦК, модификацийнет;модульЮнгаравен125ГПа,плотностьr=8,96г/см3, атомный металлический радиус составляет 0,128 нм.

1.2.Оценить различными методами температуру Дебая для алюминия. Дополнительные данные: для Al характерна решетка ГЦК, модификаций нет; модуль Юнга равен 72 ГПа, температура плавления равна 933 К, молярная масса М = 27 г/моль, плотность r = 2,7 г/см3, атомный металлический радиус составляет 0,143 нм.

1.3.Оценить решеточную молярную теплоемкость алюминия при значениях температуры 2 и 700 К.

1.4.Оценить (на основании материалов лекций) температуру плавления для свинца. Дополнительные данные: для Pb характерна решетка ГЦК, модификаций нет; атомный металлический радиус составляет 0,175 нм; температура Дебая равна 89 К, молярная масса М =207 г/моль.

1.5.Схематично изобразить возможный вид кривой зависимости коэффициента термического расширения от температуры для никеля в интервале значений температуры от 0 К до температуры плавления. Объяснить возможные закономерности изменения этой зависимости. Дополнительные данные: для Ni характерна решетка ГЦК, модификаций нет, температура перехода из ферромагнитного в парамагнитное состояние равна 631 К, температура плавления равна 1726 К, молярная масса М = 59 г/моль, плотность r = 8,9 г/см3, атомный металлический радиус составляет 0,124 нм.

1.6.Схематично изобразить возможный вид кривой зависимости теплоемкости от температуры для олова в интервале значений температуры от 0 К до температуры плавления. Объяснить возможные закономерности изменения этой зависимости. Дополнительные данные: для Sn при комнатной температуре характерна b-модификация (тетрагональная сингония), в результате охлаждения при 286 К происходит переход в a-модификацию (кубическая сингония), температура плавления равна 505 К, температура Дебая равна 200 К.

12

1.7.Рассчитать теплоемкость стали марки У12 (содержащей

углерод массовой долей 1,2 %). Cm(a-Fe) = 25,20 Дж/(моль · К), Cm(Fe3C) = 105,76 Дж/(моль · К); М(Fe) =56 г/моль, М(С) =

=12 г/моль.

1.8.Оценить теплоемкость химического соединения Cu3Au, Cуд(Cu) = 37,9 Дж/(моль · К), Cуд(Аu) = 25,39 Дж/(моль · К). Результат представить в виде удельной теплоемкости (молярная масса меди М = 64 г/моль, золота М = 197 г/моль).

1.9.Оценить длину свободного пробега фононов для низких значений температуры, много ниже температуры Дебая, для металла (металлический радиус составляет 0,2 нм, ОЦК решетка) с атомной долей примесей, равной 0,1 %, для металла с плотностью дислокаций 106 см/см3, для монокристалла со средним размером грани 10 нм.

1.10.Оценить значение коэффициента теплопроводности при температуре 3 К для монокристалла с линейными размерами около 0,5 мкм, если известно, что скорость распространения

звука в материале составляет 3000 м/с, температура Дебая равна 430 К, плотность материала r =22,65 г/см3, молярная масса М = 192 г/моль.

1.11.Образец массой 25 г, нагретый до 100 °С, сбросили в во-

дяной калориметр с теплоемкостью 1 Дж/К. В результате температура воды в калориметре повысилась с 20 до 22 °С . Найдите удельную теплоемкость материала образца.

1.12.Молярная теплоемкость вольфрама при комнатной температуре равна 24,27 Дж/(К · моль). Найдите удельную теплоемкость, если относительная атомная масса вольфрама составляет 183,84 а.е.м.

1.13.Молярная теплоемкость титана при комнатной температуре равна 25,1 Дж/(моль · К). Чему равна теплоемкость в расчете на одну частицу?

1.14.При комнатной температуре удельная теплоемкость алюминия равна 897 Дж/(кг · К), а коэффициент электронной теплоемкости равен 14,2.10–4 Дж/(моль · К2). Атомная масса алюминия равна 26,98 а.е.м. Какую долю от общей теплоемкости составляет электронная теплоемкость?

1.15.При какой температуре электронная и решеточная составляющие теплоемкости серебра равны друг другу, если коэф-

13

фициент электронной теплоемкости равен 6,8.10–4 Дж/(моль · К2), а температура Дебая составляет 225 К?

1.16. В силумине (сплаве алюминия с кремнием) массовая доля кремния равна 12 %. Сплав состоит из двух фаз в виде практически чистых компонентов. Найдите удельную теплоемкость сплава, если удельная теплоемкость алюминия и кремния равна соответственно 897 и 720 Дж/(кг · К).

1.17. Найдите удельную теплоемкость эвтектоидной стали с массовой долей углерода 0,8 %. Значения молярной теплоемкости фаз (феррита и цементита Fe3C) примите одинаковыми и равными 25 Дж/(моль · К) в соответствии с законом Дюлонга – Пти. Атомная масса железа равна 56 а.е.м., углерода – 12 а.е.м.

1.18. Оцените удельную теплоемкость латуни с массовой долей меди 80 % и цинка 20 %, приняв молярную теплоемкость меди и цинка равной соответственно 24,44 и 25,4 Дж/(моль · К). Атомная масса меди равна 63,55 а.е.м, цинка – 65,38 а.е.м.

1.19. Используя закон Дебая, оцените температуру Дебая ванадия по приведенным в таблице значениям молярной теплоемкости С при разных значениях температуры Т.

1.20. Оцените ангармоническую составляющую теплоемкости меди (разность значений теплоемкости, измеренных при постоянном давлении и при постоянном объеме) при комнатной температуре, если молярный объем равен 7,1 см3/моль, температурный коэффициент линейного расширения составляет 17 · 10–6 К–1, а модуль всестороннего сжатия равен 137,8 ГПа.

1.21. В каком металле – железе или вольфраме – выше ангармоническая составляющая теплоемкости при температуре, превышающей температуру Дебая?

1.22. Нарисуйте на одном графике спектры нормальных колебаний (по Дебаю) для алмаза и олова. Дайте объяснение полученных различий.

1.23. Нарисуйте на одном графике температурные зависимости общего числа фононов для двух веществ с разными значениями температуры Дебая.

14

1.24.Для какого металла – золота или вольфрама – электронная составляющая теплоемкости выше?

1.25.Нарисуйте на одном графике температурные зависимости теплоемкости решетки для двух веществ с разными значениями температуры Дебая – 100 и 200 К.

1.26.Нарисуйте на одном графике зависимости температуры Дебая от давления для свинца и вольфрама.

1.27.Электронное строение внешних оболочек атомов двух элементов описывается формулами: 3d124s1 и 3d114s1. Для какого элемента электронная теплоемкость выше?

1.28.Нарисуйте зависимость от энергии плотности электронных состояний для s- и d-зоны металла. Укажите, где может находиться уровень Ферми для нормального металла и для переходного d-металла.

1.29.Нарисуйте схематически температурную зависимость теплоемкости железа при постоянном давлении.

1.30.Найдите связь между температурным коэффициентом объемного расширения и температурным коэффициентом линейного расширения для изотропного твердого тела.

1.31.Для монокристалла температурный коэффициент линейного расширения, измеренный вдоль кристаллографических направлений [100], [010] и [001], равен соответственно 11 · 10–6, 11 · 10–6 и 9 · 10–6 К–1. Определите относительное изменение объема монокристалла при его нагреве на 100 К.

1.32.Согласно критерию Линдемана, плавление твердого тела наступает при температуре, при которой среднее смещение атома из положения равновесия составляет определенную долю

Ĉот межатомного расстояния. Найдите значение Ĉ для меди,

имеющей температурный коэффициент линейного расширения 17 · 10–6 К–1 и температуру плавления 1083 °С.

1.33.Температурный коэффициент линейного расширения вольфрама равен 4,5 · 10–6 К–1, а период ОЦК решетки – 0,316 нм. Оцените значение силовой постоянной (в Н/м), принимая постоянную Грюнайзена равной 2.

1.34.Оцените среднеквадратическое смещение атома из положения равновесия для меди при температуре 500 К. Температура

Дебая меди равна 315 К, атомная масса составляет 63,546 а.е.м. Постоянная Планка ħ= 1,05 · 10–34 Дж · с, постоянная Больцмана kB = 1,38 · 10–23 Дж/К.

15

1.35.При температуре 0 К алюминиевый образец имел форму кубика с длиной ребра 10 мм. Чему примерно равна длина ребра при нагреве до температуры, близкой к температуре плавления (933 К)?

1.36.Химической связью какого типа определяется межатомное взаимодействие в материале, если его теплопроводность зависит от изотопного состава?

1.37.В каких случаях коэффициент теплопроводности зависит от размера образцов, т.е. перестает быть свойством материала?

1.38.Почему температурный коэффициент удельного электрического сопротивления однофазной α-латуни отличается от температурного коэффициента чистой меди?

1.39.Как коэффициент теплопроводности неметаллов, измеренный при значениях температуры, превышающих температуру Дебая, зависит от энергии связи и массы атомов?

1.40.Почему нагрев может изменять коэффициент теплопроводности чистого металла в противоположном направлении по сравнению с однофазным сплавом на его основе?

1.41.Почему зависимость коэффициента теплопроводности от температуры имеет вид кривой с максимумом? Разобрать случаи для металлов и неметаллов.

1.42.Дайте вывод закона теплопроводности Фурье.

1.43.В каких случаях и почему теплопроводность зависит от размеров образца?

1.44.Теплопроводность чистого вещества (химического элемента) при высоких значениях температуры не зависит от температуры. Каков тип химической связи в веществе? Какова температурная зависимость удельной проводимости этого вещества при указанных значениях температуры?

1.45.Какие механизмы рассеяния определяли бы теплопроводность решетки, если бы атомы колебались гармонически?

1.46.Почему в случае одновременного действия нескольких механизмов рассеяния правило аддитивности справедливо не для коэффициента теплопроводности, а для его обратной величины?

1.47.Как и почему пластическая деформация влияет на теплопроводность решетки?

16

1.48. Нарисуйте график зависимости теплопроводности сплавов от их состава при температуре Т1 (см. рисунок, на котором представлена диаграмма состояния рассматриваемой системы А–В).

1.49.Нарисуйте на одном графике температурные зависимости теплопроводности для алюминия и молибдена. Дайте объяснение полученных различий.

1.50.Почему для металлов изотопный состав практически не влияет на теплопроводность, в то время как для неметаллов такая зависимость наблюдается?

17

2. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ

2.1. Основные формулы

Магнетизм вещества обусловлен в первую очередь особенностями его электронного строения. Магнитный момент атома Ма складывается по большей части из магнитных моментов электронов Ме, поскольку магнитные моменты протонов и нейтронов на несколько порядков меньше, чем у электрона: Ма ≈∑Мe .

Для оценки магнитного момента электрона «снизу» применяют магнетон Бора mB:

µВ = e =0,9273 10−23 Дж/Тл, 2mе

где me – масса электрона; e – заряд электрона.

Для описания магнитных свойств материалов, состоящих из множества частиц, обладающих магнитным моментом, используется вектор намагниченности I , величину и направление которого можно определить по сумме всех магнитных моментов

Для характеристики интенсивности процесса намагничивания можно использовать магнитную восприимчивость c:

или магнитную проницаемость mabs:

abs H

где B – величина модуля магнитной индукции, Тл; Н – напряженность магнитного поля, А/м.

Индукция магнитного поля при измерениях на воздухе Вв = = mвm0Н ≈ m0Н, так как магнитная проницаемость воздуха mв близка к единице (mв = 1,000038). В присутствии образца индук-

18

ция поля изменяется на величину собственной индукции образца m0I, так что

Чаще всего для оценки магнитных свойств ферромагнетиков используют относительную проницаемость m:

Магнитное состояние слабых магнетиков – диамагнетиков и парамагнетиков – определяется конкуренцией вкладов пара- и диамагнетизма решетки и электронного газа:

Диамагнитную молярную восприимчивость решетки можно определить из следующего выражения:

где Z – число электронов в атоме (ионе), rk – радиус орбиты электрона,

k – порядковый номер электрона.

Подставив значения всех констант (числа Авогадро NA, магнитной проницаемости вакуума m0, массы электрона me, заряда электрона e) получим для молярной восприимчивости cм следующее выражение:

Z

χрешеткидиа = −3,55 109 ∑rk2. (2.8) k=1

Если принять для орбиты электрона r = 10–10 м, получим для cм, м3/моль (в СИ), следующее выражение:

Парамагнитную составляющую восприимчивости решетки можно определить из закона Кюри для парамагнетиков в модели Ланжевена:

19

Выражение для парамагнитной восприимчивости электронов получено в теории Паули:

где N(ef) – плотность электронных состояний на уровне Ферми

с энергией ef;

n – концентрация свободных электронов.

Диамагнитная восприимчивость электронов примерно в три раза меньше, чем парамагнитная:

Ферромагнитные материалы отличаются от слабых магнетиков значением магнитной проницаемости, которое может достигать нескольких миллионов. При этом магнитная проницаемость ферромагнетиков, в отличие от слабых магнетиков, сложным образом зависит от поля – как правило, по кривой с максимумом. Одна из особенностей ферромагнетиков заключается в том, что они состоят из областей с различным направлением самопроизвольной намагниченности – доменов. Устойчивое состояние доменной структуры определяется минимумом суммарной энергии ферромагнетика. Для наиболее точного описания доменной структуры необходим учет следующих составляющих энергии материала:

––энергии взаимодействия с внешним полем;

––обменной энергии;

––магнитостатической энергии (энергии размагничивающего фактора, обусловленной влиянием формы тела);

––энергии магнитной кристаллической анизотропии;

––магнитоупругой энергии;

––энергии магнитострикционной деформации.

Для характеристики границ доменов используют два основных параметра:

20