Физические свойства твердых тел. Сборник задач

––толщину границы домена d;

––удельную энергию границы домена g.

Оба параметра определяются соотношением составляющих энергии ферромагнетика, однако для упрощения расчетов используют вклады обменной энергии gоб и энергии анизотропии gа:

где a и b – числовые константы, a ≈ b ≈ 1; А – обменный интеграл;

s – спин;

а – параметр решетки;

K1 – константа магнитной кристаллической анизотропии. Тогда из условия минимума энергии ddδγ =0 получим:

Если же действует еще и магнитоупругая энергия, то ее можно учесть в эффективной константе анизотропии:

где lS – магнитострикция насыщения; σi – внутренние напряжения,

b – коэффициент, b ≈ 1.

Тогда

Процесс перемагничивания ферромагнетиков является необратимым, т.е. при перемагничивании совершается работа. Характеристикой, которая показывает сложность перемагничивания, может служить коэрцитивная сила, т.е. то поле обратного знака, которое нужно приложить к предварительно намагниченному до насыщения образцу так, чтобы его индукция или на-

21

магниченность стали равны нулю. Значение коэрцитивной силы можно определить из теории коэрцитивной силы. Коэрцитивная сила, необходимая для смещения границ доменов площадью S вдоль оси х, определяется максимальным градиентом энергии границы Wg:

где IS – намагниченность насыщения.

В выражении (2.17) первый вклад обусловлен изменением площади границ доменов, которое может быть вызвано наличием слабомагнитных включений. В этом случае на создание границы нужно тратить тем меньше энергии, чем больше включений, которые являются естественными границами доменов, например, для сферических включений диаметром d с объемной долей a:

Второй вклад обусловлен изменением удельной энергии границы при ее смещении. Изменение удельной энергии границ может быть связано с изменением уровня внутренних напряжений si:

Разница между работой намагничивания по оси легкого намагничивания (ОЛН) и произвольному направлению получила название энергии магнитной кристаллической анизотропии. Например, для кубической решетки энергия магнитной кристаллической анизотропии определяется следующим образом:

где Si – направляющие косинусы углов между направлением намагниченности I и ребрами куба вдоль осей i = 1, 2, 3;

K1, K2 – константы анизотропии, K2 << K1;

K0 – константа, не зависящая от направления намагничивания.

22

2.2.Задачи

2.1.Оцените угловую частоту электрона в модели Бора для меди в отсутствие внешнего магнитного поля. Дополнительные данные: масса атома меди 63,546 а.е.м., номер в таблице Менде-

леева 29, максимальный радиус электронной орбиты 0,128 нм. Справочные данные: e0 = 8,85 × 10–12 Ф/м, m0 = 4p × 10–7 Гн/м, h =

=6,63×10–34 Дж×с,постояннаяБольцманаkB =1,38×10–23 Дж/К, число Авогадро NA = 6,02 × 1023 моль–1, масса электрона 9,1 × 10–31 кг, заряд электрона е = 1,6 × 10–19 Кл.

2.2.Оцените изменение угловой частоты электрона в модели Бора для алюминия при изменении напряженности магнитного поля на Н = 1000 А/м. Дополнительные данные: масса атома алюминия 27 а.е.м., номер в таблице Менделеева 13, максимальный радиус электронной орбиты 0,143 нм, справочные данные см. в задаче 2.1.

2.3.Исходя из того что закон Кюри для газа – кислорода

χ = 0,993T , оцените для атома кислорода значение магнитно-

го момента. Дополнительные данные: масса атома кислорода 16 а.е.м., номер в таблице Менделеева 8, оценочный радиус одной из электронных орбит 0,25 нм, температура плавления кислорода 54,8 К, справочные данные смотри в задаче 2.1.

2.4.Оцените величину внешнего магнитного поля, необходимого для того, чтобы достигнуть намагниченности насыщения парамагнитного никеля при температуре 300 К. Дополнительные данные: масса атома никеля 59 а.е.м., номер в таблице Мен-

делеева 28, плотность никеля 8,9 г/см3, намагниченность насы-

щения никеля при 300 К IS = 0,44×106 А/м, справочные данные см. в задаче 1.

2.5.Определить закон Кюри для парамагнитного никеля

впредположении, что магнитный момент атома никеля Mа = 2mB. Дополнительные данные: масса атома никеля 59 а.е.м., номер

втаблице Менделеева 28, плотность никеля 8,9 г/см3, справочные данные см. в задаче 2.1.

2.6.Оцените диамагнитную молярную восприимчивость решетки для кислорода при комнатной температуре. Дополнительные данные: масса атома кислорода 16 а.е.м., номер в таблице

23

Менделеева 8, оценочный радиус одной из электронных орбит 0,25 нм, температура плавления кислорода 54,8 К.

2.7.На основе современных физических представлений нарисуйте схему зависимости намагниченности насыщения от температуры для стали с массовой долей углерода 0,8 %.

2.8.Оцените толщину границы домена в закаленной стали,

если известно, что значение K1 = 8 кДж/м3; магнитострикция насыщения ls = 6 × 10–5; амплитуда закалочных напряжений достигает 100 МПа, параметр решетки для железа составляет 2,87 Å, точка Кюри 768 °С, температура кристаллизации стали равна примерно 1500 °С, плотность стали 7,8 г/см3. Поправочный коэффициент b » 1.

2.9.Оцените размер однодоменности в сплаве на основе кобальта. Справочные данные: Для Со температура Кюри 1121 °С, индукция насыщения 1,5 Тл, температура плавления 1400 °С,

решетка – ГПУ, средний параметр решетки a2+c = 3,3 Å, металлический радиус атома – 1,25 Å, эффективная анизотропия

95кДж/м3.

2.10.Из экспериментальных данных известно, что для сплава на основе MnBi критический размер однодоменности составляет

d0 » 0,2 мкм, точка Кюри для это сплава 533 К, средний параметр решетки 22 Å. Оцените значение эффективной анизотропии в этом сплаве (сплаве Гейслера).

2.11.Константы магнитной кристаллической анизотропии фер-

ромагнетика с кубической решеткой K1 = 100 Дж/м3, K2 = 0. Каковы кристаллографические индексы оси легкого намагничивания?

2.12.Константы магнитной кристаллической анизотропии

ферромагнетика с кубической решеткой K1 = –100 Дж/м3, K2 = 0. Каковы кристаллографические индексы оси легкого намагничивания?

2.13.Константы магнитной кристаллической анизотропии ферромагнетика с кубической решёткой K1 = 100 Дж/м3, K2 =

=50 Дж/м3. Будет ли в кристаллографической плоскости (110) наблюдаться ось легкого намагничивания?

2.14. Константы магнитной кристаллической анизотропии ферромагнетика с кубической решеткой K1 = –50 Дж/м3,

24

K2 = 10 Дж/м3. Будет ли в кристаллографической плоскости

(110)наблюдаться ось легкого намагничивания?

2.15.Оцените температуру Кюри ферромагнетика, если маг-

нитный момент атома равен 2μB (μB = 9,27·10–24 А · м2), постоянная Вейсса 1000, число атомов в единице объема 8 · 1028 м–3.

2.16.При нагреве от 100 до 200 К магнитная восприимчивость материала уменьшилась в два раза. Какова магнитная структура материала?

2.17.При нагреве от 200 до 300 К магнитная восприимчивость материала не изменилась. Какова магнитная структура материала?

2.18.Температура Кюри ферромагнетика равна 100 К. Во сколько раз изменится магнитная восприимчивость этого материала при нагреве от 200 до 300 К?

2.19.Температура Кюри ферромагнетика равна 300 К. Во сколько раз изменится магнитная восприимчивость этого материала при нагреве от 400 до 500 К?

2.20.Чему равна молярная восприимчивость материала, имеющего ОЦК решетку с периодом 0,3 нм, если объемная восприимчивость равна 10–4?

2.21.Чему равна удельная намагниченность материала, если намагниченность составляет 400 кА/м, а плотность – 7,5 г/см3?

2.22.Во сколько раз изменится ширина домена (с направлением спонтанной намагниченности, перпендикулярным поверхности образца) при уменьшении толщины ферромагнитного образца в два раза?

2.23.Во сколько раз изменится ширина домена (с направлением спонтанной намагниченности, перпендикулярным поверхности образца) при увеличении толщины ферромагнитного образца в три раза?

2.24.Обменный параметр А и константа магнитной кристал-

лической анизотропии K1 при нагреве уменьшаются в два раза. Как при этом изменяется удельная энергия 180-градусных границ доменов?

2.25.Обменный параметр А и константа магнитной кристал-

лической анизотропии K1 при нагреве уменьшаются в 1,5 раза. Как при этом изменяется толщина 180-градусных границ доменов?

25

2.26.Постоянная Кюри двух парамагнетиков различается в два раза. Во сколько раз различаются магнитные моменты атомов, если объемы, приходящиеся на каждый из этих атом, примерно одинаковы?

2.27.Оцените, во сколько раз различается молярная диамагнитная восприимчивость аргона и криптона, если пренебречь различием размеров их атомов (электронных оболочек).

2.28.Каково значение размагничивающего поля, если внешнее магнитное поле, ориентированное перпендикулярно плоскости тонкой ферромагнитной пленки, создает намагниченность 100 кА/м?

2.29.Каково значение размагничивающего поля, если внешнее магнитное поле напряженностью 10 кА/м, ориентированное перпендикулярно плоскости тонкой ферромагнитной пленки, создает магнитную индукцию 0,4 Тл?

2.30.При увеличении напряженности внешнего магнитного поля от 0 до 1000 А/м намагниченность предварительно размагниченного тороидального образца увеличилась до 800 А/м. Чтобы получить то же значение намагниченности в стержневом образце, пришлось приложить магнитное поле 1500 А/м. Рассчитайте значение размагничивающего фактора стержневого образца.

2.31.При увеличении напряженности внешнего магнитного поля от 0 до 1000 А/м намагниченность предварительно размагниченного тороидального образца увеличилась до 800 А/м. Какое поле надо приложить к образцу с размагничивающим фактором 0,9, чтобы получить то же значение намагниченности?

2.32.Во сколько раз согласно теории напряжений должна различаться коэрцитивная сила двух образцов из одного и того же материала с плотностью дислокаций 2 · 105 и 8 · 1011 см–2?

2.33.Во сколько раз различается максимальное размагничивающее поле внутри ферромагнитных образцов цилиндрической и сферической формы при одинаковом значении намагниченности?

2.34.Два ферромагнитных образца имеют одинаковую по форме прямоугольную петлю гистерезиса. Коэрцитивная сила

иостаточная индукция в первом образце равны соответственно 100 А/м и 0,5 Тл, во втором образце – 80 А/м и 0,6 Тл. В каком образце потери энергии за один цикл перемагничивания больше?

26

2.35.Два ферромагнитных образца имеют одинаковую по форме прямоугольную петлю гистерезиса. Коэрцитивная сила

иостаточная индукция в первом образце равны соответственно 90 А/м и 0,4 Тл, во втором образце – 120 А/м и 0,3 Тл. В каком образце потери энергии за один цикл перемагничивания больше?

2.36.Ферромагнитный образец имеет прямоугольную петлю гистерезиса. Коэрцитивная сила и остаточная индукция равны соответственно 200 А/м и 0,5 Тл. Рассчитайте количество тепла, выделяющегося в единицу времени в образце при перемагничивании переменным магнитным полем частотой 50 Гц.

2.37.Ферромагнитный образец имеет прямоугольную петлю гистерезиса с остаточной индукцией 0,5 Тл. Какова коэрцитивная сила по индукции, если удельные потери на перемагничивание в переменном поле частотой 50 Гц составляют 4 Вт/кг, а плотность материала – 8 г/см3?

2.38.Кривая намагничивания ферромагнетика имеет вид прямой линии вплоть до достижения насыщения. Поле насыщения равно 100 А/м, а индукция насыщения – 0,6 Тл. Чему равна работа намагничивания?

2.39.Кривая намагничивания монокристалла ферромагнетика с ОЦК решеткой имеет вид прямой линии вплоть до достижения насыщения. При измерении вдоль оси легкого намагничивания поле насыщения равно 100 А/м, а вдоль оси трудного намагничивания – 200 А/м. Индукция насыщения составляет 0,6 Тл. Чему равна константа магнитной кристаллической анизотропии

K1?

2.40.Доменная структура магнитного материала состоит из полосовых доменов, разделенных параллельными 180-градусны-

ми границами доменов (ГД). Внешнее магнитное поле приложено под углом 30° или 60° к ГД. Во сколько раз различается критическое поле смещения ГД?

2.41.Доменная структура магнитного материала состоит из полосовых доменов, разделенных параллельными 180-градус- ными границами доменов. Какова зависимость напряженности магнитного поля, в котором происходит скачок Баркгаузена, от ориентации этого поля?

2.42.Кривую намагничивания материала измеряли на двух образцах – кольцевом, используя циркулярное магнитное поле,

27

и стержневом, прикладывая поле вдоль оси стержня. Намагниченность 105 А/м в первом случае достигалась в поле 100 А/м, а во втором – в поле 8000 А/м. Чему равны коэффициенты размагничивания образцов?

2.43.Используя модель напряжений для описания процесса смещения границ доменов, найдите связь между начальной проницаемостью и коэрцитивной силой магнитно-мягких материалов.

2.44.По литературным данным, магнитная проницаемость материала равна 1000, в то время как измерения дают значение

400.Предполагая, что различия связаны с влиянием размагничивающего поля при измерениях, рассчитайте коэффициент размагничивания.

2.45.Доменная структура магнитного материала с индукцией насыщения 0,5 Тл состоит из полосовых доменов шириной

100мкм, разделенных параллельными 180-градусными границами доменов. Оцените величину скачка Баркгаузена, если после срыва с препятствия доменная граница перемещается в среднем на расстояние 5 мкм.

2.46.В каком из двух материалов может быть получена большая начальная проницаемость, если индукция насыщения равна 1 и 0,5 Тл, а константа магнитной анизотропии 100 и

50Дж/м3 соответственно?

2.47.В рамках модели напряжений оцените коэффициент жесткости границ доменов для материала с магнитострикцией насыщения 10–6 и толщиной границ доменов 0,1 мкм, если амплитуда напряжений равна 50 МПа, а длина волны напряжений – 10 мкм.

2.48.Для монокристалла с кубической решеткой работа намагничивания при приложении магнитного поля вдоль направлений [100], [110], [111] равна 100, 90 и 110 Дж/м3 соответственно. Найдите константу магнитной анизотропии K1, принимая

K2 = 0.

2.49. Оцените наибольшее возможное значение коэффициента жесткости 180-градусных границ доменов для материала с индукцией насыщения 0,5 Тл, если под действием поля напряженностью 0,1 А/м граница доменов обратимо смещается на расстояние 0,2 мкм.

28

2.50. В образце с коэффициентом размагничивания N = 0,4 магнитное насыщение достигается в поле напряженностью 5000 А/м. Найдите напряженность поля насыщения для образца с N = 0,5, если индукция насыщения равна 0,6 Тл.

2.51. Оцените удельные потери энергии на гистерезис (в Дж/м3) для материала с прямоугольной петлей гистерезиса, характеризующегося коэрцитивной силой 10 А/м и остаточной индукцией 0,3 Тл.

2.52.Какой вид магнитной анизотропии (магнитокристаллическая или магнитоупругая) определяет величину магнитных свойств ферромагнетика, если константа магнитокристаллической анизотропии равна 500 Дж/м3, магнитострикция насыщения – 3 · 10–5, а внутренние напряжения (в среднем) – 100 МПа?

2.53.Оцените наибольшее значение начальной магнитной проницаемости, обусловленной процессом вращения вектора намагниченности, для материала с индукцией насыщения 0,6 Тл и константой магнитной анизотропии 80 Дж/м3.

2.54.Считая, что кривая намагничивания имеет вид прямой линии вплоть до достижения магнитного насыщения в поле напряженностью 200 А/м, найдите работу намагничивания. Индукция насыщения материала равна 0,9 Тл.

2.55.Константы магнитной кристаллической анизотропии

материала с кубической решеткой K1 = 400 Дж/м3, K2 = 0. Какие кристаллографические индексы имеет направление, параллельное оси легкого намагничивания?

2.56.Доменная структура одноосного магнитного материала состоит из полосовых доменов, разделенных параллельными 180-градусными границами доменов. Найдите напряженность поля насыщения, если поле приложено перпендикулярно намагниченности доменов. Индукция насыщения материала равна 0,6 Тл, константа магнитной анизотропии – 200 Дж/м3.

29

3. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ

3.1. Основные формулы

Измерение электрического сопротивления R основывается

Однако электрические свойства материала характеризуется не величиной R, а удельными электрическими величинами – удельным электрическим сопротивлением r и удельной электрической проводимостью g, причем, по определению, g = r–1.

Обозначив через l длину образца, а через S – его сечение, выражение для r можем записать в следующем виде:

В СИ величину r выражают в Ом × м, а в практической системе единиц – в Ом × мм2/м. Коэффициент перехода из единиц СИ в другие составляет 106, а от размерности [Ом × мм2/м] к [мкОм × см] – 102.

Обозначив через j плотность электрического тока (j = I/S), а через E (Е = U/l) – напряженность электрического поля, запишем закон Ома в дифференциальном виде:

Отсюда следует физический смысл характеристики g, которая представляет собой такое количество электричества, которое переносится за единицу времени через единицу площади сечения проводника в поле Е единичной напряженности.

В соответствии с моделью Друдэ – Лоренца выражения для удельной электропроводности g и удельного сопротивления r можно записать в следующем виде:

30