Физические свойства твердых тел. Сборник задач

Таблица 1 – Данные по атомно-кристаллической структуре и физико-механическим свойствам цветных металлов

41

4.МЕЖАТОМНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

ИФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА. ДВУХАТОМНАЯ МОДЕЛЬ ТВЕРДОГО ТЕЛА

4.2. Основные формулы

При описании физических свойств целесообразно применять двухатомную модель, представляющую собой твердое тело в виде молекулы, образованной двумя одинаковыми атомами. При этом за аналог объема принимают длину молекулы, т.е. расстояние r между центрами атомов, а давление связывают со сжимающей внешней силой.

Основной характеристикой материала в двухатомной модели является зависимость потенциальной энергии взаимодействия между атомами ϕ от межатомного расстояния. Общий характер этой зависимости обусловлен следующими соображениями. При очень больших значениях r атомы практически не взаимодействуют друг с другом, т.е. ϕ(∞) = 0. При уменьшении расстояния r возникает притяжение между атомами, в результате чего потенциальная энергия понижается. При некотором расстоянии r = r0 энергия достигает минимального значения. Это расстояние r0 называют равновесным межатомным расстоянием. Дальнейшее уменьшение r должно сопровождаться увеличением энергии. При r → 0 энергия должна возрастать до бесконечности изза увеличения сил отталкивания.

График зависимости ϕ(r) имеет вид кривой с минимумом (рис. 4.1). Для краткости потенциальную энергию взаимодействия называют потенциалом, а кривую зависимости ϕ(r) – потенциальной кривой. Глубина потенциальной ямы ε представляет собой энергию диссоциации двухатомной молекулы. В твердом теле величина ε интерпретируется как энергия связи атома – работа, которую надо совершить для отрыва от тела атома и удаления его на бесконечно большое расстояние, где нет взаимодействия.

Сила взаимодействия между атомами F определяется дифференцированием потенциала по расстоянию:

42

притяжения), положительное слагаемое – отталкивание (потенциал отталкивания). В качестве обобщения для анализа материалов с любым типом связи часто используют потенциал межатомного взаимодействия в виде уравнения Иоффе:

где A, B, m, n – положительные эмпирические постоянные, причем А характеризует значение сил притяжения, В – значение сил отталкивания.

Таблица 4.1

Потенциалы межатомного взаимодействия для разных типов химической связи между атомами

(буквами А, В, С, b обозначены положительные эмпирические постоянные)

Считается, что значения показателей степени m и n определяются типом химической связи. Другими словами, для материалов с одинаковым типом связи должны быть одинаковы m и n. Всегда n > m, иначе при r → 0 потенциал ϕ(r) стремится не к +∞, а к –∞. Это означало бы сжатие тела в одну точку, что невозможно.

Приравнивая производную dϕ/dr к нулю, находим равновесное расстояние между атомами:

Используя формулу (4.3) для равновесного расстояния и равенство ε = – ϕ(r0), для энергии связи получим

При расчетах значений физических свойств часто используют вторую и третью производные потенциала по расстоянию в точке минимума энергии:

44

Как и следовало ожидать, вторая производная положительна (это условие минимума). Третья производная отрицательна и пропорциональна отношению второй производной к r0. Основываясь на этом соотношении, вводят безразмерную положительную постоянную Грюнайзена γ:

Следовательно, значение γ должно быть одинаково для материалов с одинаковым типом связи. Этим обусловлен тот факт, что в наименовании параметра γ использовано слово «постоянная». Судя по данным табл. 4.1, численные значения γ даже для веществ с разным типом связи должны находиться в интервале от 1 до 3. Из практического же опыта следует, что для металлов γ = 0,45…5,76; в качестве постоянной для аналитической оценки различных величин используется значение γ = 2.

Введем так называемую силовую постоянную (квазиупругий коэффициент) f ≡ ϕ″(r0). Используя определение силовой постоянной как второй производной потенциала по расстоянию в точке минимума и следующее из уравнения Иоффе выражение (4.5) для этой производной, получаем

т.е. силовая постоянная прямо пропорциональна энергии связи. Если зависимость ϕ(r) известна, то она может быть использо-

вана для расчета значений свойств твердого тела.

Например, можно определить модуль всестороннего сжатия K. Этот модуль упругости определяется как коэффициент пропорциональности между давлением р и взятым с обратным знаком относительным изменением объема V/V :

45

Ограничимся случаем материала с простой кубической решеткой. Тогда на одну межатомную связь приходится площадь r02, поэтому давление создает внешнюю силу р r02, которая уравновешивается силой F взаимодействия между атомами:

В случае малых деформаций F линейно зависит от смещения атома из положения равновесия x = r – r0:

где f – силовая постоянная, f ≡ (d2ϕ/dr2)r=r0 = ϕ″(0).

Относительное изменение объема при малых смещениях также пропорционально смещению:

Подставляя уравнения (4.12)–(4.14) в закон Гука (4.11), получаем выражение для модуля всестороннего сжатия материала с простой кубической решеткой:

Для материала с произвольной кристаллической решеткой справедливо выражение

где z1 – координационное число;

q – отношение объема, приходящегося на атом, к кубу кратчайшего межатомного расстояния.

Учет связи между силовой постоянной и энергией связи в виде формулы (4.10) позволяет переписать выражение (4.15) для модуля всестороннего сжатия:

т.е. модуль упругости прямо пропорционален отношению энергии связи к объему, приходящемуся на один атом.

Модули упругости (модуль Юнга Е, модуль всестороннего сжатия K и модуль сдвига G) связаны друг с другом следующим соотношением:

46

где ν – коэффициент Пуассона, который определяется как взятое с обратным знаком отношение относительных изменений размеров перпендикулярно направлению растяжения и вдоль него:

от 0,039 (для Be) до 0,46 (для Tе и In). Для большинства металлов ν = 0,25…0,35.

Из выражения (4.18) следует, что при ν = 1/3 численные значения модуля Юнга и модуля всестороннего сжатия совпадают (E = K). При ν > 1/3 выполняется неравенство E < K, а при ν < 1/3 выполняется неравенство E > K.

47

4.2.Задачи

4.1.Оцените плотность алюминия, исходя из того, что тип связи для него – металлический, а потенциал межатомного вза-

имодействия описывается соответствующим уравнением Иоффе: ϕ(r) = –A/r + B/r2, А = 3 ∙ 10–30, В = 4 ∙ 10–40. Дополнительные

данные: для Al характерна решетка ГЦК, модификаций нет, молярная масса @ 27 г/моль.

4.2.Оцените модуль Юнга алюминия (ГЦК-решетка), исходя из того, что тип связи для него – ионный, а потенциал межатом-

ного взаимодействия описывается соответствующим уравнением Иоффе: ϕ(r) = – A/r + B/r10, в котором А = 2 ∙ 10–29, В = 3 ∙ 10–119.

4.3.Для серебра, в двухатомной модели твердого тела, опреде-

лите потенциал межатомного взаимодействия для ионного типа связи. Определить значение энергии связи e, значения коэффициентов А и В в уравнении Иоффе. Дополнительные данные: для Ag характерна решетка ГЦК, модификаций нет; атомный металлический радиус 0,144 нм; модуль Юнга 81 ГПа, температура плавления 1233 К.

4.4.Для алюминия, в двухатомной модели твердого тела,

определите потенциал межатомного взаимодействия для металлического типа связи. Определите значение энергии связи e, значения коэффициентов А и В в уравнении Иоффе. Дополнительные данные: для Al характерна решетка ГЦК, модификаций нет; атомный металлический радиус 0,143 нм; модуль Юнга 72 ГПа, температура плавления 933 К.

4.5.Для меди, в двухатомной модели твердого тела, определите потенциал межатомного взаимодействия в предположении

ван-дер-ваальсова типа взаимодействия. Определите значение энергии связи e, значения коэффициентов А и В в уравнении Иоффе. Дополнительные данные: для Cu характерна решетка ОЦК, модификаций нет; атомный металлический радиус 0,128 нм; модуль Юнга 125 ГПа, температура плавления 1356 К.

4.6.Зависимость потенциальной энергии взаимодействия от расстояния r описывается с помощью функции Морзе:

ϕ(r) = D × {exp[–2β(r – r0)] – 2exp[–β(r – r0)]}, где D, β, r0 – константы.

48

Используя приведенные в таблице данные, рассчитайте значения следующих величин:

1)энергии сублимации (в кДж/моль);

2)модуля всестороннего сжатия (в ГПа).

Обозначения: z1 – координационное число, z – валентность, А – относительная атомная масса, а.е.м. (1 а.е.м. = 1,66 · 10–27 кг).

4.7. Зависимость потенциальной энергии взаимодействия от расстояния r описывается с помощью функции Морзе:

ϕ(r) = D × {exp[–2β(r – r0)] – 2exp[–β(r – r0)]}, где D, β, r0 – константы.

Используя приведенные в таблице данные, рассчитайте значения следующих величин:

1)плотности (в г/см3);

2)постоянной Грюнайзена.

Обозначения: z1 – координационное число, z – валентность, А – относительная атомная масса, а.е.м. (1 а.е.м. = 1,66 · 10–27 кг).

4.8. Зависимость потенциальной энергии взаимодействия от расстояния r описывается с помощью функции Морзе:

ϕ(r) = D × {exp[–2β(r – r0)] – 2exp[–β(r – r0)]}, где D, β, r0 – константы.

Используя приведенные в таблице данные, рассчитайте значения следующих величин:

1)электронной плотности (в нм–3);

2)силовой постоянной (в Н/м).

Обозначения: z1 – координационное число, z – валентность, А – относительная атомная масса, а.е.м. (1 а.е.м. = 1,66 · 10–27 кг).

49

4.9. Зависимость потенциальной энергии взаимодействия от расстояния r описывается с помощью функции Морзе:

ϕ(r) = D × {exp[–2β(r – r0)] – 2exp[–β(r – r0)]}, где D, β, r0 – константы.

Используя приведенные в таблице данные, рассчитайте значения следующих величин:

1)молярного объема (в см3/моль);

2)энергии Ферми (в эВ).

Обозначения: z1 – координационное число, z – валентность, А – относительная атомная масса, а.е.м. (1 а.е.м. = 1,66 · 10–27 кг).

4.10. Зависимость потенциальной энергии взаимодействия от расстояния r описывается с помощью функции Морзе:

ϕ(r) = D × {exp[–2β(r – r0)] – 2exp[–β(r – r0)]}, где D, β, r0 – константы.

Используя приведенные в таблице данные, рассчитайте значения следующих величин:

1)коэффициента ангармоничности (в ГПа);

2)скорости Ферми (в км/с).

Обозначения: z1 – координационное число, z – валентность, А – относительная атомная масса, а.е.м. (1 а.е.м. = 1,66 · 10–27 кг).

4.11. Зависимость потенциальной энергии взаимодействия от расстояния r описывается с помощью функции Морзе:

ϕ(r) = D × {exp[–2β(r – r0)] – 2exp[–β(r – r0)]}, где D, β, r0 – константы.

Используя приведенные в таблице данные, рассчитайте значения следующих величин:

1)объема на один атом (в нм3);

2)сжимаемости (в 10–3 ГПа–1).

50