Физические свойства твердых тел. Сборник задач

где v0 – средняя тепловая скорость свободного электрона; ne – концентрация свободных электронов;

L – длина свободного пробега электронов.

Величина g(r) определяется двумя факторами – концентрацией свободных электронов n и длиной свободного пробега электрона L. Первый из них зависит от природы металла, второй – от частоты столкновений электронов на динамических (колебания решетки) и статических (дефекты решетки) искажениях. Высокая электрическая проводимость металлов в основном определяется высокой концентрацией электронов проводимости (n~1023 см–3 для одновалентных металлов).

Средняя тепловая скорость электронов, в представлении о свободном газе электронов, может быть определена аналогично средней скорости движения частиц в одноатомном газе:

В модели Друдэ – Лоренца не учитываются некоторые квантовые особенности электронного строения. Более точной является модель Зоммерфельда, в соответствии с которой формула (3.4) имеет несколько иной вид, поскольку электронами проводимости являются только те электроны, энергия которых близка к энергии Ферми, а скорость теплового движения заменяется на скорость электронов на уровне Ферми vF. Поэтому выражение для g (2.9) следует видоизменить и записать в виде

т.е. вероятность столкновений (рассеяния) электронов пропорциональна плотности электронных состояний на уровне Ферми N(eF), поскольку свободные состояния в области, куда переходят электроны в результате столкновений (рассеивания), непосредственно примыкают к поверхности Ферми. Отсюда следует, что вероятность рассеяния тем больше, чем выше плотность состояний N(eF), а следовательно, время релаксации t и длина

31

свободного пробега L обратно пропорциональны N(eF). Отсюда следует важный вывод о том, что r ~ N(eF). Таким образом, длина свободного пробега L, а также и удельное сопротивление r зависят не только от числа и эффективности центров рассеяния электронов, но и от особенностей электронного строения металлов, т.е. от характера функции распределения электронных состояний N(e) и, соответственно, ее важнейшего параме-

тра N(eF).

Значение энергии Ферми определяется концентрацией свободных электронов ne = z/Ω (их числом в единице объема):

Зная эту энергию, можно определить и скорость соответствующих электронов.

Как в модели Друдэ – Лоренца, так и в модели Зоммерфельда не учитывается взаимодействие электронов проводимости с кристаллической решеткой. Такое взаимодействие можно описать изменением массы электрона. Замена массы свободного электрона m на эффективную массу m* позволяет перейти от анализа взаимодействующих с решеткой электронов проводимости к анализу невзаимодействующих с решеткой электронов – квазичастиц, обладающих эффективной массой (эффективная масса «впитала» в себя последствия взаимодействия электронов с решеткой). Такой переход означает, что если произвести замену m на m*, то структура аналитических зависимостей, полученных для свободных электронов, не изменится при переходе к электронам, взаимодействующим с решеткой. В обобщенном виде формулы (3.4) и (3.6) для электрической проводимости можно записать теперь в следующем модифицированном виде:

Температурная зависимость удельного сопротивления различается для разных типов рассеяния электронов проводимости. Различные варианты температурных зависимостей приведены в табл. 3.1.

32

Таблица 3.1

Температурные зависимости удельного сопротивления для различных механизмов рассеяния

Существует простое правило, согласно которому сопротивление r реального металла можно рассматривать как сумму идеального r0 и остаточного r′ сопротивлений: r = r0 + r′. Такое сложение компонент удельного сопротивления в том случае, если зависящая от температуры компонента r0 не зависит от статических искажений, а компонента r0′ не зависит от температуры, называется правилом Маттиссена:

Таким образом, правило Маттиссена предполагает, что у двух образцов из одного и того же металла, но с разным содержанием дефектов, кривые зависимости r от T должны быть подобны и сдвинуты одна относительно другой на величину разности (r1′ – r2′), где цифры обозначают номер образца.

При малой атомной доле примесей в % (обычно не более 5…10 %) обычно наблюдается линейная зависимость r (или остаточного сопротивления r′) от концентрации легирующих элементов С:

где x – остаточное сопротивление на 1 % атомной доли примеси.

Отметим, что при выполнении правила Маттиссена (3.9) для данного ряда твердых растворов (на основе одного компонента с увеличением доли второго компонента) функция dr/dT является величиной постоянной, а температурный коэффициент электросопротивления ar.T = (dr/dT) (1/rТ) с увеличением концентрации примесей, естественно, уменьшается (в результате увеличения удельного сопротивления при температуре Т (rТ)).

33

Из анализа результатов экспериментов следует, что интенсивность возрастания r′ в твердых растворах на базе одного и того же одновалентного растворителя (Cu, Au, Ag) тем выше, чем значительнее различие между валентностями компонентов:

где Z – валентность растворенного компонента (валентность растворителя равна 1);

a и b – константы, зависящие соответственно от природы ме- талла-растворителя и ряда, который занимает в таблице Менделеева примесный атом.

Соотношение (3.11) получило название правила Линде.

При средних значениях концентрации растворенных примесей (примерно до 20 % атомной доли второго компонента) концентрационная зависимость r твердых растворов выражается уравнением Нордхейма:

ρ′=С (1−С) ξ,

т.е. ρ′ в этом случае изменяется по квадратическому закону в зависимости от концентрации примеси.

Правило Нордхейма наиболее хорошо выполняется для твердых растворов, ни один из компонентов которых не принадлежит к числу переходных металлов. Зависимость удельного сопротивления простых металлов от концентрации второго компонента представляет собой кривую с максимумом (рис. 3.1, а).

Электропроводность сплава, состоящего из двух (или более) фаз, можно рассматривать как свойство, аддитивно складывающееся из проводимостей фаз, в случае если влиянием перечисленных выше факторов можно пренебречь. Это возможно только тогда, когда сплав отожжен, не текстурирован, состоит из сравнительно крупных равноосных кристаллов и проводимости фаз, из которых он состоит, близки (отношение проводимостей составляет приблизительно 0,75…1,75). В таком случае можно принять (на основе многочисленных экспериментальных данных), что электропроводность γ изменяется линейно в зависимости от объемной доли компонентов (если они не образуют твердых растворов и соединений). Для каждого сплава, лежа-

34

щего в гетерогенной области, электропроводность можно найти по прямой линии, соединяющей значения γa и γb для твердых растворов предельной концентрации (рис. 3.1, б).

Рис. 3.1. Изменение электропроводности сплавов с ограниченной растворимостью в твердом состоянии

Между теплопроводностью и электропроводностью много общего. Оба эти свойства металлов обусловлены процессами рассеяния, причем в случае теплопроводности определяющими являются процессы рассеяния фононов и электронов на примесях и фононах, а в случае электропроводности – рассеяния электронов, в том числе на фононах и дефектах кристаллической решетки. В связи с этим между электропроводностью и теплопроводностью установлено соотношение, которое называют правилом. или законом, Видемана – Франца:

35

Лоренц, исследуя это соотношение при различных значениях температуры, установил, что отношение l/γ, деленное на абсолютную температуру металла Т, является величиной постоянной (закон Видемана – Франца – Лоренца):

36

3.2.Задачи

3.1.Оцените среднюю тепловую скорость свободного электрона при 300 К. Справочные данные: масса электрона 9,1 × 10–31 кг, заряд электрона е = 1,6 × 10–19 Кл.

3.2.Оцените плотность газа свободных электронов в меди (электронная конфигурация 3d104s1), справочные данные для меди: решетка ГЦК, плотность r = 8,96 г/см3, молярная масса

М= 63,5 г/моль, атомный металлический радиус 0,128 нм, результат представить в [м–3].

3.3.Оцените значение энергии электрона на уровне Ферми для меди, используя результат предыдущей задачи.

3.4.Оцените скорость свободных электронов в меди, используя результат предыдущей задачи.

3.5.Оцените значение удельной электропроводности и удельного электрического сопротивления золота исходя из модели

Друдэ – Лоренца. Дополнительные данные: me = 9,1 . 10–31 кг; e = 1,6 · 10–19 Кл, тепловая скорость электронов ~105 м/с, дрейфовая скорость электронов ~1 см/с, длина свободного пробега в монокристалле Au ~10–7 м, количество свободных электронов для Au равно 5,88 · 1022 см–3.

3.6.Оцените эффективную массу электрона в серебре исходя из модели Друдэ – Лоренца, сравнив результаты аналитической оценки удельного электросопротивления и его реальное значе-

ние. Дополнительные данные: me = 9,1 · 10–31; e = 1,6 · 10–19 Кл, тепловая скорость электронов ~105 м/с, длина свободного пробега в монокристалле Ag ~10–6 м, количество свободных электронов для Ag равно 5,84 · 1022 см–3. Экспериментальное значение электросопротивления для Ag при 20 К составляет 0,0038 мкОм · см.

3.7.Рассчитайте, используя известные закономерности,

удельную электропроводность железа, если его теплопроводность при комнатной температуре составляет 67 Вт/(м × К).

3.8.Рассчитайте удельное остаточное сопротивление в разбавленном твердом растворе простого металла при условии, что атомы примеси принадлежат простому металлу. Известно, что константа, зависящая от природы металла-растворителя, равна 0,5 мкОм · см/% (ат.); константа, зависящая от ряда, который занимает в таблице Менделеева примесный атом. – 0,2 мкОм · см/%

37

(ат.), валентность растворенного компонента равна 2, валентность растворителя равна 1.

3.9.Рассчитайте значение удельного электросопротивления, обусловленного атомами растворенных элементов, если при

температуре 2 К значение удельного сопротивления составляет 0,7 нОм × см, при 4 К – 1,9 нОм × см, при 6 К – 3,9 нОм × см.

3.10.Постройте элемент линии ограниченной растворимости системы А–В, используя представленные в таблице данные по зависимостям электросопротивления.

3.11.Почему температурная зависимость удельного электрического сопротивления металлов перестает быть линейной при значениях температуры, близких к температуре плавления? Какой формулой в этом случае описывается эта зависимость?

3.12.Какой тип химической связи определяет межатомное взаимодействие в материале, если его теплопроводность зависит от изотопного состава?

3.13.Почему температурная зависимость удельного электрического сопротивления металлов перестает быть линейной при значениях температуры, близких к 0 К? Какой формулой в этом случае описывается эта зависимость?

3.14.Что такое транспортная длина свободного пробега электронов проводимости? Как эта величина зависит от температуры?

3.15.Почему в металлах произведение коэффициента теплопроводности на удельное электрическое сопротивление прямо пропорционально температуре, а в неметаллах такая зависимость не соблюдается?

3.16.Нарисуйте на одном графике зависимости от температуры времени релаксации электронов проводимости для чистого металла и твердого раствора на его основе.

38

3.17.Оцените, во сколько раз будет отличаться удельное электрическое сопротивление, измеренное при близкой к 0 К температуре, для металлических твердых растворов меди с массовой долей золота 25 и 50 %.

3.18.Почему температурный коэффициент удельного электрического сопротивления однофазной α-латуни отличается от температурного коэффициента чистой меди?

3.19.Почему в металлах рассеиваются на дефектах не все свободные электроны, а только те, скорость которых близка к скорости Ферми?

3.20.Как собирательная рекристаллизация влияет на удельную электрическую проводимость металла?

3.21.Нарисуйте график зависимости удельной электрической проводимости металла от температуры. Почему характер этой зависимости разный при значениях температуры много ниже температуры Дебая и выше нее?

3.22.Придумайте и опишите эксперимент (материал, измеряемые величины, варьируемые факторы), с помощью которого можно было бы обнаружить нарушения правила Маттиссена – Флеминга.

3.23.Почему при низкой температуре удельное электрическое сопротивление металлических пленок зависит от их толщины?

3.24.Почему закон Видемана – Франца справедлив только для материалов с металлическим типом связи?

3.25.Как по температурной зависимости удельного электрического сопротивления определить энергию активации образования вакансий?

3.26.Почему при низкой температуре число Лоренца зависит от температуры?

3.27.Нарисуйте график температурной зависимости удельного электрического сопротивления металла. Укажите механизмы рассеяния электронов проводимости, доминирующие при разных значениях температуры.

3.28.Какова зависимость от температуры дрейфовой скорости свободных электронов в электрическом поле?

3.29.Нарисуйте график зависимости удельного электрическо-

го сопротивления сплавов от их состава при температуре Т1 (см. рисунок, на котором представлена диаграмма состояния рассматриваемой системы А–В).

39