Физика конденсированного состояния. Учебное пособие

Плечо с неизвестной ёмкостью включает переменный воздушный конденсатор C2 и два дополнительных постоянных конденсатора. Эти два конденсатора контролируются переключателями П1 и П2 и служат для баланса остаточной ёмкости «известного» плеча при установке эталона ёмкостиC1 нануль.

Для измерения ёмкости помимо самого моста необходимы ещё генератор электрических колебаний и детектор сигнала разбаланса. На рис. 7.4б показана схема подключения кристалла в плечо моста переменного тока, смещающего постоянное напряжение. Выпрямитель (источник постоянного напряжения) смонтирован в отдельном блоке, к которому подключены мост и кристалл.

Измерение ёмкости состоит из двух раздельных операций балансировки мостовой схемы. Начальная, или нулевая, балансировка производится приотключённойнеизвестнойёмкости.Приэтомпереключатель П1 ставят в положение «измерение ёмкости», а указатель эталонного конденсатора C1 – на нуль его шкалы, П2 – в вертикальное положение. Затем регулировкой конденсатора C2 добиваются баланса моста по минимуму сигнала на экране индикатора. Отчёт по шкале C2 записывают в качестве меры предосторожности против последующих случайных разбалансировок моста.

После того, как начальная балансировка моста произведена, к нему подключается измеряемая ёмкость. Баланс моста нарушается. Для определения неизвестной ёмкости необходимо снова сбалансировать мост, на этот раз с помощью эталонной ёмкости C1. Величина неизвестной ёмкости отсчитывается (вмкФ) непосредственно по шкале C1. В случае, если величина измеряемой ёмкости выходит за пределы, допустимые полным поворотом C1 (1600 мкФ), необходимо ввести дополнительную ёмкость (CДОП n 1000 мкФ), при этом неизвестная ём-

кость CX C1 CДОП .

Порядок выполнения работы

Построение сечений тензорной указательной поверхности диэлектрической проницаемости для кристалла ТГС при комнатной температуре

1.С помощью микрометра определить геометрические размеры трёх пластинок, вырезанных из кристалла ТГС перпендикулярно осям второго порядка, являющимся осями кристаллофизической системы координат в этом кристалле.

71

2.Помещая поочерёдно пластинки в кристаллодержатель, определить их ёмкость и рассчитать компоненты тензора диэлектрической проницаемости кристалла.

3.Рассчитать, пользуясь уравнением (7.3) для указательной поверхности тензора диэлектрической проницаемости, сечение этой поверхности плоскостями X= 0 и Y= 0.

Измерение температурных зависимостей компонент тензора 11 и

22 для кристалла ТГС

Пластины соответствующих срезов, покрытые электродами, вставляются в кристаллодержатель термостата. После нулевой балансировки моста на вход распределительного устройства к клеммам «кристалл» подключается образец Х-среза ТГС. Затем нужно повышать температуру, термостатируя образец в течение 8–10 мин через 2–3 С и измеряя 11 при каждой фиксированной температуре.

Построить зависимости 11(Т) и 11-1(Т). Путём экстраполяции последней зависимости при Т Т0 к нулю найти точное значение температуры фазового перехода Т0, а из наклона прямой при Т > Т0 – значение коэффициента А и постоянной Кюри – Вейсса Ск:

11 ТСКТ0 .

Далее к клеммам «кристалл» подключается образец Y-среза и снимается температурная зависимость 22(Т) для этого кристалла в диапазоне температур 30–60 С.

Построить зависимости 22(Т) и 22-1(Т) для кристалла ТГС и определить температуру фазового перехода, коэффициент А и постоянную Кюри – Вейсса.

Исследование диэлектрической нелинейности кристалла выше точки фазового перехода

Температура термостата устанавливается равной Т0 для кристалла ТГС. Включается выпрямитель. Изменяя постоянное напряжение в диапазоне 0–300 В через каждые 50 В, получить зависимость диэлектрической проницаемости от постоянного электрического поля. Определить коэффициент В, характеризующий диэлектрическую нелинейность кристалла, построив зависимость ( Е – Е = 0) от Е2 и используя соотношение(7.6).Послеокончанияизмеренийвыпрямитель выключить.

Результаты работы должны быть представлены в следующем виде. 1. Зависимость диэлектрической проницаемости от направления

в кристалле ТГС при комнатной температуре.

72

2.Температурные зависимости 11(Т), 11-1(Т), 22(Т) и 22-1(Т) для кристалла ТГС.

3.Для кристалла ТГС при Т = Т0 зависимости 22(Е) и ( 22Е – 22Е=0)

от Е2.

4.Расчёт коэффициентов А и В, а также постоянной Кюри – Вейсса для кристалла ТГС.

Контрольные вопросы

1.Физический смысл компонент тензора диэлектрической проницаемости.

2.Написать уравнение связи тензора диэлектрической проницаемости с ёмкостью кристалла.

3.Как зависит диэлектрическая проницаемость сегнетоэлектриков от температуры?

4.Какая компонента диэлектрической проницаемости ТГС обладает аномальной температурной зависимостью.

5.Объяснить принципиальную схему измерения диэлектрических свойств, использованную в данной работе.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8 Пьезоэлекрические свойства кристаллов

Цель работы: изучение с помощью различных методов пьезоэлектрических свойств кристаллов кварца, сегнетовой соли и ниобата лития; определение эквивалентных параметров пьезоэлектрических колебательных систем.

При механической деформации некоторых кристаллов на определенных гранях этих кристаллов возникают электрические заряды. Знак заряда зависит от типа деформации. Например, при переходе от сжатия к растяжению знак заряда изменяется на противоположный. Явление возникновения электрической поляризации в диэлектрических кристаллах под действием механических напряжений называется пьезоэлектрическим эффектом.

Общим признаком, объединяющим пьезоэлектрические кристаллы, является отсутствие у них центра симметрии. У кристаллов, имеющих центр симметрии, никакой системой однородных механических напряжений нельзя разделить центр тяжести положительных и отрицательных зарядов.

73

Пьезоэлектричество характеризуется наличием прямого и обратного эффектов.

Подобно тому, как вектор силы можно разложить на три компоненты, симметричный тензор, представляющий систему напряжений, можно разложить на шесть компонент, а именно – сжимающие (или растягивающие) усилия вдоль трех координатных осей и напряжение сдвига в координатных плоскостях. Эти шесть компонент для наглядности обозначают через Xx, Yy, Zz, Yz, Zx, Xy, причем, заглавная буква указывает ось, вдоль которой направлена сила, а значок внизу – направление нормали к поверхности, на которую действует сила. Соответственно компоненты деформации обозначаются как xx, yy, zz, yz, zx, xy. В настоящее время также принято механические напряжения и деформации

обозначать 1... 6 и U1...U6 соответственно.

Кристалл анизотропен, т. е. его физические свойства (пьезоэлектрические, упругие, диэлектрические и др.) зависят от направления в кристалле. Для кристаллов низкой симметрии напряжения сжатия, например, могут вызвать деформации сдвига. Поэтому в самом общем случае для низкосимметричного кристалла связь между напряжениями и деформациями (закон Гука) имеет вид:

xx = C11Xx+C12Yy+C13Zz+C14Yz+C15Zx+C16Xy,

xy = C61Xx+C62Yy+C63Zz+C64Yz+C65Zx+C66Xy.

Величины Сij называются модулями упругости. Их обычно записывают в виде матрицы, отнесенной к главной системе координатных осей, связанных с кристаллографическими осями.

Xx Yy Zz Yz Zx Xy

xx C11 C12 C13 C14 C15 C16

yy C21 C22 C23 C24 C25 C26

zz C31 C32 C33 C34 C35 C36

yz C41 C42 C43 C44 C45 C46

zx C51 C52 C53 C54 C55 C56

xy C61 C62 C63 C64 C65 C66

Как уже было отмечено, явление пьезоэлектричества заключается в электрической поляризации кристалла под действием механических напряжений. Наложенное на кристалл механическое напряжение может быть растяжением или сжатием, а также напряжением сдвига. Поляризация вызывается только некоторыми типами напряжений, имеющими определенную ориентацию относительно кристаллографических осей.

74

Так как существует шесть возможных компонент напряжений и три компоненты электрической поляризации (Px, Py, Pz), то очевидно, существует 18 коэффициентов связи dij, называемых пьезоэлектрическими модулями, между механическими и электрическими параметрами кристалла. В общем случае уравнение прямого пьезоэффекта имеет вид:

Px = d11Xx+d12Yy+d13Zz+d14Yz+d15Zx+d16Xy

Py = d21Xx+d22Yy+d23Zz+d24Yz+d25Zx+d26Xy

Pz = d31Xx+d32Yy+d33Zz+d34Yz+d35Zx+d36Xy.

Уравнения обратного пьезоэффекта связывают механические деформации с приложенным к кристаллу электрическим полем:

xx = d11Ex+d21Ey+d31Ez, yy = d12Ex+d22Ey+d32Ez, zz = d13Ex+d23Ey+d33Ez, yz = d14Ex+d24Ey+d34Ez, zx = d15Ex+d25Ey+d35Ez, xy = d16Ex+d26Ey+d36Ez.

Матрица пьезоэлектрических модулей имеет свой специфический вид для каждого кристаллографического класса и определяется симметрией кристалла. Причем чем более симметричны кристаллы, тем большее число коэффициентов обращается в ноль.

Для кристаллов кварца, например (рис. 8.1, а), матрица пьезомодулей имеет вид:

а) б)

Рис. 8.1. Кристалла кварца: а – внешний вид и расположение кристаллографических осей; б – пластинка Х-среза

75

Следовательно, система уравнений прямого пьезоэффекта для кварца состоит из двух уравнений:

Px=d11Xx–d11Yy+d14Yz,

Py=-d14Zx–2d11Xy.

Из этих уравнений можно определить, какой именно системой напряжений, накладываемых на пластинку кварца, вырезанную перпендикулярно одной из кристаллографических осей, можно вызвать поляризацию по осям X и Y. Вчастности, видно, что поляризацию по оси Z нельзя вызвать никакойсистемойоднородных механических напряжений.

Кристаллическая пластинка может быть вырезана наклонно по отношению к кристаллографической системе координат. В этом случае

целесообразно ввести новую систему координат X , Y , Z , связанную с пластинкой.

Ориентация новых осей относительно старых задается матрицей направляющих косинусов lij:

Если пластинка вырезана косо по отношению к кристаллографическим осям, то коэффициенты, характеризующие пьезоэффект данной пластинки, выражаются через основные коэффициенты с помощью формул преобразования для тензора третьего ранга; при этом необходимо учитывать, что компоненты тензора третьего ранга пьезоэлектрических модулей djk связаны с элементами матрицы пьезомодулей dim следующим соотношением:

djjk = dim, если m= 1, 2, 3; 2djjk = dim, если m= 4, 5, 6; i, j, k = 1, 2, 3;

76

где dltm – основные пьезоэлектрические модули, отнесенные к системе

координат, связанной с кристаллографическими осями; dijk – пьезо-

электрические модули в новой системе координат, связанной с косо вырезанной пластинкой, lpq – направляющие косинусы новой системы по отношению к старой основной установке.

Для кристалла сегнетовой соли (рис. 8.2) матрица пьезоэлектрических модулей в главных осях имеет вид:

т. е. уравнения пьезоэффекта сводятся к трем:

Рис. 8.2. Кристалл сегнетовой соли: а – внешний вид; б – расположение кристаллографических осей и ориентация

относительно них L-среза

Уравнения показывают, что в пластинке, вырезанной из кристалла сегнетовой соли таким образом, что ребра ее совпадают с направлением осей X, Y, Z, поляризация вдоль кристаллографических осей может быть вызвана только сдвиговыми напряжениями. Однако в принципе можно так ориентировать пластинку, что эффективные продольные пьезомодули (являющиеся линейными комбинациями сдвиговых в основной установке) будут отличными от нуля (L-срез, рис. 8.2, б). Для L-среза эффективный продольныйпьезомодуль

77

d33 l1l2l3 d14 d25 d36 , l1 l2 l3 ~ cos54 .

Если к кварцевой пластинке, вырезанной перпендикулярно осям (рис. 8.1, б), приложено переменное электрическое поле, то в соответствие с фазой этого поля кристалл будет попеременно сжиматься и растягиваться (обратный пьезоэлектрический эффект).

Другими словами, в такт с переменным полем в кварце возбуждаются механические упругие колебания, амплитуда которых достигает максимума, когда частота внешнего электрического поля окажется равной одной из собственных частот механических колебаний пластинки. Например, для колебаний по толщине собственная частота будет равна:

гдеt– толщинапластинки,c11 – модуль упругости, – плотность кварца. Для кварца = 2,65 г/см3, с11 = 86,05 1010 дин/см2. Произведение резонансной частоты на размер кристалла, вдоль которого распространяется упругая волна, называется частотной постоянной и зависит от

типа деформаций. Так, для колебаний по толщине X-среза имеем:

где t – толщина пластинок в см. Для колебаний кварцевого стержня X-среза по длине вдоль оси Y имеем:

где L – длина стержня в сантиметрах.

Сдвиговые колебания удается возбудить с помощью кварцевых пластинок, ориентированных перпендикулярно оси Y. Согласно уравнениям обратного пьезоэффекта для кварца Xy = –2d11Ey. Если приложить к пластинке Y-среза поле Ey, возникнут деформации Xy, при этом рассчитываются по формуле:

причем MS t fS 192 [кГц см].

Пока частота возбуждающего поля много меньше частоты собственных колебаний данного резонатора (низкая частота), деформации резонатора близки к статическим, и пьезоэлектрическая реакция соответственно мала. По мере приближения частоты возбуждающего поля к соответствующей частоте резонанса амплитуда механических коле-

78

баний возрастает и, следовательно, увеличивается пьезоэлектрический ток. Таким образом, при изменении частоты возбуждающего поля меняется общее электрическое сопротивление резонатора и, следовательно, меняется влияние резонатора на электрическую цепь, в которой он находится.

Поведение резонатора в электрической цепи теоретически можно описать, заменив резонатор эквивалентной схемой. Эквивалентной электрической схемой называется группа элементов R, L, C, C0 (сопротивление, индуктивность, динамическая и статическая ёмкости соответственно), соединенных друг с другом так, что, подставив вместо реального кристалла эту группу, мы увидим, что её воздействие на внешнюю цепь будет таким же, как воздействие самого кристалла.

Величины эквивалентных параметров и способ их соединения между собой получаются из общих уравнений движения пьезоэлекрической пластины. Колеблющийся кварц можно представить электрической схемой, показанной на рис. 8.3. Здесь конденсатор С0 обозначает статическую ёмкость самого кристалла кварца, C, L, R – эквивалентные элементы «пьезоэлектрической ветви».

Изучение поведения резонатора с помощью его эквивалентного контура широко используется в технике, так как облегчает аналитическое исследование даже сложных электромеханических систем. С другой стороны, исследование даже сложных электрических цепей осуществляется сравнительно просто с помощью приемов, разработанных в электротехнике.

Рис. 8.3. Эквивалентная электрическая схема колеблющегося вблизи резонанса пьезоэлектрического кристалла

Знание эквивалентных параметров позволяет судить о качестве резонатора. Качество резонаторов обычно принято характеризовать добротностью Q и ёмкостным отношением r, причем

79

где – частота подаваемого на резонатор электрического напряжения. Чем больше добротность и чем меньше ёмкостные отношения, тем лучше резонатор, т. е. тем острее его частотная характеристика и тем большая часть энергиипревращаетсяиз электрическойвмеханическую.

Для определения эквивалентных параметров необходимо измерить резонансную fp и антирезонансную fa частоты резонатора. fp и fa имеют следующий физический смысл. Когда частота задающего генератора такова ( р), что для пьезоэлектрической ветви контура выполняется

называется резонансной. При дальнейшем повышении частоты задающего генератора наступает момент ( 0), когда выполняется условие

Из выражений для р и а легко получить связь между измеряемыми частотами fp и fa и эквивалентным параметром:

Cтатическая ёмкость резонатора С0 может быть вычислена по обычной формуле плоского конденсатора (или измерена с помощью моста для измерения ёмкостей):

80