Теория сигналов в системах управления. Метрология сигналов. Частотно-временное представление сигналов. Практикум

№ 3903 М И Н И С Т Е РС Т В О Н АУ К И И В Ы С Ш Е ГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Кафедра автоматизации

Г.Г. Шапкарина

ТЕОРИЯ СИГНАЛОВ В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ

Метрология сигналов.

Частотно-временное представление сигналов

Практикум

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2020

УДК 658.012.011.56(035.5) Ш23

Р е ц е н з е н т канд. техн. наук, доц. И.В. Баранникова

Шапкарина Г.Г.

Ш23 Теория сигналов в системах управления. Метрология сигналов. Частотно-временное представление сигналов : практикум / Г.Г. Шапкарина. – М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2020. – 56 с.

В практикуме изложены алгоритмы исследования сигналов, действующих в системах автоматического управления. Приведены варианты индивидуальных заданий для выполнения самостоятельной работы.

Предназначено для магистров по направлению подготовки «Автоматизация технологических процессов и производств».

УДК 658.012.011.56(035.5)

Г.Г. Шапкарина, 2020

НИТУ «МИСиС», 2020

3

ВВЕДЕНИЕ

Используемые и разрабатываемые в настоящее время разнообразные радиоэлектронные устройства и системы решают самые различные задачи, и, в первую очередь, они обеспечивают передачу и обработку больших объемов информации об исследуемых процессах и явлениях (например, в радиолокации, радионавигации, связи и др.), решают задачи контроля и управления (например, спутниками Земли, автоматическими аппаратами на других планетах и др.). Такие системы достаточно сложны, в них используются для передачи информации разнообразные сигналы и методы их обработки.

Решение отмеченных задач немыслимо без глубокого знания теории сигналов, с помощью которых выполняется передача информации и обмен ей. Разделы теории сигналов – в настоящее время наиболее динамично и постоянно развивающаяся дисциплина. Это связано с тем, что необходимо все глубже понимать окружающий мир, а следовательно, разрабатывать новые устройства, работающие на новых принципах, новых физических эффектах, используя новые модели сигналов и методы их обработки, приводящие к построению высокоточных, быстродействующих и помехоустойчивых систем различного назначения.

Успешное решение подобных вопросов всегда базируется на соответствующем математическом аппарате, и многие годы таким аппаратом служил и служит аппарат рядов и интегралов Фурье. Теория рядов Фурье, постоянно совершенствуясь, является мощным математическим аппаратом исследователей.

Стандартное преобразование Фурье является весьма популярным инструментом, использующимся при спектральном анализе сигналов. Собственно, сам термин «спектр» начал использоваться более интенсивно именно для описания результатов преобразований Фурье, хотя впервые был введен еще Ньютоном в 1664 г. при описании результатов исследования разложения призмой света на отдельные компоненты.

4

1. КЛАССИФИКАЦИЯ СИГНАЛОВ

Под термином «сигнал» в технических системах понимают определенным образом упорядоченное отображение в изменении физического состояния исследуемого объекта – материального носителя сигнала – определенных данных о характере изменения в пространстве, во времени или по любой другой переменной физических величин, физических свойств или физического состояния объекта исследований. Поскольку данные содержат информацию как об основных целевых параметрах объекта исследований, так и о различных сопутствующих и мешающих факторах измерений, то в широком смысле этого слова можно считать, что сигнал является носителем общей измерительной информации. Информативным параметром сигнала может являться любой параметр носителя сигнала, функционально связанный со значениями информационных данных. Сигнал, в самом общем смысле, – это зависимость одной величины от другой, и с математической точки зрения он представляет собой функцию (математическую модель).

В теории сигналов в качестве математических моделей используют как скалярные, так и векторные функции. Если математическая модель позволяет точно предсказать и описать сигнал, то такой сигнал называется детерминированным. В случае невозможности точного описания и предсказания сигнала в любые моменты времени сигнал называется случайным.

Сигнал, описывающий непрерывно изменяющийся процесс во времени, называется аналоговым. То есть для непрерывных сигналов для каждой точки определения сигнала и области значения можно найти точку, удаленную от нее на бесконечно малое расстояние.

Если область определения сигнала состоит из отдельных точек, сигнал называют дискретным. Таким образом, дискретный сигнал – это последовательность чисел, называемых элементами дискретного сигнала. Финитными называются сигналы, область определения которых ограничена. Инфинитные сигналы имеют неограниченную область определения.

Если область значений сигнала состоит из отдельных точек, т.е. сигнал может принимать только определенные, «квантован-

5

ные», значения, сигнал называют квантованным. Квантованный дискретный сигнал называется цифровым.

На рисунке 1.1 представлены различные виды временного представления сигналов: а) аналоговый сигнал;

б) дискретное представление аналогового сигнала (выборка); в) цифровой сигнал.

а

б

в

Рис. 1.1. Графическое изображение сигналов: а – аналоговый сигнал; б – дискретный сигнал; в – цифровой

6

Сигнал – это информационная функция, несущая сообщение о физических свойствах, состоянии или поведении какой-ли- бо физической системы, объекта или среды, а целью обработки сигналов можно считать извлечение определенных информационных сведений, которые отображены в этих сигналах (кратко – полезная или целевая информация), и преобразование этих сведений в форму, удобную для восприятия и дальнейшего использования.

Целями анализа сигналов обычно являются:

––определение или оценка числовых параметров сигналов (энергия, средняя мощность, среднее квадратическое значение и пр.);

––разложение сигналов на элементарные составляющие для сравнения свойств различных сигналов;

––сравнение степени близости, «похожести», «родственности» различных сигналов, в том числе с определенными количественными оценками.

Классификация сигналов осуществляется на основании существенных признаков соответствующих математических моделей сигналов. Все сигналы разделяют на две крупных группы: детерминированные и случайные (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Классификация сигналов

Среди детерминированных сигналов обычно выделяют два класса – периодические и непериодические.

К периодическим относят гармонические и полигармонические сигналы. Для периодических сигналов выполняется общее условие

x(t) =x(t +kT),

где k = 1, 2, … – любое целое число;

Т – период, являющийся конечным отрезком времени.

7

Преобразования типа сигналов. К алгоритмам преобразования типа сигналов, прежде всего, относятся алгоритмы дискретизации (квантования) и алгоритмы восстановления сигналов из цифровой формы в аналоговую.

Операция дискретизации (discretization) осуществляет преобразование аналоговых сигналов (функций), непрерывных по аргументу, в функции мгновенных значений сигналов по дискретному аргументу, как, например, s(t) s(n∆t), где значения s(n∆t) представляют собой отсчеты функции s(t) в моменты времени t = n∆t, n = 0, 1, 2, ... N.

Операция восстановления аналогового сигнала из его дискретного представления обратна операции дискретизации и представляет, по существу, интерполяцию данных.

Вобщем случае дискретизация сигналов может приводить

копределенной потере информации о поведении сигналов в промежутках между отсчетами. Однако существуют условия, определенные теоремой Котельникова–Шеннона, согласно которым аналоговый сигнал с ограниченным частотным спектром может быть без потерь информации преобразован в дискретный сигнал и затем абсолютно точно восстановлен по значениям своих дискретных отсчетов.

Операция квантования, или аналого-цифрового преобразования (АЦП; английский термин Analog-to-Digital Converter, ADC), заключается в преобразовании дискретного

сигнала s(n∆t) в цифровой сигнал s(n) = sn ≈ s(n∆t), n = 0, 1, 2,

..., N, как правило кодированный в двоичной системе счисления. Процесс преобразования отсчетов сигнала в числа называется квантованием по уровню (quantization), а возникающие при этом потери информации за счет округления – ошибками, или шумами, квантования (quantization error, quantization noise).

При преобразовании аналогового сигнала непосредственно в цифровой сигнал операции дискретизации и квантования совмещаются.

Операция цифро-аналогового преобразования (ЦАП;

Digital-to-Analog Converter, DAC) обратна операции квантования,

при этом на выходе регистрируется либо дискретно-аналоговый сигнал s(n∆t), который имеет ступенчатую форму, либо непо-

8

средственно аналоговый сигнал s(t), который восстанавливается из s(n∆t), например, путем сглаживания.

В соответствии с различными типами сигналов, используемых в системах управления, существуют алгоритмы представления сигналов в том или ином виде.

Но для всех типов и моделей сигналов справедливо рассмотрение метрологии сигналов.

Метрология сигналов. Для анализа и обработки информации, которая может быть заключена в сигналах, требуется выделять из множества сигналов сигналы с определенными параметрами, сравнивать сигналы друг с другом, оценивать изменение сигналов при их прохождении через системы обработки данных и т.п.

Для анализа сигналов наиболее часто используется гильбертово пространство, сигналы в котором должны удовлетворять условию интегрирования с квадратом:

∞

| x(t) |2 ∫| x(t) |2 dt <∞.

−∞

Линейное пространство сигналов. Метрическое пространство является линейным, если в нем определены операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр, в результате которых образуется новый вектор в том же пространстве.

Исследование метрологических характеристик сигналов целесообразно начать с рассмотрения пространства сигналов и задания области определения сигналов.

Для математического анализа сигналов в линейном пространстве используется математика векторов.

Основными метрическими параметрами линейного пространства сигналов являются норма, метрика и скалярное произведение сигналов.

Пространство L называется нормированным, если введено понятие нормы, т.е. расстояния между началом координат и ка- кой-либо точкой пространства.

Норма сигналов в линейном пространстве является аналогом длины векторов и обозначается индексом x(t) – норма (norm). При анализе сигналов обычно используются квадратичные нормы:

9

––для дискретных сигналов:

––для комплексных сигналов:

где x* (t) – величины, комплексно сопряженные x(t) .

Линейное пространство сигналов L является нормированным, если каждому сигналу пространства x(t) однозначно сопоставлена его числовая норма x(t) и выполняются основные аксиомы.

В случае, когда математические модели являются комплексными функциями, то, допуская умножение на комплексное число, приходим к комплексному линейному пространству.

Метрика сигналов. Линейное пространство сигналов L является метрическим, если каждой паре сигналов s(t) L и v(t) L однозначно сопоставляется неотрицательное число r(s,v) – метрика (metric), или расстояние, между векторами.

Метрика определяется нормой разности двух сигналов.

Пример 1.1. Если принять амплитуду импульса n(t) равной В, то квадрат расстояния между сигналами

r2 (s,v) = ∫t (A sin pTt −B)2 dt = A2 T2 −4ABTp + B2T .

0

Для решения задачи требуется найти минимум выражения r2 (s,v) . Дифференцируем полученное выражение по В, приравниваем нулю и, решая относительно В, находим значение экстремума:

B = 2pA ≈0,64A .

10