Теория сигналов в системах управления. Метрология сигналов. Частотно-временное представление сигналов. Практикум

U0(t) называется единичной импульсной функцией; ее свойства иллюстрируются на рис. 2.4.

Пример 2.1. Представить непрерывный сигнал, изображенный на рис. 2.5 по специальным функциям:

а) единичным сигналом; б) импульсной функцией.

Рис. 2.5. Аппроксимация непрерывных сигналов единичными (б) и импульсным сигналами (г) при действии единичных (а)

и импульсных (в) входных сигналов

Функцию f(t) можно грубо аппроксимировать кусочно-посто- янной функцией, изображенной на рис. 2.5, а штриховой линией. Кусочно-постоянная функция состоит из пяти ступенчатых функций (рис. 2.5, б):

f(t) =U−1(t) +2U−1(t −1) +U−1(t −2) −3U−1(t −3) −U−1(t −4) ,

21

где = обозначает «приблизительно равна». Аппроксимация тем точнее, чем больше ступеней у выбираемой кусочно-постоян-

ной функции и чем меньше их временные интервалы.

Площадь, ограниченная f(t), разбита на рис. 2.5, в на четыре участка, каждый из участков аппроксимируется мгновенным импульсом со значением, равным площади этого участка. Тогда

U(t) =2U0 (t) +3,5U0 (t −1) +3U0 (t −2) +0,5U0 (t −3) .

Аппроксимация ограниченной функции f(t) посредством функций, принимающих только значения нуль и бесконечность, является удовлетворительной для определения реакции линейной системы на сигнал f(t) произвольного вида. Существенным является то, что выбираемые при аппроксимации интервалы времени должны быть меньше постоянных времени исследуемой системы. Аппроксимация, иллюстрируемая на рис. 2.5, б, станет более точной при стремлении интервалов аппроксимации к нулю.

Из множества специальных функция для исследования сигналов наиболее часто используют функции, приведенные в табл. 2.1.

Частотное представление сигналов. При решении задач исследования качества и устойчивости проектируемой системы управления (определении устойчивости, определении оптимальных показателей и т.д.) необходимо иметь частотное представление сигналов.

Пример 2.2. Выбрать наиболее экономичную запись для описания сигналов, изображенных на рис. 2.6.

Допустим, что величина x изменяется в зависимости от времени t в промежутке T так, как показано на рис. 2.6, а. Изображенную характеристику x = f(t) можно представить как сумму показанной на рис. 2.6, б смещенной на t относительно начала координат косинусоиды и показанной на рис. 2.6, в синусоиды. В этом примере с1 – амплитуда косинусоиды и с2 – амплитуда синусоиды. Определяя новую круговую частоту, отвечающую

характеристике x = f(t), как w= 2Tp , можно задать рассматривае-

22

мые косинусоиду и синусоиду графиком амплитуд (спектром амплитуд), изображенным на рис. 2.6, г, при условии, что косинусоида смещена по фазе на угол, который при переходе к угловым

величинам равен j= 2pTtj .

Таблица 2.1

Наиболее распространенные функции, используемые для аппроксимации

Если заданы величины с1 и с2 и задана величина смещения косинусоиды, легко снова перейти, когда это будет нужно, к исходной характеристике x = f(t). Задание рассматриваемой функции всего лишь тремя величинами с1, с2 и j более экономично, чем представленное на рис. 2.6, а изображение f(t), для непосред-

23

ственного описания которого потребовалось бы задать целый ряд абсцисс и указать соответствующие им ординаты. Во многих случаях при таком преобразовании исходных данных значительно повышается надежность их обработки и передачи по линиям связи. Кроме того, на основе спектрально-частотного представления оказывается возможным эффективное изучение свойств различных автоматизированных систем управления и систем связи.

Рис. 2.6. Частотное представление сигналов

Заметим, что вместо показанной на рис. 2.6, б смещенной относительно начала координат косинусоиды можно было бы взять изображенные на рис. 2.6, д–е не имеющие смещения косинусоиду и синусоиду, сумма ординат которых равна при каждом данном значении времени ординате смещенной косинусоиды, показанной на рис. 2.6, б. В этом случае заданная функция x = f(t) имеет более сложный вид, и, несмотря на это, она точно аппроксимировалась бы суммой двух или трех гармоник. Ино-

24

гда приходится рассматривать большое количество гармонических функций, добиваясь лишь приближенной аппроксимации заданной функции. Это относится и к характеристикам x = f(t) простой формы.

Пример 2.3. Определить наилучшее приближение аппроксимации прямоугольного сигнала.

Для изображенной на рис. 2.7, а характеристики x = f(t) одна косинусоида не дает достаточно хорошего приближения. Приближение становится значительно лучшим, если суммируются ординаты косинусоид, имеющих частоты w1, 3w1, 5w1 и более высокие частоты.

Рис. 2.7. Аппроксимация прямоугольного импульса

25

Предполагалось, что параметры гармонических функций (амплитуды и фазы) известны. Возникает вопрос о том, как эти параметры определить. Для определения их производится разложение исходной функции x = f(t) функциям, которыми в рассмотренных примерах являлись косинусоиды, синусоиды или те и другие вместе.

Периодические функции. В теории и практике автоматического управления часто встречаются процессы, которые могут рассматриваться как периодические.

Простейшей из периодических функций (если не считать постоянной) является синусоидальная (или косинусоидальная) функция вида

x = A sin(wt) ,

где w – частота, связанная с периодом T соотношением w= 2Tp .

Из подобных простейших периодических функций можно составить и более сложные.

Пример 2.4. Сложить несколько синусоидальных функций с различными частотами:

x1 = A 1 sin(wt); x2 = A2 sin(2wt);

x3 = A3 sin(3wt).

Решение. При сложении трех синусоидальных функций с заданными параметрами получим периодическую функцию, приведенную на рис. 2.8. Судя по графику, получена тоже периодическая функция, но имеющая другие параметры: амплитуду и период.

Ортогональное представление гармонических сигналов.

Вычисление спектральных составляющих сигнала существенно облегчается при выборе в качестве базиса системы ортогональных функций.

Систему функций f0(t), f1(t), …, fi(t), …, fn(t) называют ортогональной на отрезке [a, b], если для всех k = 0, 1, 2, … n; j = 0, 1, 2, … n, за исключением случая k = j, удовлетворяется условие

26

a

Рис. 2.8. График суммы гармонических сигналов

Эта система функций является ортонормированной (ортонормальной), если для всех j = 0, 1, 2, …, n справедливо соотношение

a

Если соотношение (2.4) не выполняется и

b

∫[fj (t)]2 dt =µj >0 для j =0, 1, ... n,

a

систему можно нормировать. Умножим функции fj на 1 .

µj

Определим коэффициенты ck при представлении сигнала f(t) совокупностью ортонормированных функций в виде

предполагая, что интервал [t1, t2] лежит внутри отрезка ортогональности [a, b]. Правую и левую части уравнения (2.6) ум-

27

ножим внутри отрезка на fj(t) и проинтегрируем на интервале

[t1, t2]:

t∫2 f(t)fj (t)d =∑ck (t)t∫2 fj (t)µk (t)dt .

В силу справедливости условия (2.4) все интегралы в правой части выражения (2.6) при k ≠ j будут равны нулю. При k = j в соответствии с (2.5) интеграл равен единице. Следовательно:

В теоретических исследованиях обычно используют полные системы ортогональных функций, обеспечивающих сколь угодно малую разность непрерывной функции f(t) и представляющего ее ряда при неограниченном увеличении числа его членов. Разность обычно оценивают по критерию

b

δ = ∫[f(t) −∑ckfk (t)]2 dt .

ak

При этом говорят о среднеквадратичной сходимости ряда

∑ckfk (t) к функции f(t).

k

Широко известной ортонормированной системой является совокупность тригонометрических функций кратных аргументов:

Эта система ортонормальна на отрезке [−p, p] . Так как соответствующее разложение исторически появилось первым и было названо рядом Фурье, то соотношение (2.6) часто называют обобщенным рядом Фурье, а значения ck – обобщенными коэффициентами Фурье.

Для разложения исходной функции времени с целью перехода к спектрально-частотному ее представлению будем пользоваться базисными функциями, принадлежащими бесконечному ряду функций:

1, coswt, sinwt, cos2wt, sin2wt, …, coskwt, sinkwt, …

28

Используем для порядкового номера функции, кроме указанного в (2.6) обозначения k, также и обозначение n, считая, что k и n могут быть различными или же могут совпадать.

Условиями попарной ортогональности указанных функций,

T/2

∫coskw1tsinw1tdt =0 при k ≠n;

−T/2

T/2

∫coskw1tsinw1tdt ≠0 при k =n.

−T/2

Часто при определении коэффициентов ряда (например, обобщенного ряда Фурье, аппроксимирующего функцию f(t),) следует исходить с учетом весовой функции с(t) :

29

где

b

f(t)r(t) 2= ∫[fn (t)]2 r(t)dt

a

квадрат нормы функции f(t)r(t) .

Частотное представление периодических сигналов. Как отмечалось ранее, простейшим и наиболее распространенным периодическим сигналом является гармонический сигнал, выражаемый синусоидальной (или косинусоидальной) функцией времени:

f(t) = A cos(wt – j) ,

где А – амплитуда; w – частота;

ϕ – начальная фаза сигнала.

f(t) =cost + 12 cos2t + 14 cos3t .

Каждое из слагаемых функции характеризует косинусоидальное колебание, однако график функции f(t) не является косинусоидой. Еще более будет отличаться от косинусоиды график функции

∞

f(t) =∑Ak cos(kwt −jk ) ,

k=1

представляющий собой сумму бесконечного ряда. В результате суммирования членов ряда получаем периодическую функцию, причем ее период совпадает с периодом T первой гармоники ряда. Частоты соседних гармоник отличаются друг от друга на величину w.

В дальнейшем приращение частоты при переходе от какойлибо гармоники с номером k к соседней гармонике с номером k + 1 будем обозначать ∆ , тогда частоту первой гармоники также следует обозначить ∆ , т.е.

∆w= 2Tp ,

где Т – период функции f(t).

30