Теория сигналов в системах управления. Метрология сигналов. Частотно-временное представление сигналов. Практикум

С учетом вновь введенного обозначения сумму бесконечного ряда можно записать в виде

k=1

Общий член ряда Ak cos(k∆wt −jk ) называется k-й гармоникой, частота k-й гармоники равна k∆w, т.е. кратна частоте первой гармоники ∆w.

Таким образом, в результате сложения элементарных гармонических сигналов получили периодический сигнал, обладающий параметрами, определяемыми гармониками исходных сигналов. В связи с этим, естественно, возникает вопрос о возможности представления заданной периодической функции

ввиде суммы гармонических составляющих, т.е. о возможности определения ее тригонометрического разложения и вычислении неизвестных параметров каждой из этих гармоник разложения. Ниже показано, что периодические функции, принадлежащие весьма обширному классу функций, могут быть представлены

ввиде суммы гармонических составляющих.

Доопределяя выражение (2.8) нулевой гармоникой A0, функцию f(t) с периодом Т можно записать в виде

f(t) = A0 + A1 cos(∆wt −j1) + A2 cos(2∆wt −j2 ) +... =

Ak cos(k∆w−jk ) = Ak cosk∆wtcosjk + Ak sink∆wtsinjk , и ввести обозначения

Ak cosjk =ak, Ak sinjk =bk, A0 = a20 ,

то

Ak cos(k∆wt −jk ) =ak cosk∆wt +bk sin(k∆wt) , и функцию (2.9) можно записать в более удобной форме

f(t) = a20 +∑∞ (ak cosk∆wt +bk sink∆wt) .

k=1

31

Следовательно, периодическая функция f(t), имеющая период T, оказывается разложенной по косинусам и синусам углов,

Пусть непрерывная функция f(t) имеет период, равный 2p, и принадлежит к классу функций, для которого разложение существует, то есть выполняются условия:

1)f(t) является однозначной;

2)f(t) содержит конечное число максимумом, минимумов и

точек разрыва;

Определим неизвестные постоянные коэффициенты разложе-

ния а0, аk, bk (k = 1, 2, …).

Поскольку необходимо найти разложение функции f(t) по тригонометрическим функциям 1, coswt, sinwt, cos2wt, sin2wt, … , coskwt, sinkwt, … , то учитывая свойство ортогональности семейства функций и произведя несложные математические вычисления, получим выражения для определения коэффициентов разложения:

Формулы (2.10) позволяют по заданной функции f(t)с периодом 2p найти коэффициенты разложения этой функции в тригонометрический ряд, называемый рядом Фурье. Коэффициенты а0 и аk, bk называются коэффициентами ряда Фурье.

32

Если функция f(t) четная на интервале (–p, p), то произведение f(t)coskt представляет собой четную, а произведение f(t) sinkt – нечетную функцию. В этом случае bk = 0 (k = 1, 2, 3, ...), а коэффициенты a0 и аk можно определить по формулам:

Если функция f(t) нечетная на интервале (–p, p), то произведение f(t)coskt является нечетной, а произведение f(t)sinkt – четной функцией. Очевидно, что для такой функции коэффициенты равны соответственно а0 = 0, аk = 0 (k = 1, 2, 3, …), а коэффициенты bk могут быть определены по формуле

В формулах (2.11) интегрирование производится на интервале (–p, p). Однако результат интегрирования не изменится, если производить интегрирование на каком-либо другом интервале длиной 2p, например на интервале (0, p).

Зная коэффициенты аk и bk, легко определить значения амплитуды и начальной фазы k-й гармоники:

Совокупность операций, в результате выполнения которых могут быть определены гармоники периодической функции f(t), называется гармоническим анализом.

Таким образом, произвольного вида периодическая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть представ-

лена рядом Фурье.

Приведем формулировку теоремы, содержащей эти условия.

Если функция f(t) кусочно-монотонная в интервале (–p, p) и имеющая в нем конечное число точек разрыва непрерывно-

33

сти, то ее ряд сходится в этом интервале; сумма ряда равна

Пример 2.5. Разложить на сумму гармонических составляю-

Предполагая, что заданная функция допускает ее разложение в ряд Фурье, определим коэффициенты разложения a0, ak, bk. Так как функция f(t) нечетная, то a0 = 0, ak = 0 (k = 1, 2 ,3, …).

0 при k четном

4a при k нечетном.

pk

Следовательно, ряд Фурье, представляющий собой разложение прямоугольной волны на сумму бесконечного числа гармоник, в соответствии с формулой (2.7) имеет вид

плитуда второй гармоники равна нулю; амплитуда третьей гар-

34

Пример 2.6. Рассмотрим периодическую последовательность прямоугольных импульсов, показанную на рис. 2.9, а:

2U для 0 ≤t ≤ T ; u(t) = 20 для T2 ≤t ≤T.

Рис. 2.9. Последовательности прямоугольных импульсов

Она имеет постоянную составляющую, равную U 0 =U . Коэффициенты Umk вычисляются по формуле

Выражение cospk удовлетворяет соотношению

−1 для не ч етных k, cospk =

+1 для ч етных k.

Поэтому

Форма ряда Фурье будет содержать только синусоиды с нечетными гармоническими частотами:

35

что, естественно, до постоянной составляющей U совпадает с полученным ранее выражением.

Можно перейти к форме ряда Фурье, содержащего разложение по cos:

Спектр такого сигнала без постоянной составляющей показан на рис. 2.10.

Рис. 2.10. Спектры амплитуд и фаз сигнала рис. 2.9, а

36

Замечательное свойство ряда Фурье заключается в том, что если взять конечное число членов ряда, т.е. аппроксимировать периодическую функцию полиномом, представив ее в виде (2.11), то для любого n получается наименьшее квадратичное отклонение от точного значения функции f(t), если коэффициенты полинома определены по формулам (2.11) – (2.12). С увеличением числа n приближение, разумеется, улучшается, и в пределе при n →∞ приближенное равенство переходит в точное.

Весьма удобной является комплексная форма записи ряда Фурье, к которой легко перейти, если в разложении (2.9) выразить тригонометрические функции через показательные, воспользовавшись известными формулами:

coskt = ejkt +e−jkt ;

2

sinkt = ejkt −e−jkt = j −ejkt +e−jkt . 2j 2

Подставив эти выражения в уравнение (2.1), получим

Введем обозначения

тогда i-я частная сумма ряда может быть записана в виде

Следовательно, комплексная запись ряда Фурье имеет вид

∞

f(t) ≈∑ck ejkt ,

−∞

где ck – комплексная амплитуда, определяемая выражением

2p

ck = T2 ∫0 f(t)e−jktdt .

37

Следует отметить, что ряд (2.10) содержит при k = 0 слагаемое a20 – постоянную составляющую. Таким образом, c0 = a0.

Совокупность комплексных чисел ck, определяемая для функции f(t) с периодом T формулой (2.12), называется комплексным амплитудным частотным спектром. Из формул для коэффициентов следует, что ak = ak(k), bk = bk(k), если функция f(t) имеет период (2p) . Если же период функции равен T, то ak =ak (k∆w) ,

bk =bk (k∆w) , частота первой гармоники ∆w= 2Tp . Следовательно,

спектры являются функциями, зависящими от номера гармоники k как независимой переменной.

Структура спектра периодического сигнала полностью определяется амплитудами и фазами гармоник, т.е. модулем сk и аргументом jk комплексной амплитуды сk, поэтому комплексная форма ряда Фурье особенно удобна, тем более, что показательные функции во многих отношениях обладают преимуществом перед тригонометрическими при математической обработке.

Ранее отмечалось, что число k может принимать как положительные, так и отрицательные значения, поэтому графики спектров имеют смысл и при положительных, и при отрицательных частотах w=k∆w. Из равенства для частотного спектра можно получить

т.е. амплитудный частотный спектр является четно-симме- тричной, а фазовый частотный спектр – нечетно-симметрич- ной функцией частоты.

На рисунке 2.11 приведен график спектра амплитуд периодического сигнала, состоящий из равноотстоящих линий, длины которых пропорциональны амплитудам An соответствующих гармоник. Аналогичный вид имеет и график спектра фаз.

38

Рис. 2.11. График спектра амплитуд периодического сигнала

Непрерывная кривая, соединяющая концы линий спектра и показанная на рис. 2.11 пунктиром, носит название огибающей спектра амплитуд и фаз.

Огибающая спектра является геометрическим местом концов линий спектра амплитуд (фаз); для получения уравнения огибающей необходимо определить зависимость комплексной амплитуды не от дискретного номера гармоники k, а от текущего значения частоты, воспользовавшись выражением (2.12) и приравняв в нем k∆w = w, получим

2p

ck = 1p ∫0 f(t)e−jkwtdt =c(w)e−jj(w) .

Рассмотрим практический пример распределения мощности в спектре периодического сигнала. Предположим, что ток i(t), протекающий по сопротивлению R, описывается сложной периодической функцией времени с периодом T.

Поскольку процесс периодически повторяется, то энергия, выделяемая в сопротивлении R за период, постоянна и средняя мощность равна

T

Pср = T1 ∫0 i2 (t)Rdt = RI2 ,

T

где I2 = 1 ∫i2 (t)dt – среднее значение квадрата тока, корень ква-

T 0

дратный из которого, т.е. ток I, как известно, называют дей-

ствующим (эффективным) значением тока.

39

Если представить ток i(t) рядом Фурье

Таким образом, средняя мощность, выделяемая сложным периодическим током в активном сопротивлении, равна сумме средних мощностей, выделяемых в этом сопротивлении отдельными гармониками тока и его постоянной составляющей (рис. 2.12).

Отметим, что средняя мощность не зависит от фаз отдельных гармоник. Это означает, что изменение формы сигнала, получающееся при нарушении фазовых соотношений внутри спектра, не связано с изменением средней мощности сигнала. Отсюда также следует, что для определения средней мощности выбор начала отсчета при разложении в ряд Фурье не играет роли.

При использовании аппроксимации реальных сигналов тригонометрическими разложениями большое значение имеют искажения сигналов, проявляющиеся при аппроксимации. Реальные устройства систем связи и управления содержат в себе (в явном или неявном виде) инерционные элементы – индуктивности и емкости, наличие которых обуславливает невозможность передачи сколь угодно высоких частот. Поэтому при пере-

40