Теория сигналов в системах управления. Метрология сигналов. Частотно-временное представление сигналов. Практикум

Это искомое значение минимума функции r2 (s,v) (вторая производная функции по В положительна). При этом минимальное значение метрики r min ≈0,31AT . Вычислим нормы сигналов при А = 1:

Es = A2 T∫sin2 pTt dt = A2 T2 =10.

0

Норма: s(t) = Es =0,707 AT ≈3,16 ;

T

Ev = B2 ∫dt = B2 T ≈10 .

0

Норма: v(t) = Ev = BT ≈2,85 ||s(t)|| = Es = B T ≈ 2,85. Метрика не единственно возможная. Пространство сигналов

может иметь несколько метрик. Так, для дискретных сигналов, заданных на интервале Т, могут задаваться метрики по модулю разности и по максимуму модуля разности.

Метрика в пространстве N-разрядных двоичных сигналов х и у для любой пары таких сигналов вполне будет определяться числом несовпадающих символов, которое называют расстоянием по Хеммингу для двоичных слов:

d(x,y) = N∑−1[sn yn ],

n=0

где знак означает сложение по модулю 2 (1 + 0 = 0 + 1 = 1, 0 + 0 = = 1 + 1 = 0 без переноса в старший разряд).

Скалярное произведение произвольных сигналов отражает степень их связи (сходства) по форме и положению в пространстве сигналов и обозначается как x(t),v(t) :

Вычисление скалярного произведения обычно производится непосредственно по сигнальным функциям. Для квадрата метрики сигналов s и v справедливо:

s −v2 = s2 + v2 −2sv cosj= s2 + v2 −2s,v ;

11

2s,v = s2 + v2 −s −v2 =(s12 +s25 ) +(v12 +v25 ) −

−{(s1−v1)2 +(s2 −v2 )2} =2(s1v1 −s2v2 );

s,v =s1v1 +s2v2 .

Обобщая полученное выражение на аналоговые сигналы:

∞

s(t),v(t) = ∫ s(t)v(t)dt .

−∞

Соответственно, для дискретных сигналов в N-мерном про-

странстве

N

sn,vn =∑snvn .

n=1

Линейное пространство аналоговых сигналов с таким скалярным произведением называется гильбертовым пространством Н (второе распространенное обозначение – L2). Линейное пространство дискретных и цифровых сигналов – пространством Евклида (обозначение пространства – R2). Норма и метрика пространств Гильберта и Эвклида определяются выражениями (1.1) и (1.2). Метрика пространств называется среднеквадратичной метрикой и определяет среднеквадратичное отклонение одного сигнала от другого. В этих пространствах справедливо фундаментальное неравенство Коши–Буняковского:

т.к. модуль косинуса может быть только равным или меньше 1. Для комплексного гильбертова пространства скалярное про-

изведение вычисляется по формуле

∞

s(t),v(t) = ∫ s(t),v(t)* dt .

−∞

При определении функций в пространстве L2 [a, b] вычисление скалярного произведения производится соответственно с пределами интегрирования от а до b.

Метрика определяется нормой разности двух сигналов:

12

В свою очередь, норму можно отождествлять с расстоянием от выбранного элемента пространства до нулевого:

||s(t)|| = r(s(t), ).

По метрике сигналов можно судить, например, о том, насколько точно один сигнал может быть аппроксимирован другим сигналом или насколько изменяется выходной сигнал относительно входного при прохождении через какое-либо устройство.

Из соотношения (1.3) следует, что косинус угла между сигналами определяется выражением

Пример 1.2. Для двух смещенных во времени прямоугольных импульсов с одинаковой амплитудой и длительностью s1(t) = 2

при 0 ≤ t ≤ 5, s1(t) = 0 при других t; и s2(t) = 2 при 4 ≤ t ≤ 9, s2(t) = 0 при других t. Определить следующие характеристики:

––квадраты норм сигналов:

t

13

При отсутствии перекрытия сигналов s1, s2 = 0, cosj = 0, j = 90о.

Координатный базис пространства. Для измерения и отображения одномерных величин достаточно одного нормированного параметра – стандарта величины или единицы ее измерения.

В пространстве сигналов роль такого метрологического стандарта выполняет координатный базис пространства – подмножество векторов {е1, е2, е3, …} со свойствами ортогональных координатных осей с определенной единицей измерений, по которым можно разложить любой произвольный сигнал, принадлежащий этому линейному пространству.

Число базисных векторов определяет размерность векторного пространства. Так, для двумерных векторов в качестве ортогонального базиса пространства могут быть приняты векторы {v1, v2}, если выполняется условие их взаимной перпендикулярности – нулевое значение скалярного произведения v1, v2 = 0. При ||v1|| = ||v2|| = 1 эта пара векторов является ортонормированным базисом с единичными векторами координатных осей в качестве стандарта (единицы измерения) пространства

Ортонормированный базис пространства. При распространении положений векторного базисного пространства на функциональное пространство L2[a, b] в качестве координатного базиса пространства мы можем использовать совокупность функций {u0(t), u1(t), u2(t), …}, в пределе – бесконечную, которая должна быть системой ортогональных функций {uk(t), k=0, 1, 2, …}, т.е. все функции на этом отрезке должны быть взаимно ортогональны.

Система ортогональных функций на интервале [a, b] будет ортонормированной (orthonormal functions), если все функции системы при m = n имеют единичную норму.

Система ортогональных функций всегда может быть превращена в ортонормированную путем нормировки, т.е. деления всех функций на их норму.

К системам базисных функций, которые используются при разложении сигналов, предъявляют следующие основные требования:

––для любого сигнала ряд разложения должен сходиться;

––при ограничении ряда по уровню остаточной погрешности расхождения с заданным сигналом количество членов ряда должно быть минимальным;

14

––базисные функции должны иметь достаточно простую аналитическую форму;

––коэффициенты разложения в ряд должны вычисляться относительно просто.

Согласно теореме Дирихле, любой сигнал s(t), имеющий конечное число точек нарушения непрерывности первого рода и конечный по энергии на интервале [a, b], может быть разложен по системе ортонормальных функций, если существуют интегралы модуля сигнала и модуля его первой производной, т.е.

bb

∫|s(t) | dt <∞, ... ∫|s* (t) | dt <∞ .

aa

Некоторые аналогии между элементарными геометрическими понятиями и соответствующими им понятиями в теории сигналов даны в табл. 1.1.

15

Таблица 1.1

16

2. МОДЕЛИ СИГНАЛА

Для теоретического изучения реальные сигналы идеализируют, ставят им в соответствие определенные функции времени, которые называются математическими моделями сигналов.

Математическая модель может быть задана в виде аналитических выражений, графиков, таблиц. При этом в качестве аналитических выражений наиболее часто используют комбинации заданных элементарных функций.

Для практических приложений особый интерес имеет представление сигнала в виде суммы элементарных сигналов.

2.1. Временная форма представления сигнала

Разложение сигналов в ряды по элементарным функциям одной из основных задач теории управления является задача определения реакции устройства или системы на внешнее входное воздействие.

Для определенного вида входных сигналов реакцию системы определить проще, чем при произвольном входном сигнале. Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, поэтому можно выразить данный произвольный входной сигнал в виде суммы элементарных функций, так как если для каждой элементарной функции реакция системы известна или может быть легко определена, то для выходного сигнала можно записать в виде

L[c1x1(t) +c2x2 (t)] =c1L[x1(t) +c2L[x2 (t)] .

Данная схема пригодна как для стационарных, так и для нестационарных линейных систем.

Разложение реальных сигналов, действующих в системах управления, на элементарные функции предопределяет вид элементарных функций так называемыми специальными функциями, которые являются предметом исследования отдельного раздела курса математики. Для рассматриваемого класса задач приведен узкий диапазон видов специальных функций.

Специальными функциями называется класс функций, составляющих основу временного анализа систем. Каждая специальная функция и ее производные являются непрерывными

17

функциями времени при всех, кроме одного, действительных значениях времени t. Специальные функции могут быть получены одна из другой последовательным дифференцированием или интегрированием. Наиболее распространена единичная ступенчатая функция U–1, показанная на рис. 2.1.

Рис. 2.1. График единичной ступенчатой функция

Можно записать

0 при t <0; U–1(t) = 1 при t >0.

Хотя значение этой функции в точке разрыва считают иногда равным 12 или 1, более распространено считать функцию не-

определенной в этой точке.

Для произвольной функции времени f(t – a) представляют собой f(t), смещенную вправо на a единиц. Поэтому вполне логично обозначить единичную ступенчатую функцию с разрывом

Следует отметить, что разрыв функции соответствует равенству нулю величины в скобках. Таким образом, единичная сту-

18

пенчатая функция равняется нулю или единице, если ее аргумент соответственно отрицательный или положительный.

Рис. 2.2. Специальные функции

Интегрируя единичную ступенчатую функцию, получим специальные функции:

––единичную, линейную, возрастающую (см. рис. 2.2):

Импульсная функция. Последовательное интегрирование типа (2.1), (2.2) позволяет получить бесчисленное множество специальных функций. Сформируем специальные функции посредством последовательного дифференцирования единичной ступенчатой функции с учетом того, что производная от U–1 равна нулю при t < 0 и не существует при t > 0. С целью более детального изучения рассмотрим функцию вида f–1(t), представленную на рис. 2.3, а, аппроксимирующую единичную ступенчатую функцию. Производная от f–1(t) равна f0(t) и представлена на рис. 2.3:

19

f0 (t) = dtd f−1(t),

t

f−1(t) = ∫ f 0(t)dt.

−∞

Рис. 2.3. График производной от единичной функции

Чем меньше величина ∆ , тем точнее f–1(t) аппроксимирует единичный скачок. При этом f0(t) становится более узким и высоким импульсом, сохраняя ограниченную площадь равной единице. Очевидно, что

limf−1(t) =U−1(t) ,

за исключением, возможно, t = 0. Предел f0(t) обозначим

Рис. 2.4. График импульсной функции

20