Теория сигналов в системах управления. Метрология сигналов. Частотно-временное представление сигналов. Практикум

даче периодических сигналов через реальные системы связи и управления может быть передано лишь определенное (конечное) количество гармонических составляющих сигнала из бесконечного в общем случае числа этих составляющих. Очевидно, важно передавать ту часть спектра сигнала, которая содержит гармонические составляющие с относительно большими амплитудами. В связи с этим вводится понятие практической ширины спектра сигнала. Под практической шириной спектра сигнала понимается та область частот, в пределах которой лежат гармонические составляющие сигнала с амплитудами, превышающими наперед заданную величину.

Рис. 2.12. К определению практической ширины спектра

41

Для спектрального представления сигналов с использованием разложения Фурье часто пользуются типовыми сигналами, для которых разложение уже получено. В таблице 2.2 представлены такие сигналы, которые часто используются при анализе систем автоматического управления.

Таблица 2.2

Примеры разложение в ряд Фурье периодических функций

42

Сигналы 7 и 8 формируются из синусоиды посредством схем, использующих вентильные элементы.

Совокупность гармонических составляющих, образующих сигнал несинусоидальной формы, называется спектром этого негармонического сигнала. Из этого набора гармоник выделяют и различают амплитудный и фазовый спектр. Амплитудным спектром называют набор амплитуд всех гармоник, который обычно представляют диаграммой в виде набора вертикальных линий, длины которых пропорциональны (в выбранном масштабе) амплитудным значениям гармонических составляющих, а место на горизонтальной оси определяется частотой (номером гармоники) данной составляющей. Аналогично рассматривают фазовые спектры как совокупность начальных фаз всех гармоник; их также изображают в масштабе в виде набора вертикальных линий.

Пример 2.7. Разложить в ряд Фурье в интервале (−p, p) функцию f(t) = t .

Заданная функция не является периодической, поэтому разложить ее в ряд Фурье на всей оси 0t не представляется возможным. Для разложения функции в интервале (−p, p) продолжим ее периодически с периодом (2p) вне интервала (−p, p) (рис. 2.13).

43

Рис. 2.13. График для примера 2.7

Представим в виде ряда Фурье образовавшуюся периодическую функцию, которая в интервале (−p, p) совпадает с заданной функцией. Заданная функция является четной, т.е. bk = 0, и определению подлежат коэффициенты a0 и ak. Учитывая формулы (2.11), найдем

p

a0 = 2p ∫0 tdt = p .

Следовательно, в интервале (−p, p) будет справедливо разложение

Вне интервала (−p, p) сумма ряда не будет совпадать с заданной функцией.

Отметим, что в формулах (2.11) – (2.12) интегрирование производится в пределах отр 0 до , поэтому при вычислениях коэффициентов a0, ak, и bk нет необходимости строить график периодически продолженной функции.

Пример 2.8. Найти амплитудный и фазовый спектр для сигнала прямоугольной формы, причем длительности положительного и отрицательного сигнала равны, а среднее значение функции за период равно нулю.

Для сигналов простых, часто используемых форм решение целесообразно находить с помощью таблиц.

44

Для решения этого примера воспользуемся разложением, представленным в табл. 2.2.

Из разложения в ряд Фурье сигнала прямоугольной формы (см. табл. 2.2) следует, что гармонический ряд содержит только нечетные гармоники, при этом амплитуды гармоник убывают пропорционально номеру гармоники. Амплитудный линейчатый спектр гармоник представлен на рис. 2.14. При построении принято, что амплитуда первой гармоники равна единице; ам-

плитуда третьей гармоники будет равна 13 , пятой – 15 и т.д. На-

чальные фазы всех гармоник сигнала равны нулю, следовательно, фазовый спектр имеет только нулевые значения ординат.

Рис. 2.14. Линейчатый амплитудный спектр прямоугольного сигнала

Пример 2.9. Найти амплитудный и фазовый спектр для сигнала, изменяющегося по закону

Такой сигнал формируется из синусоиды посредством исключения (схемным путем с использованием вентильных элементов) о ит постоянную составляющую (нулевую гармонику), первую гармонику и далее набор только четных гармоник, амплитуды

45

которых быстро убывают с ростом номера гармоники. Положим, что величина V = 100 B, тогда, умножив каждое слагаемое на общий множитель 2V/π, найдем

u(t) =31,8 +50coswt +21,2cos(2wt) + ,

+4,25cos(4wt) +1,81cos(6wt) +...

или в синусоидальной форме

u(t) =31,8 +50sin(wt +900 ) +21,2sins(2wt +900) + .

На рисунке 2.15, а, б приведены амплитудный и фазовый спектры этого сигнала.

Рис. 2.15. Линейчатый спектр сигнала однополупериодного выпрямления: а –амплитудный; б – фазовый

В соответствии с теорией рядов Фурье точное равенство негармонического сигнала сумме гармоник имеет место только при бесконечно большом числе гармоник. Расчет гармонических составляющих с помощью компьютера позволяет анализировать любое число гармоник, которое определяется целью расчета, точностью и формой негармонического воздействия. Если длительность сигнала t независимо от его формы много меньше периода T, то амплитуды гармоник будут убывать медленно, и для более полного описания сигнала приходится учитывать большое число членов ряда. Эту особенность можно

46

проследить для сигналов, представленных в табл. 2.2 под номерами 5 и 6, при выполнении условия τ << T. Если негармонический сигнал по форме близок к синусоиде (например, сигналы 2 и 3 в табл. 2.2), то гармоники убывают быстро, и для точного описания сигнала достаточно ограничиться тремя – пятью гармониками ряда.

Спектральные характеристики (диаграммы) периодических сигналов, приведенных в табл. 2.2, представлены на рис. 2.16.

Рис. 2.16. Спектральные диаграммы, соответствующие тригонометрической (а) и комплексной (б) формам ряда Фурье

Спектральное представление непериодических сигналов.

Спектральной характеристикой непериодического сигнала является спектральная плотность, определяемая с помощью прямого преобразования Фурье:

∞

X(jw) = ∫ x(t)e−jwt .

−∞

Коэффициенты ak и bk этого ряда определяются выражением

∞

x(t) = 1 ∫ X(jw)ejwtdw.

2p −∞

Это основные соотношения для получения спектральных характеристик непериодических сигналов.

47

Амплитудный и фазовый спектры сигнала. Для спектральной плотности сигнала справедливы все свойства комплексных чисел. Выполним элементарные преобразования:

X(jw) = A(w) − jB(w) = X(w)e jj(w) ;

∞

A(w) = ∫ x(t)coswtdt – действительная часть спектра;

−∞

∞

B(w) = ∫ x(t)sinwtdt – мнимая часть спектра;

−∞

X(w) =| X(jw) |= A2 (w) + B2 (w) – амплитудный спектр сигнала;

j(w) = −arctg B(w) – фазовый спектр сигнала.

A(w)

Отличия спектра периодического сигнала от спектра непериодического сигнала следующие.

Для определения спектра периодического сигнала используется математический аппарат рядов Фурье, для определения спектра непериодического сигнала – преобразования Фурье (интеграла Фурье).

Спектром периодического сигнала является спектр амплитуд и спектр фаз гармонических составляющих. Размерность спектра амплитуд – вольт (В) или ампер (А), спектра фаз – градус или радиан (рад). Спектром непериодического сигнала является спектральная плотность. Модуль спектральной плотности называют амплитудным спектром, размерность – В/Гц (В/рад/с) или А/Гц (А/рад/с). Аргумент спектральной плотности – это фазовый спектр, размерность – градус или радиан.

Спектр периодического сигнала дискретный (линейчатый). Это означает, что спектральные составляющие спектра с номерами ..., k – 1, k, k + 1, ... отличаются по частоте друг от друга на величину, равную частоте сигнала, т.е. частоты составляю-

48

щих равны ..., (k – 1)ω1, kω1, (k + 1)ω1, … . Спектр непериодического сигнала – сплошной, т.е. амплитудный и фазовый спектры имеют определенные значения на всех частотах (в пределах эффективной полосы частот сигнала).

49

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Пример 1. Определите норму и энергию непрерывного сигнала на заданном интервале.

Примет 2. Определите скалярное произведение сигналов X(t) и Y(t).

50