Теория рядов задания для самостоятельного решения. Учебно-методическое пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

x2n cos(x + n)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Задание 15. Получить решение дифференциального уравнения II-го порядка y'' = xy y(0) = 0, y'(0) = 1 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

Задание 16. Разложить функцию y = x2 в ряд Фурье на интервале x (− , Задание 17. Разложить функцию y = x sin 2x в ряд Фурье на интервале

x (−1, 1 .

Задание 18. Разложить функцию y = x e 2 в ряд Фурье в комплексной форме на интервале x (− 2, 2 .

Задания 19-20. Функцию	x sin x,		x 0, 2		представить инте-
	y =	0,	x (− , 0) (2 ,	+ )

гралом Фурье в действительной и комплексной форме.

Вариант 2

Задание 1. Исследовать числовой ряд на сходимость:

cos2 ( n )

+ 2+

n=1 n(n 1)(n 2)

Задание 2. Исследовать числовой ряд на сходимость

(n!)2

2n2

n=1

Задание 3. Исследовать числовой ряд на сходимость

	1
	1

	n ln 2	n
n=2

Задание 4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость

(−1)n

n + 2

n=1

Задание 5. Определить область сходимости функционального ряда

	(x −3)	n
	(x −3)
	(n +1) 5		n
n=1	(n +1) 5
n=1

Задание 6. Определить область сходимости функционального ряда

	(n +1) 3	n


	(n2 + 5)(x −1)n
n=1

Задание 7. Определить область сходимости функционального ряда

Задание 8. Разложить функцию f (x) = x + 2 в ряд Тейлора по степеням (x +1) , указать область сходимости.

Задание 9. Функцию f (x) = ln(x2 −3x + 2) разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций ex ,sin x,cos x , ln(x +1) , (1+ x)m , указать область сходимости.

Задание 10. Функцию f (x) = 417 вычислить приближенно с точностью до 10−4

Задание 11. Вычислить предел lim		e−x2 − cos(					2	x)	, используя разложение функ-
Задание 11. Вычислить предел lim									, используя разложение функ-
x→0					x	4
					x

ций в ряд Тейлора.

Задание 12. Найти сумму ряда n2 xn
n=1
	2 xn
Задание 13. Найти сумму ряда
Задание 13. Найти сумму ряда	n		2	−1
n=2	n			−1

Задание 14. Получить решение дифференциального уравнения I-го порядка y' = x − y2 , y(0) = 0 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

Задание 15. Получить решение дифференциального уравнения II-го порядка y''= (2x −1) y −1, y(0) = 0, y'(0) =1 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

Задание 16. Разложить функцию y = sin	x	в ряд Фурье на интервале x (− ,
	2
			3 .
Задание 17. Разложить функцию y = x2	в ряд Фурье на интервале x (− 3,

Задание 18. Разложить функцию y = x e−3x в ряд Фурье в комплексной форме на интервале x (− 2, 2 .

Задания 19-20. Функцию	x cos x,		x 0, 2		представить инте-
	y =	0,	x (− , 0) (2 ,	+ )

гралом Фурье в действительной и комплексной форме.

Вариант 3

Задание 1. Исследовать числовой ряд на сходимость:

ln n

3 n7 n=1

Задание 2. Исследовать числовой ряд на сходимость

Задание 3. Исследовать числовой ряд на сходимость

	1
	1

	(n +1) 1+ ln2 (n +1)
n=1

Задание 4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость

	n +1

(−1)n+1
	n	2
n=1

Задание 5. Определить область сходимости функционального ряда

	(x −1)2n

	n 9n
n=1

Задание 6. Определить область сходимости функционального ряда

		n	5	+ 7

	n3	2n	(x + 3)n
n=1

Задание 7. Определить область сходимости функционального ряда

			1
			1		tg n+1 x

		(n + 3)		2
n=1		(n + 3)
n=1
Задание 8. Разложить функцию f (x) =	1		в ряд Тейлора по степеням (x +1) , ука-
Задание 8. Разложить функцию f (x) =	x2		в ряд Тейлора по степеням (x +1) , ука-
	x2

зать область сходимости.

Задание 9. Функцию f (x) = x2 ln(1+ x2 ) разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций ex ,sin x,cos x , ln(x +1) , (1+ x)m , указать область сходимости.

Задание 10. Функцию f (x) = cos 0,3 вычислить приближенно с точностью до 10−4

Задание 11. Вычислить предел lim e−x2 − cos2 x , используя разложение функций в

x→0 x4

ряд Тейлора.

Задание 12. Найти сумму ряда (−1)n (2n +1)2 xn

n=0

8x2n

Задание 13. Найти сумму ряда

n=0 (2n +1)(2n + 3)(2n + 5)

Задание 14. Получить решение дифференциального уравнения I-го порядка y' = y3 − x, y(0) = 1 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

Задание 15. Получить решение дифференциального уравнения II-го порядка y'' = −xy , y(0) = 1, y'(0) = 0 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

Задание 16. Разложить функцию	y =	x	e−	x	в ряд Фурье на интервале x (− ,



Задание 17. Разложить функцию	y = e3x в ряд Фурье на интервале x (− 2, 2 .

Задание 18. Разложить функцию y = x3 в ряд Фурье в комплексной форме на интервале x (−1, 1 .

Задания 19-20. Функцию y = signx e−2 x cos 3x представить интегралом Фурье в действительной и комплексной форме.

Вариант 4

Задание 1. Исследовать числовой ряд на сходимость:

2 + (−1)n

n − ln n

n=1

Задание 2. Исследовать числовой ряд на сходимость

	10	n	2	n!

	(2n)!
n=1

Задание 3. Исследовать числовой ряд на сходимость

		1


	n (ln 2	n + 2 ln n)
n=1

Задание 4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость

		cos n

	n	2
n=1		+ 3n + 2

Задание 5. Определить область сходимости функционального ряда

			2n −1
			2n −1					(x − 2)n
			3					(x − 2)n
		n=1	(n +1)
Задание 6. Определить область сходимости функционального ряда
						2n + 3
						2n + 3

				(n +1)5 x2n
			n=1
Задание 7. Определить область сходимости функционального ряда
					3	n
					3		tg 2n x
							tg 2n x
			n=1		n
Задание 8. Разложить функцию f (x) = 2x					в ряд Тейлора по степеням (x +1) , ука-
зать область сходимости.
Задание 9. Функцию f (x) = ln	1+ 2x	разложить в ряд Маклорена, используя раз-
Задание 9. Функцию f (x) = ln	1− x	разложить в ряд Маклорена, используя раз-
	1− x

ложения в ряд функций ex ,sin x,cos x , ln(x +1) , (1+ x)m , указать область сходимости.

Задание 10. Функцию f (x) = sin 0,4 вычислить приближенно с точностью до 10−4

Задание 11. Вычислить предел lim	2 − sin2 x − 2 cos x				, используя разложение функ-
Задание 11. Вычислить предел lim		x	4		, используя разложение функ-
x→0			4


ций в ряд Тейлора.

Задание 12. Найти сумму ряда (−1)n−1 n2 xn
n=1
		x		2n−1
Задание 13. Найти сумму ряда (−1)n		x

		(n −1)(2n −1)
n=2		(n −1)(2n −1)
n=2

Задание 14. Получить решение дифференциального уравнения I-го порядка y'= e y + xy, y(0) = 0 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

Задание 15. Получить решение дифференциального уравнения II-го порядка

y'' = yy'−x2 , y(0) =1, y'(0) =1 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

в ряд Фурье на интервале x (− ,

Задание 16. Разложить функцию y = x e−

Задание 17. Разложить функцию y = ch2x в ряд Фурье на интервале x (− 2,

2 .

Задание 18. Разложить функцию y = e2 x

в ряд Фурье в комплексной форме на

интервале x (− 2, 2 .

x − x3 ,

Задания 19-20. Функцию y =

представить интегралом Фурье в

действительной и комплексной форме.

Вариант 5

Задание 1. Исследовать числовой ряд на сходимость:

arctg

1+ (−1)n

n3 + 2

n=1

Задание 2. Исследовать числовой ряд на сходимость

(2n + 2)!

(3n + 5)2 2n

n=1

Задание 3. Исследовать числовой ряд на сходимость

			1



			e2n −1
	n=1

Задание 4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость

(−1)n

3 n

n=1

Задание 5. Определить область сходимости функционального ряда

				(x − 2)		2n
(−1)n+1				(x − 2)
(−1)n+1
n=1				2n
n=1
Задание 6. Определить область сходимости функционального ряда
		(n +1) 2			n
		(n +1) 2

	(n3	− 7n +1)(x + 3)n
n=1
Задание 7. Определить область сходимости функционального ряда
		n
		4	sin 2n x
		2	sin 2n x
	n=1	n

Задание 8. Разложить функцию f (x) = ln(x + 2) в ряд Тейлора по степеням (x +1) , указать область сходимости.

Задание 9. Функцию f (x) = sin2 x разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций ex ,sin x,cos x , ln(x +1) , (1+ x)m , указать область сходимости. Задание 10. Функцию f (x) = 3 30 вычислить приближенно с точностью до 10−4

x ex−1

− x2

Задание 11. Вычислить предел lim

, используя разложение функций в

(x −1)

x→0

ряд Тейлора.

Задание 12. Найти сумму ряда n(n + 2)xn

n=1

(−1)

Задание 13. Найти сумму ряда

(2n +1)(2n

+ 3)(2n + 5)

n=0

Задание 14. Получить решение дифференциального уравнения I-го порядка

y'= x + 2 y2 , y(0) = 0 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

Задание 15. Получить решение дифференциального уравнения II-го порядка

xy''+y = 0 y(0) = 0, y'(0) =1 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

Задание 16. Разложить функцию y = e2 x

в ряд Фурье на интервале x (− ,

в ряд Фурье на интервале x (−1,

1 .

Задание 17. Разложить функцию y =

e−2

Задание 18. Разложить функцию y = sh3x в ряд Фурье в комплексной форме на интервале x (− , .

	ch2x,		x		2
	ch2x,		x		2
Задания 19-20. Функцию	y =					представить интегралом Фурье в дей-
		0,	x	2

ствительной и комплексной форме.

Вариант 6

Задание 1. Исследовать числовой ряд на сходимость:

	arctg	n +1
	arctg
		n
		n

n=1	3 n3 − 3n

Задание 2. Исследовать числовой ряд на сходимость

n + 5 sin 2

n=1 n! 3n

Задание 3. Исследовать числовой ряд на сходимость

e2n + 4

n=1

Задание 4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость

(−1)n+1

ln(1+ n)

n=1

Задание 5. Определить область сходимости функционального ряда

	(x −5)	2n+1

	3n +	8
n=1

Задание 6. Определить область сходимости функционального ряда

	n (n6 +1)

	3n (x +1)n
n=1

Задание 7. Определить область сходимости функционального ряда

	3x
3n xn sin	3x

		n
n=1		n

Задание 8. Разложить функцию область сходимости.

f (x) в ряд Тейлора по степеням (x +1) , указать

f (x) =		1
f (x) =
1		− 2x

Задание 9. Функцию f (x) = 4 − x2 разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций ex ,sin x,cos x , ln(x +1) , (1+ x)m , указать область сходимости.

Задание 10. Функцию f (x) = arctg0,2 вычислить приближенно с точностью до

10−4

Задание 11. Вычислить предел lim		2 cos x + x sin x − 2			, используя разложение
Задание 11. Вычислить предел lim			x	4	, используя разложение
x→0				4


функций в ряд Тейлора.

Задание 12. Найти сумму ряда (−1)n (n +1)(n + 2)xn
n=0		5 x
		5 x	n
Задание 13. Найти сумму ряда
Задание 13. Найти сумму ряда	(n −1)(n + 4)
n=2	(n −1)(n + 4)
n=2

Задание 14. Получить решение дифференциального уравнения I-го порядка y'= e y − x2 y, y(0) = 0 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

Задание 15. Получить решение дифференциального уравнения II-го порядка y'' = x + y2 y(0) = 0, y'(0) = 1 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

Задание 16. Разложить функцию y = x sin x в ряд Фурье на интервале x (− , Задание 17. Разложить функцию y = e2 x в ряд Фурье на интервале x (− 2,2 . Задание 18. Разложить функцию y = x2 , в ряд Фурье в комплексной форме на интервале x (− 2, 2 .

	x − x	3	,	x		1


Задания 19-20. Функцию y =							представить интегралом Фурье в
Задания 19-20. Функцию y =					1		представить интегралом Фурье в
0,				x	1

действительной и комплексной форме.

Вариант 7

Задание 1. Исследовать числовой ряд на сходимость:

	arccos	(−1)n n

		n +1
		n +1
	n2 + 3
n=1

Задание 2. Исследовать числовой ряд на сходимость

arctg 5n! n

n=1

Задание 3. Исследовать числовой ряд на сходимость

1+ ln2 (n2 +1)

n=1 (n2 +1)

Задание 4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость

(−1)n ln(1+

)

n=1

Задание 5. Определить область сходимости функционального ряда

(x +1)2n

n=1

Задание 6. Определить область сходимости функционального ряда

3n (x − 2)n

n=1

Задание 7. Определить область сходимости функционального ряда

2n x2n

sin(5x − n )

n + 3

n=1

Задание 8. Разложить функцию f (x) = 3x + 4 в ряд Тейлора по степеням (x +1) , указать область сходимости.

	ex −1
Задание 9. Функцию			,	x 0, разложить в ряд Маклорена, используя
	f (x) =	x
		1,		x = 0

разложения в ряд функций ex ,sin x,cos x , ln(x +1) , (1+ x)m , указать область сходимости.

Задание 10. Функцию f (x) = 3 130 вычислить приближенно с точностью до 10−4

		ln(1+ x) − sin x +					x2
Задание 11. Вычислить предел lim		ln(1+ x) − sin x +					2	, используя разложение
							2
					x	3
x→0						3


функций в ряд Тейлора.

Задание 12. Найти сумму ряда (4n2 + 9n + 5)xn+1
n=0
			n−1	x	2n
Задание 13. Найти сумму ряда	(−1)			x
Задание 13. Найти сумму ряда
n=1		n(2n −1)

Задание 14. Получить решение дифференциального уравнения I-го порядка y' = y + xe y , y(0) = 0 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

Задание 15. Получить решение дифференциального уравнения II-го порядка y'' = x2 y , y(0) = 1, y'(0) = 1 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

Задание 16. Разложить функцию y = x3 в ряд Фурье на интервале x (− , Задание 17. Разложить функцию y = x sin 2x в ряд Фурье на интервале

x (− 2,

2 .

Задание 18. Разложить функцию y = x e2 x в ряд Фурье в комплексной форме на интервале x (− , .

Задания 19-20. Функцию	cos 2x,		x 0, 2		представить инте-
	y =	0,	x (− , 0) (2 ,	+ )

гралом Фурье в действительной и комплексной форме.

Вариант 8

Задание 1. Исследовать числовой ряд на сходимость:

n cos2 n


	n3	+ 5
n=1

Задание 2. Исследовать числовой ряд на сходимость

3n n!

n=1

Задание 3. Исследовать числовой ряд на сходимость

en3

n=1

Задание 4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость

	(−1)n+1

		3	n
n=1	(n +1)	3


		2

Задание 5. Определить область сходимости функционального ряда

	(x + 2)	n
	(x + 2)
	(2n +1) 3		n
n=1	(2n +1) 3
n=1

Задание 6. Определить область сходимости функционального ряда


	n!
	n
n=1 x
Задание 7. Определить область сходимости функционального ряда
		x
32n xn sin
		2n
n=1

Задание 8. Разложить функцию f (x) = x23 в ряд Тейлора по степеням (x +1) , ука-

зать область сходимости.

Задание 9. Функцию f (x) = ln 1+ x3 разложить в ряд Маклорена, используя раз-

1+ x

ложения в ряд функций ex ,sin x,cos x , ln(x +1) , (1+ x)m , указать область сходимости.

Задание 10. Функцию f (x) = 10 1027 вычислить приближенно с точностью до 10−4

Задание 11. Вычислить предел lim		(x − 2) − ln(x −1)		, используя разложение функ-
Задание 11. Вычислить предел lim		(x − 2)	2	, используя разложение функ-
x→2			2


ций в ряд Тейлора.

Задание 12. Найти сумму ряда (2n2 + 5n + 3)xn+1
n=0
		xn+3
Задание 13. Найти сумму ряда
Задание 13. Найти сумму ряда	n(n +1)(n + 3)
n=1	n(n +1)(n + 3)
n=1

Задание 14. Получить решение дифференциального уравнения I-го порядка y'=1+ x − y2 , y(0) = 1 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

Задание 15. Получить решение дифференциального уравнения II-го порядка y''= x + e y , y(0) = 1, y'(0) = 0 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

Задание 16. Разложить функцию y = x sin 3x в ряд Фурье на интервале x (− ,

Задание 17. Разложить функцию y = x3 в ряд Фурье на интервале x (−1, 1 . Задание 18. Разложить функцию y = e3x в ряд Фурье в комплексной форме на интервале x (− 2, 2 .

Задания 19-20. Функцию y = e−2 x cos 3x представить интегралом Фурье в действительной и комплексной форме.

Вариант 9

Задание 1. Исследовать числовой ряд на сходимость:

	n		2	+ 3

					n
n=1 n3 (2		+ sin			n	)
n=1 n3 (2		+ sin				)
				2

Задание 2. Исследовать числовой ряд на сходимость

Задание 3. Исследовать числовой ряд на сходимость

	(arctgn)2

	1+ n2
n=1

Задание 4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость

(−1)n

2n +1

n=1

Задание 5. Определить область сходимости функционального ряда

	(x + 5)	2n+1

	(2n −1) 4		n
n=1

Задание 6. Определить область сходимости функционального ряда

		3n + 5
		3n + 5

		(2n + 9)5 (x + 2)2n
	n=1

Задание 7. Определить область сходимости функционального ряда

		x
	2n xn arctg

		2n +1
	n=1

Задание 8. Разложить функцию f (x) = 3x в ряд Тейлора по степеням (x +1) , указать область сходимости.

	1 − e−x2
			x 0, разложить в ряд Маклорена, исполь-
Задание 9. Функцию	f (x) =	x2 ,	x 0, разложить в ряд Маклорена, исполь-
		1,	x = 0
		1,	x = 0

зуя разложения в ряд функций ex ,sin x,cos x , ln(x +1) , (1+ x)m , указать область сходимости.

Задание 10. Функцию f (x) = 3 520 вычислить приближенно с точностью до 10−4

Задание 11. Вычислить предел lim

x sin(x − 2) − x2 + 2x

, используя разложение

(x − 2)

x→2

функций в ряд Тейлора.

Задание 12. Найти сумму ряда (n +1)(n + 2)(n + 3)

n=0

2 x

Задание 13. Найти сумму ряда

n(n + 2)

n=1

Задание 14. Получить решение дифференциального уравнения I-го порядка

y'= x2 + y2 , y(1) = 1 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

Задание 15. Получить решение дифференциального уравнения II-го порядка

y'' = −x2 y y(0) = 1, y'(0) = 0 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

Задание 16. Разложить функцию y = e3x в ряд Фурье на интервале x (− ,

Задание 17. Разложить функцию y = x e−2

в ряд Фурье на интервале x (−1,

1 .

Задание 18. Разложить функцию y = ch3x в ряд Фурье в комплексной форме на интервале x (− , .

Задания 19-20. Функцию	x sin x,		x 0,		представить инте-
	y =	0,	x (− , 0) ( ,	+ )

гралом Фурье в действительной и комплексной форме.

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]