Теория рядов задания для самостоятельного решения. Учебно-методическое пособие

Задания 19-20. Функцию

cos x,

x 0, 3

представить интегра-

y =

0,

x (− , 0) (3 ,

+ )

n

arctg (2

+ (−1)

)

n=1

ln(1+ n)

Задание 2. Исследовать числовой ряд на сходимость

n!sin

2

n

n=1

Задание 3. Исследовать числовой ряд на сходимость

ln

n

2

n=2 n

Задание 4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость

n + 3

(−1)n+1

n

2

+ 2

n=1

Задание 5. Определить область сходимости функционального ряда

n

5

(x + 5)2n+1

(n +1)!

n=1

Задание 6. Определить область сходимости функционального ряда

1

n +1 sin

2n

3

2n

n (x −5)

n=1

Задание 7. Определить область сходимости функционального ряда

ln

n

(x +1)

n

3

+ 7n

2

− 2

n=1

Задание 8. Разложить функцию f (x) =

24

в ряд Тейлора по степеням (x +1) , ука-

x5

ложения в ряд функций ex ,sin x,cos x , ln(x +1) ,

(1+ x)m , указать область сходимо-

сти.

110

ln(1+ x)

Задание 10. Интеграл

f (x) =

dx вычислить приближенно с точностью до

0

x

10−4

1

− cos

2x

, используя разложение функ-

Задание 11. Вычислить предел lim

1+ x2

x

4

x→0

ций в ряд Тейлора.

n

3

Задание 12. Найти сумму ряда (−1)n

xn

(n +1)!

n=0

31

Задание 9. Функцию

f (x) =

x2 + x +1

разложить в ряд Маклорена, используя

(x −1) (x + 2)

Задание 11. Вычислить предел lim

2 cos x + x2 − 2

, используя разложение функций

x4

x→0

в ряд Тейлора.

n

3

x

n

Задание 12. Найти сумму ряда

(n +1)!

n=0

2x

n+2

Задание 13. Найти сумму ряда (−1)n−1

n(n + 2)

n=1

arcsin

3 + (−1)n

4

2n + n

n=1

(−1)

n

n

2

+ sin

2

n

n=1

n

3

+ 2

n2

sin2 n

n=1

n

(n2

+1) ln(n2 +1)

n=1

Задание 4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость

sin 3n

3n

n=1

Задание 5. Определить область сходимости функционального ряда

n

(x − 2)n

n

2

n=1

+1

Задание 6. Определить область сходимости функционального ряда

1

(n + 2) ln(n + 2) (x −3)2n

n=1

Задание 7. Определить область сходимости функционального ряда

n

3

+ 7

n ln n (x + 2)

n=1

Задание 8. Разложить функцию f (x) =

1

в ряд Тейлора по степеням (x +1) ,

1− 4x

указать область сходимости.

Задание 9. Функцию f (x) = x2 cos x

разложить в ряд Маклорена, используя раз-

ложения в ряд функций ex ,sin x,cos x , ln(x +1) ,

(1+ x)m , указать область сходимо-

сти.

13

dx

Задание 10. Интеграл f (x) =

вычислить приближенно с точностью до

1 + x

4

0

10−4

Задание 11. Вычислить предел lim

(x −1) ex−1 − ln x

, используя разложение функ-

(x −1)

2

x→1

ций в ряд Тейлора.

Задание 12. Найти сумму ряда (2n2 + 8n + 5)xn

n=0

5 x

2n

Задание 13. Найти сумму ряда (−1)n

n=3

(n − 2)(2n +1)

Задание 16. Разложить функцию y = x cos

x

в ряд Фурье на интервале x (− ,

2

2 .

Задание 17. Разложить функцию y = e−2 x в ряд Фурье на интервале x (− 2,

Задание 18. Разложить функцию y = x sin

x

в ряд Фурье в комплексной форме

2

на интервале x (− , .

signx ch2x,

x

2

Задания 19-20. Функцию y =

представить интегралом Фурье

0,

x

2

в действительной и комплексной форме.

Вариант 22

Задание 1. Исследовать числовой ряд на сходимость:

2

+ 5

ln

n

2

+ 4

n=1

n

Задание 2. Исследовать числовой ряд на сходимость

n

(n +1)!

5

(2n)!

n=1

n

3

(−1)n

(n +1)!

n=1

n

2

(x −1)n

n3 +1

n=1

1

n2

2n (x + 2)n

n=1

n

2

− 2

2n ln n (x −1)

n=1

ex2 −1

Задание 9. Функцию

,

x 0, разложить в ряд Маклорена, исполь-

f (x) =

2x

0,

x = 0

Задание 11. Вычислить предел lim

2x ex+2

− x3 − 6x2

−10x

, используя разложение

(x + 2)

3

x→−2

функций в ряд Тейлора.

Задание 12. Найти сумму ряда (2n2 + 4n + 3)xn

n=0

8 x2n+3

Задание 13. Найти сумму ряда

(2n −1)(2n +1)(2n + 3)

n=1

в ряд Фурье на интервале x (− 2,

2 .

Задание 17. Разложить функцию y =

sh3x

Задание 18. Разложить функцию y = x ex

в ряд Фурье в комплексной форме на

интервале x (− , .

signx (4 − x2 ),

x

2

Задания 19-20. Функцию

y =

представить интегралом

0,

x

2

n

3

− 2

n

6

+ sin

2

2

n

n=1

1

n (ln 2

n + ln n)

n=2

n + 6

(−1)n

n(n + 2)(n + 3)

n=1

n ln n

(n2

−1)(x +1)n

n=2

жения в ряд функций ex ,sin x,cos x , ln(x +1) , (1+ x)m , указать область сходимости.

1

Задание 10. Интеграл f (x) = 2

sin x

dx вычислить приближенно с точностью до

0

x

10−4

Задание 11. Вычислить предел lim

x2

e−x2 + ln(1− x2 )

, используя разложение функ-

x

4

x→0

ций в ряд Тейлора.

Задание 12. Найти сумму ряда (n2 + 5n + 3)xn

n=0

x

2n

Задание 13. Найти сумму ряда

n(n +1)(n + 3)

n=1

Задание 14. Получить решение дифференциального уравнения I-го порядка

y'= x3 + y2 , y(0) =