Теория рядов задания для самостоятельного решения. Учебно-методическое пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

(e(1−i ) −1)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

(−1)

sin nx

Ответ:

f (x) ~ 1− 2

n=1

Задание 17. Разложить функцию f (x) = 2x −1 в ряд Фурье на интервале x − 2;2)

Решение. Разложение в ряд Фурье задается формулой:

f (x) ~

+ (an cos nx

+ bn sin nx ) ,

T = 4,l = 2

n=1

Найдем коэффициенты:

1 l

2 (2x −1)dx =

(

2x2

a =

f (x)dx =

− x)

= − 2

−l

−2

1 l

f (x) cos

(2x −1) cos

dx =

(

(2x −1) sin

−

sin

dx) =

2 n

−2

−l

−2

− 0) −

(−

) cos

(cos n − cos(− n)) = 0

−2

1 l

f (x)sin

dx =

(2x −1)sin

dx =

(−

(2x −1) cos

cos

dx)

−2

−l

−2

3(−1)n + 5(−1)n +

(−1)n 8

= −

3cos n − (−5) cos(− n) +

sin

= −

(0 − 0) =

2 n2

−2

(−1)

f (x) ~ −1+

sin

= −1−

sin

n=1

(−1)

Ответ:

f (x) ~ −1−

sin

n=1

Задание 18. Разложить функцию f (x) = e−x в ряд Фурье в комплексной форме на интервале x (− ; )

Решение. Разложение в ряд Фурье задается формулой:

in x

f (x) ~ Cn e

n=−

Найдем коэффициенты:

f (x) e −

in x

e−x

e−(1+in) x dx =

l dx =

e−inxdx =

−l

−

e−(1+in) x

e(1+in) − e−(1+in)

e ein − e− e−in

= −

2 (1 + in)

−

2 (1 + in)

по

формулам

Эйлера

(−1)n (e − e− )

e in

= cos n i sin n = (−1)n

2 (1 + in)

(−1)

− e

−

)

− e

−

(−1)

inx

Итак,

e−x =

e inx

2 (1+ in)

(1+ in)

n=−

e − e

−

(−1)n

e inx

Ответ:

e−x

(1+ in)

n=−

Задания 19-20. Функцию	ex ,		x 0;1	представить интегралом Фурье в дей-
	y =	0,	x 0;1

ствительной и комплексной форме Решение. Данная функция удовлетворяет условию Дирихле и абсолютно инте-

грируема, т.к. сходится несобственный интеграл: f (x) dx = ex dx = e −1, значит,

− 0

функция может быть представлена интегралом Фурье. Интеграл Фурье в действительной форме:

							A( ) cos x + B( )sin x d ,
f (x) =							A( ) cos x + B( )sin x d ,
					0
					1																								1
A( ) =					1			f (x) cos x dx, B( ) =																					1		f (x) sin x dx
A( ) =								f (x) cos x dx, B( ) =																							f (x) sin x dx
								−																						−
Найдем коэффициенты:
					1			1													1						sin x					1					1			1											1									sin x			1
								1																								1								1																							1
A( ) =								ex				cos x dx =											[ex												−					ex sin x dx] =															[ex								+
A( ) =								ex				cos x dx =											[ex												−					ex sin x dx] =															[ex								+
								0																								0								0																							0
																																					2					x sin x					+ e		x cos x
				cos x												1																							e																			1
											1			1		1															1								e											2								1
+ e			x									−		1		e		x	cos x dx] =												1																			2									=
+ e												−			2	e			cos x dx] =																										2		+ 1												=
											0					0																															+ 1											0
		1			ex																					1							e																				1
		1			ex																			1		1							e																				1
=										(cosx + sin x)														=															(cos + sin ) −																						=
=					2		+ 1			(cosx + sin x)														=								2							(cos + sin ) −													2									=
							+ 1																	0										+ 1																						+ 1
=				1						(e cos + e sin −1)

		( 2				+ 1)
					1			1												1								cos x												1		1												1								cos x
								1																										1								1
B( ) =								ex				sin x dx =										[−ex															+					ex cos x dx] =															[−ex
B( ) =								ex				sin x dx =										[−ex															+					ex cos x dx] =															[−ex
								0																										0								0
																																				2					x sin x							x cos x
				sin x												1																						e									− e										1
										1			1			1														1								e					2				− e										1
+ e			x									−	1			e	x		sin x dx] =											1													2																=
+ e							2					−			2	e			sin x dx] =																									2		+ 1													=
										0						0																														+ 1											0
		1			ex																								1						e
		1			ex																				1				1						e
=										(− cos x + sin x)																=														(− cos + sin ) +																						=
=					2		+ 1			(− cos x + sin x)																=								2		+ 1				(− cos + sin ) +																	2					=
							+ 1																		0											+ 1																							+ 1
=				1					(−e cos + esin + )

	( 2					+ 1)

где

Итак, интеграл Фурье в действительной форме:

1		1
y(x) = [				(e cos + e sin −1) cos x +

	( 2		+1)
0
1		(−e cos + esin + ) sin x]d

( 2 +1)

Интеграл Фурье в комплексной форме будем вычислять по формулам:

	1			1
f (x) =		C( ) e i x	d ,C( ) =		f (x) e	−i x	dx
				2
		−			−

						52

Вычислим коэффициент:

		1	1	−i x		1	1	(1−i ) x dx =	1	1	e(1−i )x
C( ) =		1	ex e	−i x	dx =	1	e		1	1
C( ) =		2	ex e		dx =	2	e		2	1 − i
		2	0			2	0		2	1 − i
			0				0
=	(e(1−i ) −1) (1 + i )
=	2 (1		+ 2 )
	2 (1		+ 2 )

Итак, интеграл Фурье в комплексной форме:

	1			(e(1−i ) −1) (1+ i )				i x
y(x) =							e	d
y(x) =	2	2		(1+	2	)	e	d
	2		−	(1+		)

Ответ: интеграл Фурье в действительной форме:

1		1
y(x) = [				(e cos + e sin −1) cos x +

	( 2		+1)
0
1		(−e cos + esin + ) sin x]d

( 2 +1)

Интеграл Фурье в комплексной форме:

	1			(e(1−i ) −1) (1+ i )				i x
y(x) =							e	d
y(x) =	2	2		(1+	2	)	e	d
	2		−	(1+		)

Вопросы для самопроверки:

1.Что такое числовой ряд, n-ая частичная сумма ряда, сходящийся ряд, расходящийся ряд?

2.Приведите пример сходящегося ряда, расходящегося ряда с неограниченной последовательностью частичных сумм и последовательность частичных сумм которого ограничена.

3.В чем заключается необходимое и достаточное условие сходимости числового ряда?

4.Какие свойства сходящихся числовых рядов вы знаете?

5.Если один ряд сходится, а другой расходится, что происходит с суммой этих рядов?

6.Дайте определение ряда с положительными членами.

7.Дайте определение ряда со строго положительными членами.

8.Что такое обобщённый гармонический и геометрический ряды?

9.Сформулируйте известные вам признаки сходимости знакоположительных числовых рядов.

10.Дайте определение абсолютно сходящегося ряда и ряда, сходящегося

условно.

11.Всегда ли знакочередующийся ряд сходится?

12.Сформулируйте теоремы о признаках Абеля и Дирихле.

13.Что такое степенной ряд?

14.Какие арифметические действия можно выполнять со сходящимися

рядами?

15.Является ли сходящимся рядом произведение двух условно сходящихся рядов?

16.Чем отличается интервал сходимости и область сходимости?

17.Какую функцию можно разложить в ряд Тейлора?

18.Какая функция называется периодической?

19.Что такое гармоническое колебание?

20.Чему равна амплитуда n-й гармоники четной функции?

21.Чем отличается интеграл Фурье от ряда Фурье?

Заключение

Пособие содержит краткие теоретические сведения по теории рядов, упражнения для самостоятельной работы, а также примеры решения задач. Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлениям 01.03.02 «Прикладная математика и информатика», 02.03.01 «Математика и компьютерные науки», 02.03.02 «Фундаментальная информатика и информационные технологии», 09.03.03 «Прикладная информатика», 11.03.01 «Радиотехника», 11.03.02 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи», 11.05.01 «Радиоэлектронные системы и комплексы», 38.03.05 «Бизнес-информатика» для проведения практических занятий при изучении математики в соответствии с государственными образовательными стандартами инженерных специальностей.

Список использованной литературы

1.Бояркин Г.Н., Степанов В.Н., Рыженко Л.С. Ряды Фурье. Преобразования Фурье. Интеграл Фурье: методические указания к практическим занятиям для студентов технических вузов / Г.Н. Бояркин, В.Н. Степанов, Л.С. Рыженко. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2003. – С. 35.

2.Ильин, М. Е. Ряды Фурье [Электронный ресурс] : учебное пособие / М. Е. Ильин. – Электрон. дан. и прогр. (7 Мб). – Саратов: Вузовское образование, 2019. – 157 с. – (Высшее образование). – ISBN 978-5-4487-0508-3.

3.Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: учебное пособие. В 3 т. / Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин; под ред. Л.Д. Кудрявцева. – М.: Наука, 2003.

4.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д.Т. Письменный. – М.: АЙРИС-пресс, 2021. – 608 с. – ISBN 978-5-8112- 6472-8.

5.Рояк, С. Х. Теория рядов / С. Х. Рояк. – Новосибирск: Новосибирский государственный технический университет, 2022. – 116 с. – ISBN 978-5-7782- 4626-3.

6.Трофимов, В. К. Теория рядов: Учебное пособие / В. К. Трофимов, Т. С. Мурзина, Т. Э. Захарова. – Новосибирск: Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, 2013. – 145 с.

Учебное издание

Воронин Дмитрий Владимирович, Козлова Марина Петровна

Теория рядов: задания для самостоятельного решения

Корректор А.Р. Шерстнёва

Электронное издание. Рекомендовано к публикации Редакционно-издательским советом СибГУТИ, протокол № 3 от 1 октября 2024 г.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]