Теория рядов задания для самостоятельного решения. Учебно-методическое пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Задание 17. Разложить функцию y = sin

в ряд Фурье на интервале x (− 3,3 .

Задание 18. Разложить функцию y =

в ряд Фурье в комплексной форме на

интервале x (− 2, 2 .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Вариант 10

Задание 1. Исследовать числовой ряд на сходимость:

2 + (−1)

sin

n=1

4 n3

Задание 2. Исследовать числовой ряд на сходимость

−1) 6

n=1

Задание 3. Исследовать числовой ряд на сходимость

n + 1

n=1

Задание 4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость

(−1)n+1

n ln n

n=2

Задание 5. Определить область сходимости функционального ряда

	(x	− 4)	2n−1


	(2n2	−5n) 4n
n=1

Задание 6. Определить область сходимости функционального ряда

	n	2	+1

	5n (x + 4)n
n=1

Задание 7. Определить область сходимости функционального ряда

		x
	4n x2n arctg

		2n −5
	n=1

Задание 8. Разложить функцию f (x) = ln(x +3) в ряд Тейлора по степеням (x +1) , указать область сходимости.

Задание 9. Функцию f (x) = x (ex −1) разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций ex ,sin x,cos x , ln(x +1) , (1+ x)m , указать область сходимости.

Задание 10. Интеграл f (x) =

вычислить приближенно с точностью до

1 + x4

10−4

Задание 11. Вычислить предел lim

2x ex−1 − x − x3

, используя разложение функ-

(x −

x→1

ций в ряд Тейлора.

Задание 12. Найти сумму ряда n3 xn

n=1

(−1)

2n+1

Задание 13. Найти сумму ряда

(n −1)(2n +1)

n=2

Задание 14. Получить решение дифференциального уравнения I-го порядка

y' = sin y −sin x,	y(0) = 0 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.
Задание 15. Получить решение дифференциального уравнения II-го порядка
xy''+y sin x = x	y( ) =1, y'( ) = 0 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.
	21

Задание 16. Разложить функцию y = ch2x в ряд Фурье на интервале x (− ,
Задание 17. Разложить функцию y = x cos	x	в ряд Фурье на интервале x (− 2,	2

2

Задание 18. Разложить функцию y = ex в ряд Фурье в комплексной форме на интервале x (− 2, 2 .

			sh2x	,	x		2
			sh2x	,	x		2
Задания 19-20. Функцию	y =							представить интегралом Фурье в
		0,			x	2

действительной и комплексной форме.

Вариант 11

Задание 1. Исследовать числовой ряд на сходимость:

		ln n


	n3	+ n +1
n=1

Задание 2. Исследовать числовой ряд на сходимость

(n + 2)!

n=1

Задание 3. Исследовать числовой ряд на сходимость

arctgn

n2 +1

n=1

Задание 4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость

cos n

n=1

Задание 5. Определить область сходимости функционального ряда

	(x − 2)	n
	(x − 2)
	(3n +1) 2		n
n=1	(3n +1) 2
n=1

Задание 6. Определить область сходимости функционального ряда

		sin	1
		sin	2n
			2n
	(n2	+1)(x + 3)n
n=1

Задание 7. Определить область сходимости функционального ряда

8n sin3n x

n=1 n3

Задание 8. Разложить функцию область сходимости.

f (x) в ряд Тейлора по степеням (x +1) , указать

f (x) = 1 1+ 2x

Задание 9. Функцию f (x) = cos2 x разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций ex ,sin x,cos x , ln(x +1) , (1+ x)m , указать область сходимости.

Задание 10. Интеграл f (x) = 3 1+ x2 dx вычислить приближенно с точностью до

10−4

		2x ln(1+ x) − 2x2				+ x3
Задание 11. Вычислить предел lim							, используя разложение
Задание 11. Вычислить предел lim			x	4			, используя разложение
x→0				4


функций в ряд Тейлора.

Задание 12. Найти сумму ряда (2n2 + n +1)xn
n=0			3 x
			3 x		n
Задание 13. Найти сумму ряда (−1)n
Задание 13. Найти сумму ряда (−1)n			(n −1)(n + 2)
n=	2		(n −1)(n + 2)
n=	2

Задание 14. Получить решение дифференциального уравнения I-го порядка y'= x2 − y2 , y'= x2 − y2 , в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

Задание 15. Получить решение дифференциального уравнения II-го порядка y'' = −x2 y y(0) = 0, y'(0) = 1 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

Задание 16. Разложить функцию y = sh2x в ряд Фурье на интервале x (− , Задание 17. Разложить функцию y = ex в ряд Фурье на интервале x (− 3, 3 . Задание 18. Разложить функцию y = x sin 3x, в ряд Фурье в комплексной форме на интервале x (− , .

Задания 19-20. Функцию	sin x,		x 0, 5		представить интегра-
	y =	0,	x (− , 0) (5 ,	+ )

лом Фурье в действительной и комплексной форме.

Вариант 12

Задание 1. Исследовать числовой ряд на сходимость:

1+ sin n

n2 4

n=1

Задание 2. Исследовать числовой ряд на сходимость

(n!)2

n=1

Задание 3. Исследовать числовой ряд на сходимость

	1
	1


	1+ en
n=1	1+ en

Задание 4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость

		n

(−1)n+1 ln 1	+
		3	n
n=1

Задание 5. Определить область сходимости функционального ряда

	3n
	3n		(x − 2)3n

	(5n −8)	3
n=2	(5n −8)

Задание 6. Определить область сходимости функционального ряда

		tg
		n
	(n2	+ 5n +1)(x +1)n
n=1
Задание 7. Определить область сходимости функционального ряда
			x
4n x2n arcsin

n=1		3		n

Задание 8. Разложить функцию f (x) = 3 x		в ряд Тейлора по степеням (x +1) , ука-

зать область сходимости.

Задание 9. Функцию f (x) = x ln(1+ x2 ) разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций ex ,sin x,cos x , ln(x +1) , (1+ x)m , указать область сходимости.

Задание 10. Интеграл f (x) = cos xdx вычислить приближенно с точностью до

10−4

Задание 11. Вычислить предел lim		ex2	− x sin x −1		, используя разложение функ-
Задание 11. Вычислить предел lim			x	4	, используя разложение функ-
x→0				4


ций в ряд Тейлора.

Задание 12. Найти сумму ряда (2n2 + 2n +1)xn
n=0
			3 xn+3
Задание 13. Найти сумму ряда
Задание 13. Найти сумму ряда	n(n		+ 2)(n + 3)
n=1	n(n		+ 2)(n + 3)
n=1

Задание 14. Получить решение дифференциального уравнения I-го порядка y' = x + 1y , y(0) = 1 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

Задание 15. Получить решение дифференциального уравнения II-го порядка xy''+ y'+xy = 0 , y(0) = 1, y'(0) = 0 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

		в ряд Фурье на интервале x (− ,
Задание 16. Разложить функцию y = signx e	x

Задание 17. Разложить функцию y = x e2 x в ряд Фурье на интервале x (−1,

1 .

Задание 18. Разложить функцию y = x2 в ряд Фурье в комплексной форме на интервале x (− 3;3 .

	4 − x2		,	x		2
	4 − x2		,	x		2
Задания 19-20. Функцию	y =						представить интегралом Фурье в
		0,		x	2



действительной и комплексной форме.

Вариант 13

Задание 1. Исследовать числовой ряд на сходимость:

	cos2	n

	3
	3n + 2
n=1

Задание 2. Исследовать числовой ряд на сходимость

x (− 2, 2 .

Задание

y''= xy 2 ,

(2n −1)!

n=1

Задание 3. Исследовать числовой ряд на сходимость

2n +1

n=1

Задание 4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость

n +1

(−1)n+1

+ n +1

n=1

Задание 5. Определить область сходимости функционального ряда

(x + 5)n

n=1

Задание 6. Определить область сходимости функционального ряда

(x − 4)n

n=1 sin

Задание 7. Определить область сходимости функционального ряда

16n x3n arcsin

3 n

n=1

Задание 8. Разложить функцию f (x) =

в ряд Тейлора по степеням (x +1) , ука-

зать область сходимости.

Задание 9. Функцию f (x) = 2x разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций ex ,sin x,cos x , ln(x +1) , (1+ x)m , указать область сходимости.

Задание 10. Интеграл

f (x) = cos

dx вычислить приближенно с точностью до

10−4

Задание 11. Вычислить предел lim

2x e−( x+1)

− x3 − x

, используя разложение функ-

(x +

x→−1

ций в ряд Тейлора.

(n −1)(n − 2)

Задание 12. Найти сумму ряда

n=3

2n−1

Задание 13. Найти сумму ряда

(n −1)(2n −1)

n=2

Задание 14. Получить решение дифференциального уравнения I-го порядка y'= sin(xy), y(0) =1 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

15. Получить решение дифференциального уравнения II-го порядка y(0) =1, y'(0) =1 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

Задание 16. Разложить функцию y = signx x2 в ряд Фурье на интервале x (− , Задание 17. Разложить y = x sin x функцию в ряд Фурье на интервале

Задание 18. Разложить функцию y = x e3 в ряд Фурье в комплексной форме на интервале x (− 3,3 .

sin 2x,

Задания 19-20. Функцию y =


x 0,	3		представить инте-
x (− , 0) (3		, + )	представить инте-
x (− , 0) (3		, + )

гралом Фурье в действительной и комплексной форме.

Вариант 14

Задание 1. Исследовать числовой ряд на сходимость:

(2 + cos

) n

n7 + 5

n=1

Задание 2. Исследовать числовой ряд на сходимость

(n!)

(3n)!

n=1

Задание 3. Исследовать числовой ряд на сходимость

(n3

+1) 1+ ln2 (n3 +1)

n=1

Задание 4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость

(−1)

(10n −1) ln(10n −1)

n=1

Задание 5. Определить область сходимости функционального ряда

sin

(x − 2)n

n=1

Задание 6. Определить область сходимости функционального ряда

n tg

2n (x +1)n

n=1

Задание 7. Определить область сходимости функционального ряда

cos(x + n)

n=1

Задание 8. Разложить функцию f (x) = 5x

в ряд Тейлора по степеням (x +1) , ука-

зать область сходимости.

Задание 9. Функцию f (x) =

разложить в ряд Маклорена, используя раз-

− x2

ложения в ряд функций ex ,sin x,cos x , ln(x +1) ,

(1+ x)m , указать область сходимо-

сти.

Задание 10. Интеграл f (x) = 4sin x dx вычислить приближенно с точностью до

0 x

10−4

Задание 11. Вычислить предел lim x2 − sin2 x , используя разложение функций в

x→0 x4

ряд Тейлора.

	n	2	x	n
Задание 12. Найти сумму ряда	n		x
Задание 12. Найти сумму ряда			n!
n=2			n!
n=2
	(−1)				n	3x	2n
Задание 13. Найти сумму ряда	(−1)					3x
Задание 13. Найти сумму ряда	(n +1)(2n −1)
n=1	(n +1)(2n −1)
n=1
Задание 14. Получить решение дифференциального уравнения I-го порядка
y'= x2 + y2 , y(0) = 1 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

Задание 15. Получить решение дифференциального уравнения II-го порядка y'' = xy'+2y в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

Задание 16. Разложить функцию y = x e3x в ряд Фурье на интервале x (− , Задание 17. Разложить функцию y = x sin 3x в ряд Фурье на интервале x (− 3,3 .

Задание 18. Разложить функцию y = signx chx в ряд Фурье в комплексной форме на интервале x (− , .

Задания 19-20. Функцию y = e−2 x представить интегралом Фурье в действительной и комплексной форме.

Вариант 15

Задание 1. Исследовать числовой ряд на сходимость:

ln n

n5 + n

n=1

Задание 2. Исследовать числовой ряд на сходимость

1 3 (2n −1)

3n (n +1)!

n=1

Задание 3. Исследовать числовой ряд на сходимость

n 2

n=1 e

Задание 4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость

(−1)n

n +100

n=1

Задание 5. Определить область сходимости функционального ряда

(x + 3)n

2n (n2 +1)

n=1

Задание 6. Определить область сходимости функционального ряда

n 9n

(x −1)2n

n=1

Задание 7. Определить область сходимости функционального ряда

sin 2n (2x)

3n −5

n=2

Задание 8. Разложить функцию f (x) = ln(x + 5) в ряд Тейлора по степеням (x +1) , указать область сходимости.

Задание 9. Функцию f (x) = 3 27 − x3 разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций ex ,sin x,cos x , ln(x +1) , (1+ x)m , указать область сходимости.

sin x

Задание 10. Интеграл f (x) =

вычислить приближенно с точностью до

10−4

Задание 11. Вычислить предел lim

x sin x + cos 2x −1

, используя разложение

x→0

функций в ряд Тейлора.

Задание 12. Найти сумму ряда

(−1)

n−1

Задание 13. Найти сумму ряда

n 1

n=1

n(n +1) x +

Задание 14. Получить решение дифференциального уравнения I-го порядка y' = xy3 −1, y(0) = 0 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

Задание 15. Получить решение дифференциального уравнения II-го порядка y'' = exy , y(0) = 1, y'(0) = 0 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

Задание 16. Разложить функцию y = x e2 x в ряд Фурье на интервале x (− ,

Задания 19-20. Функцию y =(x) e−2 x представить интегралом Фурье в действительной и комплексной форме.

Вариант 16

Задание 1. Исследовать числовой ряд на сходимость:

	2cos	2
	2cos
		3n
		3n

n=2	4 n4 −1

Задание 2. Исследовать числовой ряд на сходимость

nn−1

n=1

Задание 3. Исследовать числовой ряд на сходимость

arctgn

1+ n2

n=1

Задание 4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость

sin n

n2 + 2n

n=1

Задание 5. Определить область сходимости функционального ряда

(x −3)n

+1)

n=1

Задание 6. Определить область сходимости функционального ряда

n tg

n +1(x − 2)2n

n=1

Задание 7. Определить область сходимости функционального ряда

sin n 3x

n3 + 2

n=1

Задание 8. Разложить функцию f (x) =

в ряд Тейлора по степеням (x +1) ,

1+ 3x

указать область сходимости.

Задание 9. Функцию f (x) = (1+ x) ex разложить в ряд Маклорена, используя раз-

ложения в ряд функций ex ,sin x,cos x , ln(x +1) , (1+ x)m , указать область сходимости.

Задание 10. Интеграл f (x) = 1 + x3 dx вычислить приближенно с точностью до

10−4

Задание 11. Вычислить предел lim

x ex

− ln(1+ x)

, используя разложение функций

x→0

в ряд Тейлора.

Задание 12. Найти сумму ряда (−1)n

(2n +1)!

n=0

2 x2n

Задание 13. Найти сумму ряда

−1

n=2

Задание 14. Получить решение дифференциального уравнения I-го порядка y' = 1− xy, y(0) = 0 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

Задание 15. Получить решение дифференциального уравнения II-го порядка y''= 2xy'+4y , y(0) = 0, y'(0) = 1 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

Задание 16. Разложить y = x3 функцию в ряд Фурье на интервале x (− ,
Задание 17. Разложить функцию y = sh2x в ряд Фурье на интервале x (− 2,	2 .

Задание 18. Разложить функцию y = e−2 x в ряд Фурье в комплексной форме на интервале x (− 2, 2 .

Задания 19-20. Функцию y = x e−2 x представить интегралом Фурье в действительной и комплексной форме.

Вариант 17

Задание 1. Исследовать числовой ряд на сходимость:

3 + (−1)n

2n+2

n=1

Задание 2. Исследовать числовой ряд на сходимость

			(n!)	2
			(n!)

	(3	n	+1)(2n)!
n=1	(3		+1)(2n)!

Задание 3. Исследовать числовой ряд на сходимость

e n

n=1

Задание 4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость

		1
	(−1)n tg
		n
	n=1

Задание 5. Определить область сходимости функционального ряда

(x + 2)n2

n=1

Задание 6. Определить область сходимости функционального ряда

				n	3	+ 2

		(n +1)(x + 7)n
n=1
Задание 7. Определить область сходимости функционального ряда
			n

	3		2
	3			tg n (2x)
	2		+1	tg n (2x)
n=1 n			+1
Задание 8. Разложить функцию f (x) = 4	3x + 4					в ряд Тейлора по степеням (x +1) ,

указать область сходимости.

Задание 9. Функцию f (x) = ln(1− x2 ) разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций ex ,sin x,cos x , ln(x +1) , (1+ x)m , указать область сходимости.

Задание 10. Интеграл f (x) = e−x2 dx вычислить приближенно с точностью до 10−4

Задание 11. Вычислить предел lim

ln(1+ x) + e−x −1

, используя разложение функ-

x→0

ций в ряд Тейлора.

Задание 12. Найти сумму ряда

(2n +1)!

n=0

xn+1

Задание 13. Найти сумму ряда (−1)n−1

n(n +1)

n=1

Задание 14. Получить решение дифференциального уравнения I-го порядка

y'= x + x2 + y2 , y(0) =1 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

Задание 15. Получить решение дифференциального уравнения II-го порядка

y''= −y cos x , y(0) =1, y'(0) = 0 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

Задание 16. Разложить функцию y = ex

в ряд Фурье на интервале x (− ,

Задание 17. Разложить функцию y =

cos x в ряд Фурье на интервале x (−1,

Задание 18. Разложить функцию y = x3

в ряд Фурье в комплексной форме на

интервале x (− 2, 2 .

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]