Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория рядов задания для самостоятельного решения. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Задание 15. Получить решение дифференциального уравнения II-го порядка y''+xy'+ y = 0 , y(0) = 0, y'(0) = 1 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

Задание 16. Разложить функцию y = x cos x в ряд Фурье на интервале x (− , Задание 17. Разложить функцию y = signx ch3x в ряд Фурье на интервале

x (− 2, 2 .

Задание 18. Разложить функцию y = e 3 интервале x (− 3, 3 .


	x cos x,
Задания 19-20. Функцию	y =
		0,

в ряд Фурье в комплексной форме на

2 представить интегралом Фурье в x

действительной и комплексной форме.

Решение типового варианта задания

Задание 1. Исследовать числовой ряд на сходимость

sin n

2 +1

n=1

Решение. Общий член ряда a

sin n

;

– обобщенный гармониче-

n2 +1 n2 +1 n2

ский ряд, = 2 1, значит, ряд сходится.

Согласно первому признаку сравнения исследуемый ряд сходится вместе с

Ответ: ряд сходится.

Задание2. Исследовать числовой ряд на сходимость

sin n

n=1

Решение. Общий член ряда a

sin n

;

– обобщенный гармониче-

n2 +1 n2 +1 n2

ский ряд, = 2 1, значит, ряд сходится.

Согласно первому признаку сравнения исследуемый ряд сходится вместе с

Ответ: ряд сходится.

Задание 3. Исследовать числовой ряд на сходимость

ln n (ln ln n)

n=3

Решение. Члены знакоположительного ряда могут быть представлены как чис-

ловые значения непрерывно убывающей на 3;+ )функции

f (x) =

x ln x (ln ln x)2

d ln x

+ d ln ln x

= −

= 0 −

−

= −

– не-

x ln x (ln ln x)2

ln x (ln ln x)2

3 (ln ln x)2

ln ln x

ln ln 3

собственный интеграл сходится, значит, ряд сходится по интегральному признаку Коши.

Ответ: ряд сходится.

Задание 4. Исследовать числовой ряд на абсолютную и условную сходимость

(−1)n+1

2n −1

n=1

Решение. Данный ряд знакочередующийся, будем исследовать по признаку Лейбница:

1)	lim		1		= 0 , т.е. члены ряда убывают по абсолютному значению.

			2n −1
	n→
2)	1			−	1		=	2n + 2 −1− 2n +1			=	2		,

		2n −1 2(n +1) −1						(2n −1)(2n +1)				4n2 −1
					2		1				1
n 1, значит							0						, значит, убывание монотонно.
						4n2 −1			2n −1	2(n +1) −1

Оба условия выполнены, значит, ряд сходится по признаку Лейбница.

Для того, чтобы определить сходится ряд абсолютно или условно, исследуем

			1
ряд, составленный из модулей:	an	=
			2n −1
n=1		n=1
		42

Воспользуемся предельным признаком сравнения:

lim

2n −1

= lim

0 конечное число, отличное от

2n −1

2 − 1

n→

нуля, значит, ряд, составленный из модулей, расходится вместе с гармоническим рядом.

Делаем вывод, что исследуемый ряд сходится условно.

Ответ: ряд сходится условно.

2n (x − 2)n

Задание 5. Определить область сходимости функционального ряда

n=1 n

Решение. Найдем интервал сходимости ряда с помощью признака Даламбера:

2n+1 (x − 2)n+1

2n 2 (x − 2)n (x − 2)

lim

Un+1(x)

= lim

n +1

= lim

n +1

= lim

2n(x − 2)

Un (x)

(x − 2)

(x −

n +1

n→

2n(x − 2)

= lim

= 2

x − 2

lim

= 2

x − 2

lim

= 2

x − 2

n +1

n→

n +1

n→ 1+ 1

Ряд сходится при

x − 2

Исследуем поведение на концах интервала:

1) При x =

2n (

− 2)n

2n (−

(−1)

n=1

Получили знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница:

–

lim

= 0 – члены ряда убывают по абсолютному значению.

n→

–

– убывание монотонно.

n +1

Значит, ряд сходится по признаку Лейбница.

Исследуем ряд, составленный из модулей:

– гармонический ряд, расходится. Значит, в точке

x =

ряд схо-

n=1

дится условно.

2) При x =				5
2) При x =				2
				2
	2n (	5	− 2)n			2n (		1	)n
	2n (		− 2)n			2n (			)n
		2			=		2
		2					2
n=1		n			n=1		n
n=1					n=1

=n – расходящийся гармонический ряд.n=1

Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда 32 x 52 , при x = 32 ряд сходится условно.

Задание			6. Определить область сходимости функционального ряда
	(−1)	n
				, x −2

	n (x +	2)	2n
n=1

Решение. Найдем интервал сходимости ряда с помощью признака Даламбера:

lim

n+1

(x)

= lim

(n +1) (x + 2)2(n+1)

= lim

(n +1) (x + 2)2n (x + 2)2

Un (x)

n→

n (x + 2)2n

lim

+ 2)

n→

n +1 (x +

Ряд сходится при

1 (x +1)2

x + 2

(x +

2)2

Ряд сходится при x (−;−3) (−1;+) .

Исследуем поведение на концах интервала:

1) При x = −3

(−1)

– знакочередующийся ряд исследуем по признаку Лейб-

(−3 + 2)

n=1

ница.

–

lim

= 0 – члены ряда убывают по абсолютному значению.

n→

–

– убывание монотонно.

n +

Значит, ряд сходится по признаку Лейбница.

Исследуем ряд, составленный из модулей:

– гармонический ряд, расходится. Значит, в точке x = −3 ряд схо-

n=1

дится условно.

2) Аналогично получаем, что в точке x = −1 ряд сходится условно.

Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда x (−;−3] [−1;+) , при x = −3, x = −1 ряд сходится условно.

Задание 7. Определить область сходимости функционального ряда

		1


	n3	(1 − cos 2x)n
n =1

Решение. Функция, образующая ряд, определена при 1− cos 2x 0 x k, k Z Найдем интервал сходимости ряда с помощью признака Даламбера:

x (0;+)

n3 (1 − cos 2x)n

lim

n +1

(x)

= lim

(n + 1)3 (1 − cos 2x)(n +1)

= lim

Un (x)

(n + 1)

(1 − cos 2x)

n→

n3 (1 − cos 2x)n

lim

1 − cos 2x

(n + 1)

1 − cos 2x

n→

Т.к. 0 1− cos 2x 2 , то

, значит, ряд сходится при

1 − cos 2x

cos 2x

−1 0

1 − cos 2x

1− cos 2x 0 , значит, ряд сходится при cos 2x 0

+ m x

+ m, m Z .

Исследуем поведение на концах интервала:

1) При x = + m

– знакоположительный ряд исследуем по инте-

(1 − cos 2(

n =1 n3

+ m))n

n =1

гральному признаку Коши:

члены знакоположительного ряда могут быть представлены как числовые значе-

ния непрерывно убывающей при x 1

функции f (x) =

+ dx

−1

0 −

−

– несобственный интеграл сходится, значит, ряд схо-

1 x3

2x2

дится по интегральному признаку Коши.

2) При x =

+ m

– сходится.

n =1 n3

(1 − cos 2(

+ m))n

n =1 n

Ответ:

область

сходимости

исследуемого

степенного

ряда

+ m;

+ m , m Z.

Задание 8. Разложить функцию f (x) = ln x в ряд Тейлора по степеням (x +1) , указать область сходимости.

Решение. Функция f (x) = ln x непрерывна и бесконечно дифференцируема при

. Найдем значение функции и её производные в т. x = 1

ln x

x =1 = 0;

(ln x)'=

x =1 = 1;

(ln x)''= −

x =1 = −1;

(ln x)'''=

1 2

x =1 = 2;

(ln x)

(4)

1 2 3

= −6;

= −

x =1

...

(ln x)(n) =

(−1)n +1 (n −1)!

x =1

= (−1)n +1

(n −1)!;

По

формуле

Тейлора:

f '(x )

(x − x ) +

f ''(x )

(x − x )2 +

(n) (x )

− x )n , получаем:

f (x) = f (x ) +

... +

(−1)

n+1

(n −1)!

(−1)

n+1

ln(x −1) =

(x −1)n

n=1

(−1)

n+1

Найдём область сходимости полученного ряда

(x −1)n с помощью при-

n=1

знака Даламбера:

(−1)n + 2 (x −1)n +1

lim

Un +1 (x)

= lim

n +1

x −1

lim

x −1

Un (x)

(−1)

n +1

(x −

n +1

n→

→

n→

Ряд сходится при x −1 1 −1 x −1 1, значит, интервал сходимости получен-

ного ряда:

0 x 2 .

Исследуем поведение на концах интервала:

(−1)

n+1

(−1)

n+1+n

1) При x = 0

(0 −1)n =

n=1

монический ряд.

(−1)

n+1

(−1)

n+1

2) При

x = 2

(2 −1)n =

n=1

следуем по признаку Лейбница.

	(−1)	2n+1		1
=			=(−1)		– расходящийся гар-
	n			n
n=1			n=1

– знакочередующийся числовой ряд, ис-

–	lim	a		=	lim	1	= 0 – члены ряда убывают по абсолютному значению.


		n				n
	n→				n→
–	1		1	– убывание монотонно.

	n +1		n

Значит, ряд сходится по признаку Лейбница. Исследуем ряд, составленный из модулей:

					1
	an		=				– гармонический ряд, расходится. Значит, в точке x = 2 ряд схо-


					n
n=1			n=1
дится условно.
				n+1
Ответ:		(−1)				(x −1)n		сходится x (0;2 ., в т. x = 2 ряд сходится условно.

n=1			n

Задание 9. Функцию								f (x) = 3x3 разложить в ряд Маклорена, используя разложе-

ние в ряд функций ex ,sin x,cos x , ln(x +1) , (1+ x)m , указать область сходимости. Решение. Преобразуем заданное выражение используя основное логарифмическое тождество:

f (x) = 3x3 = eln 3x3 = ex3 ln 3

Воспользуемся разложением ex

= 1 + x +

+ ... +

+ ... =

n=0

Подставим вместо аргумента x выражение x3 ln 3

ln 3)

3 x

ex3 ln 3 = 1 + x3 ln 3 +

+ ... +

+ ... =

n=0

Вычислим область сходимости полученного ряда с помощью признака Даламбера:

n+1

(x)

lnn+1 3 x3(n+1)

lim

= lim

lim

n→

Un (x)

n→

(n + 1)!

n→

Выполняется при любых значениях x , значит,

	ln 3		= 0 1
	n + 1		= 0 1
	n + 1

ряд сходится при x (−;+) .

			n		x	3n
Ответ: ex3	ln 3 =	ln		3	x		, ряд сходится при x (−;+) .
Ответ: ex3	ln 3 =			n!			, ряд сходится при x (−;+) .
	n=0			n!
	n=0

Задание 10. Функцию f (x) = 3 10 вычислить приближенно с точностью до 10−4 Решение. Преобразуем заданное выражение, чтобы воспользоваться биноминальным разложением (биноминальный ряд сходится на интервале (−1;1) .

3 10 = 3 8 108 = 2 3 1 + 82 = 2 3 1 + 0,25 = 2 (1 + 0,25) 13

Воспользуемся разложением биноминального ряда при x = 0.25, = 1

=1 + x

( −1)

( −1)( − 2)

+ ...+

( −1)...( − n +1)

+ ...

(1 + x)

−1

− 2

3 3

10 = 2

(1 + 0,25)

(1 +

0,25 +

0,25

2,1528 2,153

Ответ: 3 10 2,153

Задание 11. Вычислить предел lim

sin x − x

, используя разложение функций в ряд

x→0 x

Тейлора

Решение. Воспользуемся разложением в ряд Маклорена для функции sin x при n = 2 :

sin x = x −	x3	+	x5	−	x7	+ ...+ (−1)n −1	x2n −1	+ ..., − x +

3!		5!		7!			(2n −1)!

x −

+ o(x4 ) − x

lim

sin x − x

= lim

x→0

Ответ: lim

sin x − x

= −

x→0

= lim −

→ x 0

o(x4 )

= −

+ lim

= −

+ 0 = −

x→0

Задание12. Найти сумму ряда

n =1 n

Решение. Для степенного ряда

= S(x) найдем радиус сходимости:

n =1

= lim

n + 1

R = lim

= 1, тогда интервал сходимости −1 x 1.

x→

x→ n

n + 1

Согласно теореме о том, что если ряд имеет радиус сходимости R 0 , то в интер-


вале сходимости (−R; R) функция	S(x) = an xn	имеет производные любого по-
	n=1

рядка, получаемые почленным дифференцированием ряда, причем радиус сходимости полученных рядов также равны R .

Почленно продифференцируем исходный ряд:

	сумма
S '(x) = 1+ x + x2 +... + xn +... =	бесконечной	=	a0	=	1
S '(x) = 1+ x + x2 +... + xn +... =	г еометрической	=	− q0	=	− x
	г еометрической	1	− q0	1	− x
	прог рессии

Чтобы получить сумму исходного ряда, проинтегрируем полученную функцию:

S(x) = S'(x)dx =

= −ln

1 − x

= ln

− x

Ответ: сумма ряда

= ln

при x (−1;1)

n =1 n

− x

Задание 13. Найти сумму ряда (n +1) xn

n=0

Решение. Для степенного ряда S(x) = (n +1) xn найдем радиус сходимости:

n=0

R = lim	n + 1	= 1, тогда интервал сходимости −1 x 1.
R = lim		= 1, тогда интервал сходимости −1 x 1.
x→ n + 2
Согласно теореме о том, что если ряд имеет радиус сходимости R 0 , то в интер-

вале сходимости (−R; R) функцию S(x) = an xn				можно интегрировать, причем
			n=1
		x	x	n		an xn+1
						=			. Радиус схо-
для любого x (−R; R) справедливо: S(t)dt = an t					dt	=	n	+1	. Радиус схо-
0			n=0 0			n=0	n	+1
0			n=0 0			n=0

димости полученного ряда равен R .

t n+1

= (n +1) t dt =

(n +1)

= x =

S (t)dt =

(n +1) t dt

n=0

Проинтегрируем

сумма

= x + x2 + ... + xn + ... =

бесконечной

= x

г еометрической

− q0

− x

прог рессии

Чтобы получить сумму исходного ряда, найдем производную полученной функции:

(1− x) + x

S(x) =

1− x

(1− x)2

− x)2

Ответ: сумма ряда (n +1) xn =

при x (−1;1) .

− x)

n=0

Задание 14. Получить решение дифференциального уравнения I-го порядка в виде степенного ряда или ряда Тейлора: y'= −2y, y(0) = 2

Решение. Разложим функцию в ряд Маклорена:

y(x) = y(0) +	y'(0)	x +	y''(0)	x2	+ ... +	y(n) (0)	xn + ...
	1!		2!			n!

Из начальных условий: y'(0) = −2 2 = −4

y''(0) = ( y')'= −2 y'

= −2 (−4) = 8

x=0

y'''(0) = ( y'')'= (−2 y')'= −2 y''

= −2 8 = −16

x=0

y(x) 2 −

x +

x2 −

x3 + ... = 2 − 4x + 4x2

−

+ ...

Ответ: y(x) 2 − 4x + 4x2 − 83 x3 + ...

Задание 15. Получить решение дифференциального уравнения II-го порядка в виде степенного ряда или ряда Тейлора: y''+xy'+ y = x cos x, y(0) = 0, y'(0) = 1 Решение. Разложим коэффициенты уравнения в ряды:

p1(x) = x, p2 (x) = 1

	x2		x4		(−1)	2n+1 xn
x cos x = x(1−		+		... +			+ ...)
x cos x = x(1−		+		... +			+ ...)
	2!		4!			n!

Найдем решение уравнения в виде ряда:

y(x) =C0+C1 x +C2 x2 + ... + Cn xn + ...

y'(x) =C1+2 C2 x + ... + n Cn xn−1 + ...

y''(x) = 2 C2+2 3C3 x + 3 4 C4 x2 + ...

Из начальных условий: С0 = 0,C1= 1

Подставим полученные ряды в дифференциальное уравнение:

(2 C

+2 3 C x + 3 4 C

x2 + ...) + x (C +2 C

x + 4 C

x3 + ...) +

+ (C

+C x +C

x2 + C x3

+ ...) = x (1−

−

+ ...)

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x :

x0 : 2C

= 0

x1 : 2 3 C3+2 = 1

x2 : 3 4 C

+2 C

+ C

= 0

x3 : 4 5 C

+3 C + C = −

x4 : 5 6 C

+4 C

+ C

= 0

...

Находим: C

= C = C = ... = 0, C

= −

, C

= −

, C

= −

Получаем решение уравнения в виде:

y = x −

−

+ ... = sin x

Ответ: y = x −

−

+ ... = sin x

Задание 16. Разложить функцию f (x) = x +1 в ряд Фурье на интервале x (− ,

Решение. Разложение в ряд Фурье задается формулой:

f (x) ~

+ (an cos nx + bn sin nx)

n=1

Найдем коэффициенты:

(− )2

a =

f (x)dx =

(x +

1)dx =

+ x

+ − (

− )

2 = 2

−

f (x) cos nx dx =

(x +1) cos nx dx =

(x +1)

sin nx

−

sin nx dx =

1 1

−

[( +1) sin n − (− +1) sin(− n)] −

−

cos nx

−

[0 − 0] −

(cos n − cos(− n)) =

(cos n − cos n) = 0

f (x) sin nx dx =

(x +1) sin nx dx =

−

(x +1) cos nx

cos nx dx =

−

n −

−

[( +1) cos n − (− +1) cos(− n)] +

sin nx

([ +1] (−1)n −[− +1] (−1)n )+

−

2 (−1)n + 0 = −

2(−1)n

= −

(sin n − sin(− n)) = −

2(−1)

(−1)

sin nx

f (x) ~ 1+ −

sin nx = 1− 2

n=1

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]