Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория рядов задания для самостоятельного решения. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Министерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики» (СибГУТИ)

Д. В. Воронин, М. П. Козлова

Теория рядов: задания для самостоятельного решения

Учебно-методическое пособие

Новосибирск

2024

УДК 517.5(075.8)

Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ

Рецензент доцент кафедры высшей математики НГУ канд. физ.-мат. наук Н.В. Дементьева

Воронин, Д. В. Теория рядов: задания для самостоятельного решения : учебно-методическое пособие / Д. В. Воронин, М. П. Козлова ; Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, кафедра высшей математики. – Новосибирск, 2024. – 56 с.

Пособие содержит краткие теоретические сведения по теории рядов, упражнения для самостоятельной работы, а также примеры решения задач. Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлениям 01.03.02 «Прикладная математика и информатика», 02.03.01 «Математика и компьютерные науки», 02.03.02 «Фундаментальная информатика и информационные технологии», 09.03.03 «Прикладная информатика», 11.03.01 «Радиотехника», 11.03.02 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи», 11.05.01 «Радиоэлектронные системы и комплексы», 38.03.05 «Бизнес-информатика» для проведения практических занятий при изучении математики в соответствии с государственными образовательными стандартами инженерных специальностей.

©Воронин Д.В., Козлова М.П., 2024

©Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, 2024

	Оглавление
Введение.............................................................................................................................................	4
Краткая теоретическая справка ...................................................................................................	5
Вариант 1 .........................................................................................................................................	10
Вариант 2 .........................................................................................................................................	11
Вариант 3 .........................................................................................................................................	12
Вариант 4 .........................................................................................................................................	13
Вариант 5 .........................................................................................................................................	14
Вариант 6 .........................................................................................................................................	16
Вариант 7 .........................................................................................................................................	17
Вариант 8 .........................................................................................................................................	18
Вариант 9 .........................................................................................................................................	19
Вариант 10 .......................................................................................................................................	21
Вариант 11 .......................................................................................................................................	22
Вариант 12 .......................................................................................................................................	23
Вариант 13 .......................................................................................................................................	24
Вариант 14 .......................................................................................................................................	26
Вариант 15 .......................................................................................................................................	27
Вариант 16 .......................................................................................................................................	28
Вариант 17 .......................................................................................................................................	29
Вариант 18 .......................................................................................................................................	31
Вариант 19 .......................................................................................................................................	32
Вариант 20 .......................................................................................................................................	33
Вариант 21 .......................................................................................................................................	34
Вариант 22 .......................................................................................................................................	36
Вариант 23 .......................................................................................................................................	37
Вариант 24 .......................................................................................................................................	38
Вариант 25 .......................................................................................................................................	40
Решение типового варианта задания .........................................................................................	42
Вопросы для самопроверки .............................................................................................	............ 54
Заключение......................................................................................................................................	55
Список использованной литературы.........................................................................................	55

Введение

Учебно-методическое пособие представляет собой сборник заданий для Рас- четно-графической работы, входящей в учебный план дисциплин «Математика», «Высшая математика» студентов Сибирского государственного университета телекоммуникаций и информатики. Задания могут использоваться для проведения практических занятий. Представленный материал охватывает следующие разделы теории рядов:

-знакоположительные и знакопеременные числовые ряды;

-функциональные ряды, в том числе степенные;

-ряды Тейлора и Маклорена;

-приближенные вычисления значений функций;

-вычисление пределов;

-решение дифференциальных уравнений I и II порядков;

-ряды Фурье в действительной и комплексной форме;

-интеграл Фурье.

В пособии представлены краткие теоретические сведения и подробный разбор решения типового варианта задания.

При выполнении расчетно-графической работы студенты должны показать владение теоретическим материалом и умение решать практические задачи.

Краткая теоретическая справка Числовые ряды. Признаки сходимости знакоположительных рядов.

Числовым рядом называется выражение вида

u1 + u2 + ...+ un + ...= un , n N .

n =1

Действительные или комплексные числа u1,u2 ,...,un – члены ряда. un = f (n) –

общий член ряда.

Сумма первых n членов ряда Sn = u1 + u2 + ...+ un называется n -ой частичной

суммой ряда. Суммой ряда называется предел последовательности частичных

сумм S = lim Sn , если существует, то ряд называется сходящимся. Если

n→

lim Sn = или не существует, ряд называется расходящимся.

n→

Необходимый признак сходимости Если числовой ряд сходится, то его общий

член un стремится к нулю lim un = 0. Достаточное условие расходимости Если

n→

lim un 0 или этот предел не существует, то ряд расходится.

n→

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов (un 0 ).

1.	Первый признак сравнения. Пусть даны два знакоположительных ряда

un	и vn . Если, начиная с некоторого номера N , для всех n N выполняется
n=1	n =1

неравенство un vn , то из сходимости ряда vn следует сходимость ряда									un ,
				n =1					n=1

а из расходимости ряда		un следует расходимость ряда vn .
		n=1				n =1

2.	Второй (предельный) признак сравнения. Если для рядов un						и		vn
						n=1			n =1
существует конечный,		отличный от нуля, положительный предел lim						an		= l,
существует конечный,		отличный от нуля, положительный предел lim								= l,
						n→ bn

0 l , то ряды un		и vn сходятся или расходятся одновременно.
	n=1	n =1
3.	Признак Даламбера. Пусть lim		un +1	= l . Тогда при l 1 ряд сходится, при
3.	Признак Даламбера. Пусть lim			= l . Тогда при l 1 ряд сходится, при
		n→	un
l 1 - расходится, при l =1 требуется дополнительное исследование.

4.	Радикальный признак Коши. Пусть n				uk	= l . Тогда при l 1 ряд сходится,
при l 1 - расходится, при l =1 требуется дополнительное исследование.

5. Интегральный признак Коши. Если f (x) при x 1- непрерывная, поло-

жительная и монотонно убывающая функция, то ряд un , где un = f (n) , и не-

n=1

собственный интеграл f (x)dx сходятся или расходятся одновременно.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Ряд, содержащий бесконечно много как положительных, так и отрицательных членов, называется знакопеременным. Частный случай знакопеременного ряда

– знакочередующийся ряд, знаки членов которого чередуются.

Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов. Если сходится


ряд		un		, составленный из модулей знакопеременного ряда		un , то исходный
	n =1					n=1

ряд	un		также сходится. В этом случае ряд		un называется абсолютно сходя-
	n=1				n=1

щимся. Если знакопеременный ряд un сходится, а ряд из модулей								un	рас-
				n=1			n =1

ходится, ряд un называется условно сходящимся.

n=1

Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница).

+ u

+ ...+ (−1)n u

Знакочередующийся ряд u

− u

+ ...= (−1)n +1u

n =1

un 0 для всех n N , сходится, если

члены ряда убывают по абсолютному значению: u1 u2

u3 ... un ...,

общий член ряда стремится к нулю:

lim

un = 0 .

n→

При этом сумма ряда S удовлетворяет неравенству 0 < S < u1 .

Степенные ряды. Радиус сходимости.

Ряд, все члены которого un (x) являются функциями некоторой переменной

где

x ,

	u1(x) + u2 (x) + ...+ un (x) + ...=
называется функциональным:	u1(x) + u2 (x) + ...+ un (x) + ...=	un (x) . Совокуп-
		n =1

ность значений x , при которых ряд un (x) сходится, называется областью схо-

n=1

димости функционального ряда.

Степенным

рядом

называется

функциональный

ряд

вида

+ a x + a

+ ...+ a

xn + ...= a

или

n =0

(x − x )2 + ...+ a

(x − x )n + ...=

(x − x )n .

+ a (x − x ) + a

n =0

Теорема Абеля.

1) Если степенной ряд

a xn

сходится в точке x

, то он абсолютно сходится в

n=0

каждой точке x , для которой

x = x , то он расхо-

2) Если степенной ряд

a xn расходится при некотором

n=0

дится при всех значениях x , для которых

Областью сходимости степенного ряда

a xn называется интервал (-R, R), сим-

n=0

метричный относительно точки x = 0 . Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, а интервал (-R, R) – интервалом сходимости. В граничных точках этого интервала требуется проверка сходимости.

Ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в степенной ряд.

Всякая функция f (x), бесконечно дифференцируемая в окрестности точки xo ,

f (xo )

f (n)

(xo )

f (x) = f (xo ) + f (xo )(x − xo ) +

(x − xo )

+ ...

(x − xo )

+ Rn (x),

если

выполняется

условие

для

остаточного

члена

в форме

Лагранжа:

lim Rn (x) = lim

f (n +1) (c)

(x − xo )n +1

=0, c (xo , x) .

n→

→

(n +1)!

Ряд Тейлора, в котором xo = 0 , называется рядом Маклорена.

Ряд Маклорена основных элементарных функций.

ex = 1 + x +

+ ... +

+ ..., − x + ;

sin x = x −

−

+ ...+ (−1)n −1

x2n −1

+ ..., − x +

(2n −1)!

cos x =1 −

−

+ ...+ (−1)n −1

x2n

+ ..., − x +

(2n)!

может быть разложена в ней в сходящийся к этой функции степенной ряд Тей-

лора

ln(1 + x) = x −

−

+ ...+ (−1)n −1

+ ..., −1 x 1

(1 + x)

=1 + x

( −1)

( −1)( − 2)

+ ...+

( −1)...( − n +1)

+ ...

−1 x 1, если

0 ;

−1 x 1, если −1 0 ;

−1 x 1, если −1.

Ряды Фурье.

Рядом Фурье, или тригонометрическим рядом, называется функциональный ряд вида

ao
	+ an cos nx + bn sin nx	с действительными коэффициентами ao ,an ,bn (n =1,2,...).
2
	n =1

Теорема Дирихле. Если периодическая функция f (x) с периодом 2 , заданная на отрезке [− , ], удовлетворяет двум условиям:

1) f (x) кусочно-непрерывна, то есть непрерывна или имеет конечное число раз-

рывов I рода;

2) f (x) кусочно-монотонна, т.е. монотонная на всем отрезке, либо этот отрезок

можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна.

Тогда		f (x)			может быть представлена на отрезке [− , ] рядом Фурье:
f (x) =			ao	+			cosnx + b sin nx ,
					a	n

		2			n =1				n

где коэффициенты ao , an ,bn вычисляются по формулам:
	1							1		1
ao =			f (x)dx ,				an =		f (x)cosnx dx , bn =		f (x)sin nx dx .

		−							−		−

В точках непрерывности функции сумма ряда S(x) совпадает с самой функций. В

каждой точке	xo	разрыва функции сумма ряда равна S(xo ) =	f (xo − 0) + f (xo + 0)
			2

, то есть среднему арифметическому значений пределов функции слева и справа. На концах отрезка

[− , ] сумма ряда одинакова и равна	S(− ) = S( ) =	f (− + 0) + f ( − 0)	.
		2

Разложение четных и нечетных функций (неполные ряды Фурье).

Разложение четной функции содержит только члены с косинусами:

	ao			2		2
f (x) =		+	an cosnx ; ao =		f (x)dx ; an =		f (x)cosnx dx ; bn = 0 .

2			n =1		0		0

Разложение нечетной функции содержит только члены с синусами:

f (x) =

bn sin nx : bn =

f (x)sin nx dx ; ao = an = 0.

n =1

Для функции f (x) ,

заданной на отрезке [−l,l] с произвольным периодом T = 2l ,

разложение в ряд Фурье имеет вид:

f (x) =

n x

+ b

n x

cos

sin

, где

n =1

ao =

1 l

an =

1 l

n x

dx ; bn =

1 l

n x

f (x)dx ;

f (x)cos

f (x)sin

dx .

l −l

Для непериодической функции, заданной в произвольном промежутке (0,l) , удо-

влетворяющей в этом промежутке условиям теоремы Дирихле, ее доопределяют, продолжая на смежный интервал (−l,0) (обычно четным или нечетным образом),

и строят разложение в ряд Фурье для новой функции (x) с периодом T = 2l . В интервале (0,l) этот ряд будет иметь суммой f (x) – это и будет искомое разложение.

Вариант 1

Задание 1. Исследовать числовой ряд на сходимость:

sin

(n n)

n=1

(n n)

Задание 2. Исследовать числовой ряд на сходимость

n +1

2n (n −1)!

n=2

Задание 3. Исследовать числовой ряд на сходимость

− n

n=1

Задание 4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость

		n + 2
(−1)n+1		n + 2

	n	3	+ 6
n=1	n		+ 6
n=1

Задание 5. Определить область сходимости функционального ряда

	2n + 3
		(x + 3)n
	2
n=1	(n + 2)

Задание 6. Определить область сходимости функционального ряда

	3	n
	3

	n(n +1)(x + 3)		n
n=1	n(n +1)(x + 3)

Задание 7. Определить область сходимости функционального ряда

3 x2n cos(x + n)

n=1 n +1

Задание 8. Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора по степеням (x +1) , указать область сходимости.

f (x) = 1−1 x

Задание 9. Функцию f (x) разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций ex ,sin x,cos x , ln(x +1) , (1+ x)m , указать область сходимости.

f (x) =	1

	(x +1)3

Задание 10. Функцию f (x) = ln1,1вычислить приближенно с точностью до 10−4

Задание 11. Вычислить предел lim ex2 −1− x2 , используя разложение функций в

x→0 x4

ряд Тейлора.


Задание 12. Найти сумму ряда (n +1)(n + 2)xn
n=0	2 x
	2 x	n
Задание 13. Найти сумму ряда
Задание 13. Найти сумму ряда	n(n +1)(n + 2)
n=1	n(n +1)(n + 2)
n=1

Задание 14. Получить решение дифференциального уравнения I-го порядка y' = xy +1 в виде степенного ряда или ряда Тейлора.

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]