Теория вероятностей. Учебно-методическое пособие к практическим занятиям для студентов 2 курса специальностей ТКТ и ТСС
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
= |
|
− условный моментпервогопорядка; |
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
= |
1 |
+ 2 2 |
− условный моментвторогопорядка; |
|
|||||||||||||||||
|
= − 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
+ 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
, , 1 |
, 2 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
формулах |
|
|
|
|
|
|
|
суммы накопленных частот |
||||||||||||||
В = |
|
+ . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
расположенными в столбцах, |
|
) и |
над ( |
1 |
, |
2 |
) |
|||||||||||||||
соответственно |
под |
( |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1, 2, 1, 2 |
− |
|
|
|
|
|
нулями. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
накопленные частоты. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Таким образом, в конечном счете, надо вычислить числа
ЗАДАЧИ
1. Из генеральной совокупности извлечена выборка:
81
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
6 |
|
26 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
10 |
|
2 |
|
|
|
||||
Найти несмещенную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
оценку генеральной средней. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
2. |
По |
выборке |
объема |
|
|
|
|
|
найдена |
|
|
смещенная |
||||||||||||||
оценка |
генеральной |
дисперсии |
|
равная |
5. |
Найти |
||||||||||||||||||||
|
|
= 41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
несмещенную |
оценку |
дисперсии |
генеральной |
|||||||||||||||||||||||
совокупности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
Ниже приведены |
|
результаты |
измерения |
роста |
|||||||||||||||||||||
(в сантиметрах) случайно отобранных 100 студентов: |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
рост |
154 158 |
|
|
158 |
|
|
|
|
162 |
|
|
|
166 |
|
|
||||||||
|
|
|
число |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
студентов |
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
28 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
170 |
174 |
|
|
174 |
|
|
|
|
178 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию |
||||||||||||||||||||||||||
роста обследованных студентов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4. |
Найти исправленную выборочную дисперсию по |
|||||||||||||||||||||||||
данному распределению выборки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
0,7 |
|
0,9 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) |
методом |
|
произведений |
выборочную |
среднюю и |
|||||||||||||||||||||
82
выборочную дисперсию по заданному распределению неравно отстоящих вариант выборки:
|
10 |
13 |
15 |
17 |
19 |
23 |
24 |
26 |
28 |
32 |
34 |
35 |
2 |
4 |
6 |
8 |
9 |
6 |
20 |
15 |
10 |
8 |
7 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) выборочную дисперсию с учетом поправки Шеппарда.
6. Найти методом сумм выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки:
Варианта |
|
10,2 |
|
10,4 |
|
10,6 |
|
10,8 |
|
11,0 |
11,2 |
|
частота |
2 |
|
3 |
|
8 |
|
13 |
|
25 |
20 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11,4 |
|
11,6 |
|
11,8 |
|
12,0 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
10 |
|
6 |
|
1 |
|
|
|
ЗАНЯТИЕ 19
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
Интервальная оценка – это оценка, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.
83
|
|
|
|
Надежностью |
(доверительной |
вероятностью) |
|||||
оценки |
называется |
вероятность |
|
, |
с которой |
||||||
осуществляется неравенство: |
|
|
< |
, |
|||||||
где: |
|
|
неизвестный параметр; |
| − | |
|
||||||
|
|
|
|
статистическая |
характеристика |
|
|
параметра, |
|||
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
||
найденная по данным выборки; |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− положительное число, характеризующее точность оценки.
При исследованиях надежность оценки задается наперед. В качестве берется число близкое к единице
(чаще всего 0,95; 0,99; 0,999).
Доверительным называется интервал, который |
||||
заданной надежностью |
|
покрывает неизвестный |
||
параметрс |
. |
|
|
|
Интервальной |
оценкой |
с надежностью |
||
математического ожидания нормально распределенного |
|||
|
|
|
|
количественного признака X по выборочной средней |
в |
||
при: |
|
|
|
1) известном среднем квадратичном отклонении |
|
||
генеральной |
совокупности служит |
доверительный |
|
|
|
|
|
интервал: |
в − |
σ |
< < в + |
σ |
, |
|||
|
|
|||||||
где: |
√σ |
точность |
оценки; |
√ |
|
|
||
|
= δ − |
√ |
|
|
|
|||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
объем выборки;
84
– |
|
(приложение 2), при котором |
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||
|
Ф( ) = |
2 |
|
|||||||||||||
Ф( ) |
значение |
аргумента |
функции |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Лапласа |
|
|
||||||||||
2) неизвестном среднем квадратичном отклонении |
|
|||||||||||||||
генеральной |
совокупности |
и |
объеме |
выборки |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
в − γ |
|
< < в + γ |
|
, |
|
|
|
|
|
|
||
> 30 служит доверительный интервал: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где: |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
√ |
|
|
среднее |
|
|||
|
γ − |
исправленное |
выборочное |
|
|
|||||||||||
|
и |
|
(приложение 5) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
− |
квадратичное отклонение; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
определяется по таблице по заданным |
|
|||||||||||
Интервальной |
оценкой |
с |
надежностью |
|
|
|
||||||||||
среднего |
квадратичного отклонения |
|
|
нормально |
||||||||||||
|
|
|
X |
|
|
|
||||||||||
распределенного количественного |
признака |
|
|
по |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
исправленному выборочному среднему квадратичному |
|||||||
отклонению |
служат доверительные нтервалы: |
|
|
||||
|
(1 |
− ) < < (1 + ) |
(при < 1) |
|
|
|
|
где: |
− |
находится0 < < (1по+таблице) (припо заданным> 1) |
|
и |
|
||
( |
|
|
|
|
|||
приложение 6) . |
|
|
|
|
|||
85
ЗАДАЧИ
1. Одним и тем же прибором со средним квадратичным отклонением случайных ошибок измерений 40 м произведено 5 равноточных измерений расстояния от
орудия до |
цели. Найти доверительный интервал для |
||
= |
|
в |
|
оценки истинного расстояния до цели с надежностью |
|||
|
0,95, зная среднее арифметическое результатов |
||
измерений |
|
= 2000 м. |
|
2.Станок-автомат штампует валики. По выборке объема
100вычислена выборочная средняя диаметров изготовленных валиков. Найти с надежностью 0,95 точность, с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание диаметров изготовляемых валиков, зная, что их среднее квадратичное отклонение равно 2 мм.
3.Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,925 точность оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной средней будет равна 0,2 , если известно среднее квадратичное отклонение генеральной совокупности, равное 1,5.
4.Из генеральной совокупности извлечена выборка объема 12:
86
Варианта |
|
-0,5 |
|
-0,4 |
|
-0,2 |
|
0 |
|
0,2 |
0,6 |
|
частота |
1 |
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,8 |
|
1,0 |
|
1,2 |
|
1,5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание нормально распределенного признака генеральной совокупности при помощи доверительного интервала.
5. По данным 16 независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений равное 42,8 и исправленное среднее квадратичное отклонение равное 8. Оценить истинное значение измеряемой величины с надежностью 0,999.
6. Произведено 10 измерений одним прибором (без систематической ошибки) некоторой физической величины, причем исправленное среднее квадратичное отклонение случайных ошибок измерений оказалось равным 0,8. Найти точность прибора с надежностью
0,95.
87
ЗАНЯТИЕ 20
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.
Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу 0.
Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу 1, которая противоречит нулевой.
Различают гипотезы, которые содержат одно и более одного предположений.
Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение.
Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.
При проверке гипотезы могут быть допущены ошибки двух родов.
Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки первого рода называют уровнем значимости и
88
обозначают через . Уровень значимости критерия полагается достаточно малым (0,01; 0,05 и т.д.).
Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки второго рода обозначают через .
Статистическим критерием называют случайную величину , которая служит для проверки гипотезы.
Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.
|
Правосторонней называют |
критическую |
|||
область, определяемую |
неравенством |
> кр |
, |
где |
|
кр − |
положительное число. |
|
|
||
Левосторонней |
называют |
критическую |
|||
кр − |
|
неравенством |
< кр , |
|
|
область, определяемую |
где |
||||
|
отрицательное число. |
||||
Односторонней называют правостороннюю или левостороннюю критическую область.
Двусторонней < , > ,
называют критическую область,определяемую2 > 1 . неравенствами 1 2 где В частности, если критические точки
симметричны относительно нуля, то двусторонняя критическая область определяется неравенствами
89
< −кр , > кр |
| | > кр . |
кр > 0 |
) |
|
(в предположении, что |
|
или равносильным неравенством
Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают.
Критическими точками (границами) кр
называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.
набл |
Наблюдаемым |
(эмпирическим) значением |
|
||
|
называют то |
значение критерия, которое |
вычислено по выборкам. |
|
|
Основной принцип проверки статистических гипотез
Если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают. Если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то нулевую гипотезу принимают.
Для отыскания критической области задаются уровнем значимости и ищут критические точки, исходя из соотношений:
а) для правосторонней критической области
90