Теория вероятностей. Учебно-методическое пособие к практическим занятиям для студентов 2 курса специальностей ТКТ и ТСС
.pdf
|
|
|
|
|
ЗАДАЧИ |
< 0 |
|
|
|
|
|||||
1. |
|
|
|
|
|
|
0 , |
|
|
|
|
|
|||
Случайная величина задана функцией распределения: |
|||||||||||||||
|
|
( ) = , |
0 ≤ |
≤ 4 |
|
|
|
||||||||
Найти коэффициент |
|
1 ,и |
|
построить |
функцию |
||||||||||
|
> 4 |
|
распределения |
||||||||||||
распределения. |
Определить плотность |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вероятности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
величины : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Дана функция распределения непрерывной случайной |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 , |
≤ 0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
sin , |
0 < ≤ |
|
|
|
|||||||
|
( ) = |
|
1 , |
|
> |
|
|
2 |
|
|
|||||
Найти и построить функцию |
плотности вероятности. |
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
3. |
Случайная непрерывная |
величина |
задана |
||||||||||||
|
|
|
0 , |
|
|
|
|
|
|
≤ −2 |
|
||||
интегральной функцией: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
( ) = |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
+ |
π |
|
2 |
, |
|
|
−2 < ≤ 2 |
||||||
|
|
|
1 , |
|
|
|
|
|
|
|
> 2 |
|
|
||
Найти дифференциальную функцию распределения вероятности.
41
4. Задана |
плотность |
распределения |
непрерывной |
|
|||||||||
|
cos 0,, |
|
0 <≤ 0≤ |
|
|
||||||||
случайной величины : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = |
0 , |
|
|
> |
|
|
2 |
|
|
|||
Определить |
и построить |
|
|
функцию |
распределения |
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
непрерывной случайной величины . |
|
|
|
||||||||||
5. Задана |
плотность |
распределения |
|
непрерывной |
|||||||||
случайной величины : |
|
|
0 , |
|
|
|
≤ 0 |
|
|
|
|||
|
sin |
, |
|
0 < ≤ |
|
|
|
||||||
|
( ) = |
0 , |
|
|
> |
|
|
2 |
|
|
|||
Найти функцию распределения |
случайной величины |
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
и построить ее график. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. Задана |
плотность |
распределения |
|
непрерывной |
|||||||||
случайной величины : |
|
|
0 , |
|
|
|
≤ 1 |
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
( ) = − |
2 |
, |
|
1 < ≤ 2 |
|
|||||||
Определить |
и построить |
0 , |
|
функцию |
распределения |
||||||||
|
|
|
> 2 |
|
|
|
|
||||||
непрерывной случайной величины . |
|
|
|
||||||||||
|
|
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ЗАНЯТИЕ 12
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Математическое |
ожидание |
непрерывной |
||
случайной величины с плотностью вероятности |
( ) |
– |
||
это число, определяемое равенством: |
|
|
||
( ) = |
+∞ |
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
в предположении, что несобственный интеграл существует.
Дисперсия |
непрерывной случайной величины |
|
вычисляется по формуле: |
|
|
( ) = |
+∞ |
|
2 ( ) − ( ( ))2 . |
||
|
−∞ |
|
Среднее |
квадратичное |
отклонение |
формуле: ( ) = |
( ) . |
вычисляется по |
непрерывной случайной величины |
||
Вероятность того, что случайная( ; ) величина примет значение в интервале находится по формуле:
43
|
|
( < < ) = ( ) = ( ) − |
( ) . |
|
|
|||||||||||||
соответствующей |
|
|
|
|
( ; ) |
|
|
|
случайной |
|||||||||
Графически |
вероятность |
попадания |
||||||||||||||||
величины |
|
в |
|
|
|
интервал |
|
|
|
|
равна площади |
|||||||
прямыми |
= , |
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
криволинейной |
трапеции, |
|||||||||
ограниченной |
|
|
кривой |
|
распределения, |
осью |
|
, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАЧИ |
|
+ 2 ) |
|
|
|
|||||
1. |
|
; вне этого |
|
|
( ) = ( |
|
|
|
|
|||||||||
Cлучайная непрерывная величины |
|
задана функцией |
||||||||||||||||
(а0;) 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = 0 |
|
в интервале |
||||||
плотности вероятности |
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
интервала |
|
|
|
. |
Найти: |
|
|
||||
|
параметр |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
функцию распределения |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
в) |
числовые характеристики; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
г) вероятность попадания случайной величины в |
|
|||||||||||||||||
интервал (− |
21 |
; |
21 |
) . |
|
величины |
|
|
|
|
||||||||
2. Cлучайная непрерывная |
задана функцией |
|||||||||||||||||
распределения: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
( ) = 0,5 |
0 , |
≤ 2 |
≤ 4 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
− |
1 , 2 < |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , |
> 4 |
|
|
|
|
||||
Найти:
1) плотность распределения вероятности;
2) вероятность того, что в результате испытания
44
примет значение: а) меньше 0,2; б) меньше трех; в) не
меньше трех; |
г) не меньше пяти. |
|
|
|
|||
|
0 , |
|
≤ 0 |
|
|||
3. Случайная величина задана функцией распределения: |
|||||||
|
( ) = 2 |
, |
0 < |
≤ 1 |
|
||
Найти вероятность того1, |
,что |
|
|
результате четырех |
|||
в> 1 |
|
||||||
независимых |
испытаний величина |
|
ровно три раза |
||||
примет значение, принадлежащее |
интервалу (0,25; 0,75). |
||||||
|
|
|
|||||
4. Случайная величина1 −задана3 , функцией≥ ( >распределения0) :
( ) = 03 , 0< 0
0
Найти числовые характеристики случайной величины. |
||||||
функцией |
( ) = 2 |
в |
|
задана |
(0; 1) |
|
интервала |
|
|
|
|||
5. Случайная величина |
|
дифференциальной |
||||
|
|
|
интервале |
|
; вне этого |
|
|
она равна |
|
нулю. Найти математическое |
|||
ожидание и среднее квадратичное отклонение величины
|
( ) = |
2 |
sin |
|
|
6. . Непрерывная случайная |
величина |
1 |
|
в |
интервале |
|
|||||
(0; ) задана функцией |
|
; |
вне этого |
интервала она равна нулю. Найти дисперсию величины
.
45
ЗАНЯТИЕ 13
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
|
|
|
|
Биномиальное распределение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Биномиальным |
|
|
называется |
закон |
распределения |
||||||||||||||||||||||||||||
дискретной случайной величины |
|
- числа появления |
||||||||||||||||||||||||||||||||
события |
в |
|
независимых |
|
испытаниях, в каждом из |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
которых |
вероятность |
появления |
события |
|
равна |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||
Вероятность |
|
возможного |
значения |
|
|
по |
(числа |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
появлений |
|
события) вычисляются = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Бернулли: |
|
|
|
( ) = |
|
|
|
− |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= 1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где: , − параметры; |
|
распределения; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
= 0, 1, … , . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
( |
= |
) |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
−2 |
|
… |
|
|
|
|
|
− |
|
… |
|
|
|
|
|||||
( = (= )) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Контроль:
46
= ( + ) = 1.
=0
Числовые характеристики определяются по формулам:
( ) = − математическое ожидание;
( ) = − дисперсия;
( ) = − среднееквадратичное отклонение.
Распределение Пуассона |
|
||
Распределение Пуассона является предельным для |
|||
биномиального, когда |
и |
. |
|
|
|
дискретной→ 0 |
случайной |
Закон распределения→ ∞ |
|
||
величины , которая может принимать любые целые
неотрицательные значения (0, |
1,…, ) |
в случае, если |
|||||||||
законом |
|
|
|
|
|
вероятность появления |
|||||
число испытаний |
|
велико, |
а |
|
|
|
|
|
|||
события |
в каждом испытании очень мала, называется |
||||||||||
|
Пуассона: |
( ) = |
λ |
−λ |
, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где: |
λ = – |
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
независимых испытаниях); |
||||||||
|
|
параметр распределения |
(среднее число |
||||||||
− |
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
появления события |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
число |
появлений события |
в |
|
|
независимых |
|||||
испытаниях.
47
( = |
) |
0 |
1 |
|
2 |
|
… |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
−λ |
λ −λ |
λ2 |
|
−λ |
… |
λ |
|
−λ |
… |
|
|
) |
|
|
1! |
2! |
|
|
|
! |
|
|
||
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Контроль∞: |
∞ |
λ |
|
|
= |
= −λ ∙ λ = 1 . |
|
=0 |
=0 |
! |
|
опред ляются по формулам: Числовые( ) = (характеристики) = λ − математическое ожидание и
дисперсия;( ) = √λ − среднее квадратичное отклонение.
Примеры случайных величин, имеющих
станцию за время ; число опечаток в большом тексте;число− бракованных деталей в большой партии; число частиц, испускаемых радиоактивным источником.
распределение Пуассона: число вызовов на телефонную
При этом считается, что события появляются
независимо |
друг |
от |
друга |
с |
постоянной |
|||
интенсивностью, |
характеризующейся параметром |
λ |
. |
|||||
|
|
48 |
|
|
|
|||
ЗАДАЧИ
1. Найти числовые характеристики– дискретной случайной величины числа отказов элемента некоторого устройства в десяти независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна
0,9.
2. Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение
дискретной случайной величины |
|
|
числа появлений |
|||||||||
события |
|
в |
двух |
независимых |
испытаниях, |
если |
||||||
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
|||
вероятности |
появления события в |
|
этих испытаниях |
|||||||||
одинаковы и известно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Производятся независимые( испытания) = 0,9. |
с одинаковой |
|||||||||||
вероятностью |
появления |
события |
|
|
в |
каждом |
||||||
испытании. Найти вероятность |
появления события , |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
трех |
||||||
если дисперсия |
числа |
появлений |
|
события |
в |
|
||||||
независимых испытаниях равна 0,63.
4. Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины , заданной законом распределения:
|
0 |
1 |
2 |
… |
K |
… |
|
|
|
… |
|
… |
|
|
|
|
|
|
! |
|
49
5. Число атак истребителей, которым может подвергнуться бомбардировщик над территорией противника, есть случайная величина, распределенная по закону Пуассона с математическим ожиданием равным 3. Определить дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины.
ЗАНЯТИЕ 14
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
|
|
|
Равномерное распределение |
|
|
||||||
|
|
Равномерным |
называют |
распределение |
|||||||
возможные |
|
( ; ) |
|
|
|
|
, если |
||||
вероятностей непрерывной случайной величины |
|
||||||||||
на интервале |
|
|
, |
которому |
принадлежат |
все |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
нулю: |
|
значения |
, |
плотность сохраняет |
|||||||
|
|
0 , |
|
< |
|
|
|
|
|||
постоянное значение, а вне этого интервала она равна |
|||||||||||
где: |
|
( ) = |
−1 |
, |
, |
≤ ≤ |
|
|
|
||
, − |
|
0 |
|
> |
|
|
|
|
|||
|
параметры распределения. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
50