Теория вероятностей. Учебно-методическое пособие к практическим занятиям для студентов 2 курса специальностей ТКТ и ТСС

8.25 студентов, встретившись перед занятиями, обменялись рукопожатиями. Сколько было сделано всего рукопожатий?

9.В отделе 15 человек. Сколькими способами они могут избрать четверых делегатов для участия в конференции?

10.Сколькими способами можно назначить в патруль

трех солдат и одного офицера, если имеется 15 солдат 4 офицера?

11.Сколькими способами можно отобрать трех отличников и двух хорошистов, если в группе из 15 человек 7 отличников и 8 хорошистов?

12.Аня, Вера, Галя, Зоя, Ира, Катя, Лена, Таня отправились в путешествие на дух лодках, в меньшей из которых могли поместиться не более четырех, а в большей – не более шестерых человек. Сколькими

различными способами они могут распределиться вразные лодки?

Распределения считаются различными. Если хоты бы одна из девушек окажется в другой лодке.

13.На пять сотрудников подразделения фирмы выделены три путевки. Сколькими способами их можно распределить, если: 1) все путевки различные? 2) все путевки одинаковые?

11

14. В группе 29 учеников. Сколько существует различных вариантов присутствия (отсутствия) этих учеников на занятиях?

сопротивлением можно получить, соединяя некоторые из этих катушек последовательно?

ЗАНЯТИЕ 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

КЛАССИЧЕСКАЯ, СТАТИСТИЧЕСКАЯ, ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

1.Вероятность достоверного события равна единице.

2.Вероятность невозможного события равна нулю.

12

3. Вероятность любого случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Статистическое определение вероятности

В качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое

т. е. вероятность попадания точки в какую-либо часть области G пропорциональна мере (mes) этой части (длине, площади, объему и т. д.) и не зависит от ее расположения и формы.

13

ЗАДАЧИ

1.Брошены две игральные кости. Найти вероятности событий:

а) сумма выпавших очков равна семи; б) сумма выпавших очков равна восьми, а разность – четырем;

в) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что разность равна четырем; г) сумма выпавших очков равна пяти, а произведение – четырем.

2.Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик имеет окрашенных граней: 1) одну; 2) две; 3) три.

3.В коробке шесть одинаковых, занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке

4.В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

5.В коробке находятся 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу вытащены четыре детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей нет годных.

14

6.В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины.

7.В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.

8.На складе имеется в наличие 15 телевизоров, причем

10из них изготовлены в Китае. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу телевизоров окажутся: а) три телевизора китайского производства; б) не менее трех телевизоров китайского производства.

9.По цели произведено 20 выстрелов, причем зарегистрировано 18 попаданий. Найти относительную частоту попаданий в цель.

10.При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0,9. Найти число годных приборов, если всего было проверено 200 приборов.

11.На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 см и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями.

15

12.Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов.

13.На плоскость, разграфленную параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 6 см, наудачу брошен круг радиуса 1 см. Найти вероятность того, что круг не пересечет ни одной из прямых.

14.В квадрат со стороной 10 см вписан круг. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в квадрат, попадет в круг.

ЗАНЯТИЕ 3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, ВЕРОЯТНОСТЬ «ХОТЯ БЫ ОДНОГО ИЗ» НЕСКОЛЬКИХ СОБЫТИЙ

Теорема сложения вероятностей

Вероятность появления суммы двух несовместных

событий равна сумме вероятностей этих событий:

( + ) = ( ) + ( ) .

16

Следствием этой теоремы является вероятность суммы конечного числа попарно несовместных

( + ) = ( ) + ( ) − ( ) .

Теорема умножения вероятностей

Если событие не зависит от события , то и событие не зависит от события . Поэтому

вероятность произведения двух независимых событий

равна произведению вероятностей этих событий:

( ∙ ) = ( ) ∙ ( ) .

Теорема может быть обобщена на случай

произвольного числа независимых событий:

( 1 ∙ 2 ∙ … ∙ ) = ( 1) ∙ ( 2) ∙ … ∙ ( ) .

Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную

Вероятность того, что «хотя бы одно из» нескольких

ЗАДАЧИ

1. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

18

2.Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрела равна 0,7 , а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один из стрелков.

3.Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.

4.Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что два наудачу выбранных билета окажутся выигрышными.

5.Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.

6.В ящике 10 деталей, среди которых шесть окрашенных. Сборщик наудачу извлекает четыре детали. Найти вероятность того, что все извлеченные детали окажутся окрашенными.

7.Из колоды в 36 карт вытаскивают две карты. Найти вероятность того, что вытащенные карты 7 и 8 одной масти.

8.В коробке 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.

19

9.Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб».

10.Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых, соответственно равны:

0,3; 0,4; 0,6; 0,7.

ЗАНЯТИЕ 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

20