Теория вероятностей. Учебно-методическое пособие к практическим занятиям для студентов 2 курса специальностей ТКТ и ТСС

2.Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена 75 раз.

3.Всхожесть семян данного растения равна 0,75. Найти вероятность того, что из 243 посаженных семян 70 не взойдут.

4.Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится:

а) не менее 75 раз и не более 90 раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз.

5.Вероятность появления события в каждом из 120 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится в большинстве испытаний.

6.Вероятность появления положительного результата в каждом из n опытов равна 0,9. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат?

31

ЗАНЯТИЕ 8

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

ЗАДАЧИ

1.Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,001. Найти вероятность того, что среди 10000 деталей окажется 5 бракованных.

2.Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение смены равна 0,002. Найти

32

вероятность того, что за время смены откажут ровно 3 элемента.

3.Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, рана 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок:

а) две; б) менее двух;

в) более двух; г) хотя бы одну.

4.По некоторой цели производится 500 независимых выстрелов. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,004. Найти вероятность того, что в цель попадет:

а) один снаряд; б) ни одного снаряда; в) менее трех; г) не более трех.

5.Найти среднее число бракованных изделий в партии изделий, если вероятность того, что в этой партии

содержится хотя бы одно бракованное изделие, равна

0,95.

Предполагается, что число бракованных изделий в рассматриваемой партии распределено по закону Пуассона.

33

ЗАНЯТИЕ

Контрольная работа

ЗАНЯТИЕ 9

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Случайной величиной называется переменная величина, которая в результате опыта может принимать то или иное числовое значение.

Случайная величина называется дискретной, если значения, которые она принимает, образуют ряд чисел.

Соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения случайной величины.

Закон распределения дискретной случайной величины часто задается рядом распределения:

34

распределения.

Функцией распределения вероятностей

ЗАДАЧИ

1. Дискретная случайная величина задана законом распределения:

Начертить многоугольник распределения, найти и построить функцию распределения.

2. Дискретная случайная величина задана законом распределения:

построить функцию распределения.

3.В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных изделий. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения числа стандартных изделий среди отобранных. Начертить многоугольник распределения, определить и построить функцию распределения.

4.После ответа студента на вопросы экзаменационного билета экзаменатор задает студенту дополнительные вопросы. Преподаватель прекращает задавать дополнительные вопросы, как только студент обнаруживает незнание заданного вопроса. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный

дополнительный вопрос, равна 0,9. Требуется:

а) составить закон распределения случайной величины

–числа дополнительных вопросов, которые задаст

преподаватель студенту; б) найти наивероятнейшее число заданных студенту дополнительных вопросов.

5. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в

36

одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

6. Из двух орудий поочередно ведется стрельба по цели до первого попадания одним из орудий. Вероятность попадания в цель первым орудием равна 0,3, вторым – 0,7. Начинает стрельбу первое орудие. Составитьзаконы распределения дискретных случайных величин

и – числа израсходованных снарядов соответственно первым и вторым орудием.

ЗАНЯТИЕ 10

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНОЙ

СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Математическое ожидание дискретной случайной величины – это сумма парных произведений всех возможных значений случайной величины на

соответствующие им вероятности, т. е.

( ) = .

=1

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения

случайной величины от ее математического ожидания:

( ) = ( − ( ))2 .

37

Для вычисления дисперсии дискретной

случайной величины обычно пользуются формулой:

( ) = ( 2) − ( ( ))2 .

Средним квадратичным отклонением случайной величины( ) = называется( ) . квадратный корень из

ее дисперсии:

ЗАДАЧИ

1. Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины , заданной законом распределения:

7. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равно 0,9. В каждой партии содержится пять изделий. Найти математическое− ожидание дискретной случайной величины числа партий, в каждой из−которой окажется ровно четыре стандартных изделия, если проверке подлежит 50 партий.

39

ЗАНЯТИЕ 11

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

40