Теория вероятностей. Учебно-методическое пособие к практическим занятиям для студентов 2 курса специальностей ТКТ и ТСС
.pdfне более чем на 2 см; 3) в каких границах следует ожидать размер диаметра
детали, чтобы вероятность не выйти за эти границы была равна 0,95.
5. Автомат штампует детали. Контролируемая длина детали , которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равна 50 мм. Фактическая длина изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм.
6. Диаметр детали, изготавливаемой на станке, – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием равным 25 см и средним квадратичным 0,4 см. Найти вероятность того, что две взятые наудачу детали имеют отклонение от математического ожидания по абсолютной величине не более 0,16 см.
7. Производится взвешивание вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратичным отклонением 20 грамм. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 граммов.
61
8. |
=0,004. |
|
| − ( )| < 0,2 |
оценить |
Используя неравенство Чебышева, |
||||
( ) |
что |
|
, если |
|
вероятность того, |
|
|||
ЗАНЯТИЕ
Контрольная работа
ЗАНЯТИЕ 16
ДВУМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
( , ) |
Двумерной называют |
случайную величину |
|||
|
|
|
|
|
|
( , )., |
возможные значения которой есть пары чисел |
||||
Составляющие |
|
и |
|
, рассматриваемые |
|
одновременно, образуют систему двух случайных
величин. |
|
|
( , ) |
|
плоскости . |
величину |
|
на |
|
Двумерную |
геометрически можно |
|||
истолковать как |
случайную |
точку |
|
|
Дискретной называют двумерную случайную величину, составляющие которой дискретны.
Непрерывной называют двумерную случайную величину, составляющие которой непрерывны.
Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют
62
соответствие между возможными значениями и их вероятностями.
Закон распределения дискретной двумерной случайной величины может быть задан в виде таблицы, содержащей возможные значения и их вероятности или аналитически, например, в виде интегральной функции.
|
Y\X |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|||
|
1 |
|
|
11 |
|
12 |
|
|
… |
|
1 |
|
|
.2 |
|
|
21. |
|
22. |
|
|
… |
|
2. |
|
|
. |
|
|
. |
|
. |
|
|
… |
|
. |
|
|
. |
|
|
. |
|
. |
|
|
… |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
… |
|
|
|
|
где: 1 |
< 2 |
< < |
и 1 < 2 < < |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
= 1 . |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
=1 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегральной |
функцией |
|
распределения |
|||||||
(функцией распределения) вероятностей двумерной
случайной величины |
называют |
функцию |
|
|
, |
|||||||
определяющую |
|
для |
каждой |
пары |
чисел ( , ) |
|
||||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
меньшее |
|
, |
||
вероятность того, что |
|
примет значение, |
|
( , ) |
||||||||
( , ) = ( < , |
< ) |
|
значение, |
меньшее |
|
: |
||||||
при этом |
|
|
примет |
|
||||||||
|
|
|
|
|
63 |
|
|
|
|
|
|
|
Геометрически равенство |
это означает |
||
вероятность того, что случайная точка |
|
попадет в |
|
бесконечный квадрат с вершиной |
|
расположенный |
|
( , ) |
,( , ) |
|
|
левее и ниже этой вершины. |
|
|
|
определяются по |
|
|
|
|
|
|
дискретных |
Математические |
ожидания |
||||||
случайных величин |
|
и |
|
, входящих в систему, |
|||
|
формулам: |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
; |
( ) = = |
|||||||
|
|
|
=1 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = = . |
|||||||
|
|
|
=1 =1 |
|
|
|
|
Дисперсии |
дискретных случайных величин |
||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
формулам: , входящих |
в систему, определяются по |
||||||
|
|
|
|
64 |
|
|
|
( ) = ( − )2 ; =1 =1
( ) = ( − )2 . =1 =1
Средние квадратичные отклонения
случайных величин находятся по формулам:
( ) = ( ) = ;( ) = ( ) = .
Две дискретные случайные величины и , называются независимыми, если для всех пар
выполняется соотношение:
= ( = ), = = ( = ) = .
Дифференциальной функцией распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины (двумерная плотность вероятности)
называют смешанную производную второго порядка от интегральной функции:
( , ) = |
2 ( , ) |
. |
|
|
|
|
Непрерывные случайные величины |
|
и |
, |
|||
называются независимыми, если |
( , ) = |
|
||||
65 |
( ) ∙ |
( ) |
||||
где: |
( ) |
и |
( ) |
− |
плотности |
распределения |
|||
|
|
|
|
||||||
вероятностей случайных величин |
и . |
( , ) |
|||||||
представляет |
( , ) |
|
плотность |
|
|
||||
|
Геометрически |
|
|
распределения |
|||||
вероятностей |
|
|
системы случайных величин |
|
|||||
|
|
|
собой |
|
некоторую |
поверхность, |
|||
называемую поверхностью распределения. |
|
||||||||
Зная дифференциальную функцию, можно найти
интегральную функцию распределения по формуле:
( , ) = ( , ) .
−∞ −∞
Для |
независимых |
непрерывных случайных |
||||||
( , ) = |
|
|
( , ) |
= |
|
|
|
( ) ( ) = |
величин |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ −∞ |
|
|
−∞ |
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
66 |
|
|
|
|
|
= |
|
( ) |
|
( ) = ( ) ( ) , |
||
и |
|
−∞ |
−∞ |
|
|
|
|
. ( ) и |
( ) − функции распределения величин |
||||||
где: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Зная функцию распределения |
|
двумерной |
||||
случайной |
|
величины, |
легко |
найти функцию |
|||
|
( , ) |
|
|||||
распределения и плотность каждой из случайных величин в отдельности:
( ) = |
( < ) = |
|
|
|
+∞ |
( , ) |
; |
|
|
|
|||||
|
|
−∞+∞ |
|
−∞ |
|
|
|
( ) = ′( ) = |
|
( , ) ; |
|
||||
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
( ) = |
( < ) = |
|
|
|
+∞ |
( , ) |
|
|
|
|
; |
||||
|
|
−∞+∞ |
|
−∞ |
|
|
|
( ) = ′( ) = |
|
( , ) . |
|
||||
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
Зная |
дифференциальные |
функции |
|||||
составляющих, можно найти их математические ожидания и дисперсии по формулам:
67
( ) = |
+∞ |
( ) = |
; |
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
( ) = |
+∞ |
( ) = |
; |
|||||
|
|
|||||||
( ) = |
+∞−∞ |
− ( ))2 ( ) = |
||||||
|
( |
|||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
||
= |
+∞ |
2 ( ) − ( ( ))2 ; |
||||||
|
|
|||||||
|
−∞ |
+∞ |
− ( ))2 ( ) = |
|||||
( ) = |
|
|
( |
|||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
||
= |
+∞ |
2 ( ) − ( ( ))2 . |
||||||
|
|
|||||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
Средние квадратичные отклонения случайных
величин находятся по формулам:
( ) = ( ) = ;( ) = ( ) = .
( , ) |
Вероятность |
попадания случайной точки |
в область |
определяется равенством: |
|
|
|
68 |
( , ) = ( , ) .
ЗАДАЧИ
1. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:
Y\X |
26 |
30 |
41 |
50 |
2,3 |
0,05 |
0,12 |
0,08 |
0,04 |
2,7 |
0,09 |
0,30 |
0,11 |
0,21 |
Найти законы распределения составляющих и их числовые характеристики.
2. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:
Y\X |
3 |
10 |
12 |
4 |
0,1 |
0,2 |
0 |
7 |
0 |
0,3 |
0 |
10 |
0 |
0,2 |
0,2 |
Найти законы распределения составляющих и их числовые характеристики.
3. Задана интегральная функция двумерной случайной
величины: |
(1 − −4)(1 − −2) |
при |
≥ 0, ≥ 0 |
. |
( , ) = |
0 |
при |
< 0, < 0 |
|
|
|
Найти дифференциальную функцию системы.
69
4.Задана дифференциальная функция системы
случайных величин (X,Y): |
1 |
|
|
( , ) = |
2 (16 + 2) (25 + 2) |
. |
|
Найти интегральную функцию системы.
5.Задана дифференциальная функция двумерной
случайной величины (X,Y): |
|
( , ) = 36 −( 2+ 2) ( > 0, > 0 . |
|
Найти математические0 |
ожидания( > 0 или и< 0)дисперсии |
составляющих.
ЗАНЯТИЕ 17
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРКИ, ЭМПИРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ПОЛИГОН, ГИСТОГРАММА
Выборкой называется совокупность случайно выбранных объектов.
Генеральной совокупностью называется совокупность объектов, из которых производится выборка.
70