Теория вероятностей. Учебно-методическое пособие к практическим занятиям для студентов 2 курса специальностей ТКТ и ТСС
.pdf
Функция распределения: |
< |
||
0 , |
|
||
( ) = |
− |
, |
≤ ≤ |
− |
|||
1 , |
|
> |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
Числовые характеристики определяются по формулам: |
||||||
( ) = |
2 |
− |
математическое ожидание; |
|||
( ) = |
( − )2 |
− дисперсия; |
||||
12 |
|
|
||||
( ) = |
|
− |
− |
среднее квадратичное отклонение; |
||
|
2√3 |
|||||
( < < ) = |
|
− |
||||
|
− |
− вероятность попаданияв |
||||
|
|
|
|
|
|
интервал ( ; ). |
Примеры случайной величины, распределенной по равномерному закону: время ожидания пассажиром транспорта, курсирующего с определенным временным
51
интервалом; ошибка округления числа[−0,5;до 0,5целого] ). (она равномерно распределена на отрезке
Показательное распределение
Показательным (экспоненциальным) называют |
||||||||
|
|
|
( ) = 0 ,−λ |
|
< 0 |
случайной |
||
распределение |
вероятностей непрерывной |
|||||||
величины |
|
, |
которое |
λ |
описывается |
плотностью |
||
где: λ – |
|
|
|
|
, |
≥ 0 |
|
|
распределения: |
|
|
|
|
|
|
||
параметр распределения (положительная
величина).
Функция распределения:0 , < 0
( ) = 1 − −λ, ≥ 0
52
Числовые характеристики1 определяются по формулам:
( ) = ( ) = λ − математическое ожидание и среднее квадратичноеотклонение;
( ) = λ12 − дисперсия;( < < ) = −λ−−λ − вероятность( попадания)
винтервал ; .
Показательное распределение случайной величины используется в приложениях теории вероятностей (теории массового обслуживания, теории надежности), в физике.
Примеры случайной величины, распределенной по показательному закону: длительность работы прибора до первого отказа; длительность времени обслуживания в системе массового обслуживания.
Показательный закон – единственный из законов распределения, который обладает свойством
«отсутствия последствия» (т. е. если промежуток
времени |
|
уже длился некоторое время |
и |
, |
то |
|
показательный |
закон остается |
таким же |
|
для |
||
|
|
|
= − ) . |
|
|
|
оставшейся части промежутка 1 |
|
|
|
|||
53
ЗАДАЧИ
1. Поезда 17 маршрута городского трамвая идут с интервалом 5 минут. Пассажир подходит к трамвайной остановке в некоторый момент времени. Какова вероятность появления пассажира не ранее чем через минуту после ухода предыдущего поезда, но не позднее, чем за две минуты до отхода следующего поезда. Определить математическое ожидание и дисперсию закона распределения.
2. Найти числовые характеристики случайной величины
распределенной равномерно в интервале (2; 8). |
|
|
||||||
3., Случайные величины |
|
|
и |
|
независимы |
и |
||
распределены равномерно: |
в |
интервале (2; 6), |
|
в |
||||
|
|
|
|
|
||||
произведения ∙ |
. |
математическое ожидание |
||||||
интервале (8;12). |
Найти − |
|
|
|
|
− |
|
|
4. Минутная стрелка электронных часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 секунд.
5. Непрерывная случайная величина распределена
по закону, заданному функцией распределения:
( ) = 1 −0−0, ,6 ,< 0≥ 0 .
54
Найти вероятность того, что в результате испытания попадет в интервал (2; 5).
6. На шоссе установлен контрольный пункт для проверки технического состояния автомобилей. Найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение случайной величины – времени ожидания очередной машины контролером, если поток машин
простейший и время (в часах) между прохождениями
машин через( ) = контрольный5 −5 . пункт распределено по закону:
7.Задана интенсивность простейшего потока λ=5. Найти числовые характеристики непрерывной случайной величины – времени между появлениями двух последовательных событий потока.
8.Длительность времени безотказной( ) = 1 −работы−0,3. элемента имеет распределение Найти вероятность того, что за время длительностью =100
часов: а) элемент откажет; б) элемент не откажет.
9. Испытывают три элемента, которые работают
независимо |
один от другого. Длительность |
времени |
||||||||||||
элемента |
|
|
|
|
|
1( ) |
= 1 − |
−0,1 |
; |
для второго |
||||
для первого элемента |
|
|
|
|
|
|
||||||||
безотказной работы элементов распределена по закону: |
||||||||||||||
|
1( ) = 1 − |
−0,2 |
; |
|
|
|
|
|
||||||
1( ) = 1 − |
−0,3 |
. |
|
|
|
|
|
для третьего |
элемента |
|||||
|
|
|
|
|
Найти |
|
вероятность того, что в |
|||||||
интервале |
|
времени (0; 5) |
часов откажут: |
|
||||||||||
а) только один элемент; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) только два элемента; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
55 |
|
|
|
|
|
|
в) все три элемента; |
|
|
|
|
|
|
|
г) хотя бы один элемент. |
( |
> 0), |
|
|
|
||
по закону |
( ) = 0,02 |
−0,02 |
где |
– время в |
|||
10. Время безотказной работы |
элемента распределено |
||||||
часах. Найти вероятность того, что элемент безотказно проработает не менее 100 часов.
ЗАНЯТИЕ 15
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Нормальное распределение
Нормальный закон (закон Гаусса) является предельным. К нему при определенных условиях приближаются другие законы распределения.
|
Нормальным |
называется |
|
распределение |
|||||||
вероятностей |
|
непрерывной случайной |
величины , |
||||||||
дифференциальная функция |
(плотность |
вероятности) |
|||||||||
|
|
||||||||||
которой имеет вид: |
1 |
|
− ( − )2 |
|
|
|
|||||
|
|
( ) = |
|
, |
|
|
|||||
|
|
|
2 2 |
|
|
||||||
где: |
, |
− |
|
|
√2 |
− |
|
|
− |
||
|
|
ожидание; |
|
|
|||||||
отклонение). |
|
|
параметры |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
распределения ( |
|
|||||
математическое |
|
|
|
|
среднее квадратичное |
||||||
|
|
|
|
|
56 |
|
|
|
|
|
|
Функция распределения: |
|
|
|
||
н( ) = |
1 |
|
|
−2 2 |
. |
|
√2 |
−∞ |
|
|
|
Нормированная функция Лапласа связана с функцией
Лапласа соотношением: 1
н( ) = 2 + Ф( ).
Графики функций смещены относительно друг друга на
0,5 .
57
Числовые характеристики: |
|
|
|
|
||||||
( ) = |
− |
математическое ожидание; |
|
|
||||||
( ) = 2 |
− |
дисперсия; |
|
|
|
|
||||
( ) = − среднее квадратичное отклонение; |
||||||||||
( < < ) = Ф |
− |
− Ф |
− |
− |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где: |
|
вероятность попадания в интервал ( ; ), |
|
|
||||||||
Ф( ) = |
1 |
|
−2 2 |
− функцияЛапласа. |
||||||
|
√2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры случайной величины, распределенной по нормальному закону: величины износа деталей в механизмах; ошибки измерений; рост человека; ошибки стрельбы; вес клубней картофеля; величина шума в радиоприемном устройстве; колебания курса акций.
58
по формуле: |
(| |
− | < ) = 2Ф |
. |
|
|
||||
|
|
Вероятность того, что абсолютная величина |
|||||||
отклонения меньше положительного числа |
|
находится |
|||||||
|
|
|
Правило трех сигм |
|
Ф( ) |
|
|||
|
|
Из таблиц значений функции |
значению |
||||||
Ф |
|
= 0,9973 |
соответствует |
|
= 3 . |
Откуда |
|||
= 3 , т. е. |
|
|
величина |
подчиняется |
|||||
|
|
|
если случайная |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
нормальному закону распределения, то можно утверждать с вероятностью, равной 0,9973, что
случайная |
|
величина |
находится |
|
в |
интервале |
||||
( − 3 ; + 3Неравенство). |
Чебышева |
|
||||||||
|
Вероятность того, что отклонение случайной |
|||||||||
величины |
|
от ее математического |
ожидания по |
|||||||
абсолютной |
величине меньше |
|
не меньше, чем |
|||||||
1 − |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
( ) |
|
|||
|
|
(| − ( )| |
< ) ≥ 1 − |
|
2 |
. |
||||
59
ЗАДАЧИ
1.Дана функция распределения нормированного
нормального закона |
1 |
|
|
|
|
( ) = |
|
−22 |
. |
||
|
√2 |
−∞ |
|
|
|
Найти плотность распределения.
2. Математическое ожидание и среднее квадратичное
отклонение |
нормально распределенной |
случайной |
|
величины |
соответственно равны 10 и |
2. |
Найти |
вероятность того, что в результате испытания |
|
примет |
|
3.Пусть - случайная величина, подчиненная нормальному закону с математическим ожиданием равным 1,6 и средним квадратичным отклонением равным 1. Какова вероятность того, что при четырех испытаниях эта случайная величина попадет хотя бы один раз в интервал (1; 2).
4.Диаметр выпускаемой детали - случайная величина, подчиненная нормальному закону с математическим ожиданием равным 5 см и средним квадратичным отклонением равным 0,9 см. Установить:
1) вероятность того, что наудачу взятая деталь имеет диаметр в пределах от 4 до 7 см;
2) вероятность того, что размер диаметра наудачу взятой детали отличается от математического ожиданиязначение, заключенное в интервале (12; 14).
60