Теория автоматического управления. Часть II. Дискретные системы. Учебное пособие

Из определения z-преобразования вытекает, что коэффициенты степенного ряда (4.1) по степеням z 1 представляют собой значения переходной характеристики h(t) в дискретные моменты времени t iT (i 0;1; 2;...), т. е.

c0 x[0]; c1 x[T ]; c2 x[2T ]; … cl x[lT ]; …

Импульсные системы обладают специфической особенностью: переходные процессы в них могут заканчиваться за конечное число периодов Т, равное порядку системы п. Условием получения конечной длительности переходного процесса является равенство всех (кроме первого) коэффициентов характеристического уравнения нулю, т. е.

При этом характеристический полином системы имеет вид

F(z) a0zn,

а изображение выходной величины оказывается конечным ря-

что соответствует переходному процессу с конечной длительностью tn nT .

При любом другом соотношении коэффициентов длительность переходного процесса больше nT. Поэтому процесс с конечной длительностью будет оптимальным по быстродействию.

Выполнение условия (4.2) достигается, как правило, введением в контур системы непрерывных и импульсных корректирующих устройств.

Так же как и в непрерывных системах, качество переходных процессов в импульсных системах может оцениваться различными показателями. Это

-время переходного процесса,

-перерегулирование,

-интегральные оценки качества.

Для оценки качества можно построить переходную функцию и по ней определить качество.

51

Приближенную оценку можно получить на основе нулей и полюсов передаточной функции, не решая разностное уравнение и не определяя .

Если в передаточной функции нулей нет, то качество полностью определяется полюсами передаточной функции, т.е. корнями характеристического уравнения.

Характер переходного процесса зависит от вида корней характеристического уравнения, модули всех корней должны быть

< 1.

Проанализируем вид переходного процесса в импульсной САУ в зависимости от вида корней.

Случай 1. zi 0, вещественные положительные корни.

YC[i] Ck zki , затухающая последовательность.

Случай 2. zi 0, вещественные, отрицательные.

Отрицательному корню соответствует знакопеременная затухающая последовательность.

52

Случай 3. Пара комплексно-сопряженных корней.

Соответствует колебательная затухающая последовательность.

Соответствие между S и Z плоскостью корней.

1) Окружности единичного радиуса плоскости Z  мнимая ось плоскости S.

2) Если корень S – действительный и отрицательный, то z eTS - положительное вещественное число, т.е. отрицательная вещественная полуось плоскости S отображается на отрезок положительной вещественной полуоси внутри окружности единичного радиуса.

3)Паре комплексно – сопряженных корней левой полуплоскости S отвечает или пара комплексно – сопряженных корней плоскости Z внутри окружности, либо два вещественных корня на отрицательной вещественной полуоси внутри окружности.

4.2Корневые критерии качества

На длительность переходного процесса больше всего влияют корни, расположенные ближе всего к окружности единичного радиуса. Эти корни для непрерывных и импульсных систем называются доминирующими, затухают последними.

Зная эти корни, можно оценить время затухания переходного процесса.

53

1)В непрерывных системах минимальное по модулю значение отрицательной вещественной части корня i характеристического уравнения называют степенью устойчивости. Зная степень устойчивости можно приближенно оценить время переходного процесса:

Степень устойчивости: min i Время переходного процесса: tn 3

Для оценки времени переходного процесса в импульсной системе необходимо:

1)Z-преобразованием перейти от плоскости Z к плоскости S, и найдя корни характеристического уравнения в последней, оценить степень устойчивости и время затухания переходного процесса.

2)Запас устойчивости можно оценить по величине перерегу-

лирования.

Если входной сигнал задан в качестве единичной ступенчатой функции:

Перерегулирование:

( y[i])max y( ) 100% y( )

Допустимые значения определяются конкретным назначением системы.

4.3 Точность импульсных систем

Точность импульсной системы оценивают по установившемуся значению сигнала ошибки.

54

Отсюда видно, что при ступенчатом воздействии ошибка будет равна нулю, если передаточная функция W (z) разомкнутого

контура имеет хотя бы один полюс, равный единице.

Аналогично можно показать, что при линейном воздействии ошибка равна нулю, если не менее двух полюсов равны единице.

Метод коэффициентов ошибок.

Значение ошибки в установившемся режиме при типовых внешних воздействиях можно как и для непрерывных систем оценить по коэффициентам ошибок.

Начиная с некоторого момента времени ошибку импульсной системы регулирования можно представить в виде ряда:

бок C0,C1,C2,... представляют собой коэффициенты разложения передаточной функции по ошибке Фx(z) в ряд Маклорена по

степеням z.

Величины, обратные множителям при производных по аналогии с непрерывными системами называются добротностями по скорости и по ускорению:

K 1 ;K 2 .

C1 C2

Если при постоянном входном воздействии в системе имеется

ошибка 0 в установившемся режиме – система называется

статической.

Если ошибка = 0, то астатической.

Если ошибка = 0 при линейно возрастающем воздействии, то система астатическая 2-ого порядка.

Порядок астатизма соответствует числу коэффициентов ошибок, равных 0, начиная с C0 .

55

Пример. Построим переходную характеристику системы, состоящей из «ключа», фиксатора и идеального интегрирующего звена.

Д.п.ф. разомкнутого контура такой системы

W (z) kT /(z -1).

Д.п.ф. системы по задающему воздействию

Фд- у (z) kT /(z kT -1) ;

При единичном ступенчатом воздействии изображение выходного сигнала

и, пользуясь таблицами обратного z-преобразования, записать

Построенные по выражению (4.4) переходные процессы при kT = 0,5 (кривая 1), kT = 1 (кривая 2), kT = 1,5 (кривая 3) приведены на рис. 4.1. Очевидно, что при kT = 1 процесс оптимален: перерегулирование равно нулю, длительность процесса минимальная.

При каждом конкретном значении параметра kT переходную функцию можно найти также путем разложения изображения Y(z) в степенной ряд.

56

5. СТРУКТУРА И ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦИФРОВОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Перспективным направлением в технике автоматического управления является использование цифровых вычислительных машин в режиме ПЦУ. При осуществлении этого режима УВМ включают непосредственно в контур автоматической системы управления. УВМ функционирует в реальном масштабе времени и в темпе хода технологического процесса, вырабатывает управляющие воздействия, которые через исполнительные устройства передаются на управляемый объект. Одновременно УВМ выполняет функции задающего и сравнивающего устройства.

Рассмотрим типичную функциональную структуру одноконтурной цифровой системы управления (рис. 5.1, а). АЦП квантует непрерывный сигнал x по уровню и по времени и представляет его в цифровом коде. При этом образуется последовательность чисел xy , записанных в определенной (обычно двоичной) систе-

ме счисления. Цифровое вычислительное устройство ЦВУ в соответствии с заложенным в него алгоритмом выполняет над числами арифметические и логические операции и с периодом повторения Т выдает в виде числа управляющий сигнал uц . ЦАП со-

стоит из декодирующего и фиксирующего устройств, которые из выходной последовательности чисел yц формируют непрерыв-

ное управляющее воздействие u .

Если непрерывная часть системы и алгоритм работы ЦВУ линейны, то рассматриваемую цифровую систему можно исследовать как амплитудно-импульсную. Для этого систему с ЦВУ заменяют эквивалентной импульсной системой. На алгоритмической схеме эквивалентной системы (рис. 5.1, б) АЦП условно представляют в виде идеального импульсного элемента, а сигналы xц и uц , которые в действительности являются последователь-

ностями чисел, заменяют соответствующими решетчатыми функциями x* и u*. Квантование по уровню при этом не учитывается (так как шаг квантования обычно достаточно мал).

58

Wп(z) Kп(z)/ Dп(z) — д.п.ф. приведенной непрерывной части, включающей объект, исполнительное устройство и фикси-

рующий элемент; Wц(z) Kц(z)/ Dц(z) — д.п.ф. цифрового регулятора.

Благодаря большим вычислительным возможностям ЭВМ в цифровых системах можно реализовать сложные алгоритмы управления и обеспечить такие переходные процессы, которые недостижимы в непрерывных системах.

Рассмотрим один из возможных подходов к решению задачи синтеза оптимальной цифровой системы. Пусть необходимо получить переходный процесс конечной длительности tn T . При этом правомерно потребовать, чтобы длительность соответствовала порядку уравнения неизменяемой части системы, который определяется главным образом объектом. Данное требование

можно записать так:

l n ,

где n — порядок полинома Dn(z) приведенной части. С уче-

том условия конечной длительности найдем д.п.ф. в следующем виде:

Ф(z) K(z) Kц (z)Kп(z)

F(z) zl

Полином числителя Kц (z) д.п.ф. цифрового регулятора в данной задаче можно произвольно принять равным

регулятора и приведенной части.

Так как д.п.ф. Wn(z) приведенной части считается известной,

В общем случае д.п.ф. (5.2) представляет собой отношение полиномов

60