Теория автоматического управления. Часть II. Дискретные системы. Учебное пособие

значение x[iT ] умножить на z i , а затем свернуть получившийся степенной ряд в конечную сумму;

2) чтобы по известному изображению X (z) найти соответствующий сигнал x(t) , необходимо представить изображение

X (z) в виде степенного ряда по убывающим степеням z 1, получающиеся при этом числовые коэффициенты ряда и есть дискретные значения x[iT ] сигнала x(t) .

Таблица 2.1 z-изображения простейших функций времени

31

Интегрирование ведется по окружности радиуса r, внутри которой лежат все полюсы X (z).

Проиллюстрируем эти правила на простых функциях.

Пример. Найдем z-изображение единичной ступенчатой функции x(t) 1(t). Соответствующая ей последовательность идеальных импульсов

Сумма бесконечного ряда (2.4) можно записать в компактной

что и приведено в таблице 2.1.

Делением числителя на знаменатель выражение (2.5) можно представить в виде ряда

X(z) 1Tz 1 2Tz 2 3Tz 3 ...

Всоответствии с правилом 2 значение решетчатой функции

или

x[iT ] iT .

Откуда нетрудно установить, что

x(t) t .

Полученное соответствие также приведено в таблице 2.1.

2.4 Основные свойства z-преобразования

Свойства z-изображения аналогичны свойствам обычного преобразования Лапласа. Приведем важнейшие из них.

32

Перейдем к описанию передаточных свойств разомкнутых и замкнутых импульсных систем. Как и для обычных систем непрерывного действия, для импульсных систем наиболее удобно использовать структурный метод и передаточные функции.

2.5 Характеристики типовой импульсной цепи

Введем понятие типовой импульсной цепи, в которую входит идеальный импульсный элемент («ключ») и непрерывная часть с передаточной функцией WН ( p)(рис. 2.1). Рассмотрим динамику

этой цепи, ее входной и выходной сигналы только в дискретные моменты времени iT (для чего на выходе цепи показан фиктивный квантователь, работающий синхронно с входным квантователем). Тогда передаточные свойства импульсной цепи можно характеризовать с помощью дискретной передаточной функции

(д.п.ф.)

где X (z) и Y (z)— z-изображение входного и выходного сигналов цепи.

Д.п.ф. W (z) импульсной цепи связана с весовой функцией

Непрерывная часть цепи задана обычно в виде передаточной функции W ( p) , поэтому для отыскания функции W (z) необходимо предварительно находить весовую функцию (t) .

Так как в таблицах соответствия изображения по Лапласу и 2-изображения обычно указываются рядом, то функцию W (z)

можно определить сразу по виду функции W ( p) . Этому непосредственному переходу от W ( p) к W (z) соответствует условная запись

Если в типовой цепи после «ключа» стоит фиксатор, то д.п.ф. всей цепи может быть определена по формуле:

34

Рис. 2.1. Типичный участок импульсной системы

где WН ( p) — передаточная функция непрерывной части (не включающей фиксатор).

Пример. Найдем д.п.ф. цепи, состоящей из ―ключа‖ и инерционного звена первого порядка (без фиксатора на его входе)

W ( p) k0 /(T0 p 1).

Весовая функция звена

(t) (k0 /T0)e iT T0

или

[iT ] (k0 /T0)e iT T0

Согласно таблице 2.1 д.п.ф. цепи:

W (z) (K0 /T0)e T T0 K z

T0 z e T /T0

Изложенные приемы математического описания импульсных систем с помощью z-изображений и соответствующих им разностных уравнений удобно использовать для цифрового моделирования чисто непрерывных систем на ЭВМ. Но если для цифрового моделирования используются точные д.п.ф. полученные по формуле (2.7) или по таблицам соответствия, то необходимо предварительно, перед переходом к разностному уравнению,

35

найти д.п.ф. W (z) , устанавливающую связь между огибающими входной и выходной дискретных последовательностей:

W (z) TW (z)

Множителем Т компенсируется ослабление сигналов, которое вносится реально квантователем в импульсной системе (и которое отсутствует в моделируемой непрерывной системе!).

Любую д.п.ф., W (z) или , в общем случае можно представить в виде отношения полиномов переменной z:

......bm X (z)z n,

по которому легко получить разностное уравнение импульсной цепи или моделируемой непрерывной системы:

bmx[iT nT ].

Разностные уравнения вида (2.12) обладают важным преимуществом перед обыкновенными дифференциальными уравнениями: разрешенные относительно y(iT ) они уже в самой своей записи содержат алгоритм решения, который легко программируется на ЦВМ. Кроме того, разностные уравнения можно также представлять в виде сигнальных диаграмм состояния, удобных для моделирования. Основным операционным элементом дискретной диаграммы состояния вместо аналогового интегратора является элемент задержки z 1.

36

Пример. Определим точную д.п.ф. импульсной цепи, состоящей из ―ключа‖, фиксатора и идеального интегратора

2.6 Решение разностных уравнений с помощью z- преобразований

Пусть линейное разностное уравнение имеет вид:

a0 y[i m] a1y[i m 1] am y[i] f [i]

Для решения должны быть заданы значения y[i] в первые

моменты времени (m-1)

y[0], y[1], , y[m 1].

Перепишем исходное уравнение относительно z-изображений

y[i], f [i]

уравнение,

F(z) - изображение входного сигнала,

MH (z) - обусловлен начальными условиями.

В общем случае MH (z) - полином порядка n, коэффициенты которого зависят от начальных условий. При нулевых начальных

Y (z) F(z) M H (z) A(z) A(z)

y[i] - определим в результате обратного z-преобразования

y[i] Z 1{Y (z)}

37

1) Для определения y[i] можно разложить Y (z) на простые дроби и воспользоваться таблицами.

2) Если нас не интересует аналитическое выражение y[i], а только конкретные значения y[i] при i 0,1,2, , то можно разложить Y (z) в ряд Лорана по убывающим степеням z.

Это следует из определения z-преобразований

Y (z) y[i]z 1 y[0]z0 y[1]z 1 y[2]z 2 .

i 0

Представим в виде суммы двух дробей

z1,2 0.7 0.49 0.4 , z1 0.2, z2 0.5. 2

38

Пример. Разложим в ряд Лорана.

2.7 Передаточная функция разомкнутой импульсной системы

Импульсная система содержит ИЭ в канале ошибки, рис. 2.2.

Рис. 2.2. Импульсная система, содержащая ИЭ в канале ошибки

ИЭ генерирует решетчатую функцию

x[i] X (t)|t iT .

Задача Э (формирующего элемента) состоит в формировании реального импульса (прямоугольной, треугольной, трапециидальной и т.д. формы).

x[i] X (t) (t iT ).

Реакция непрерывной части системы совместно с Э – приведенная весовая функция П (t). Если выходную величину рас-

сматривать только в дискретные моменты времени - П[i]. Реакцией импульсной функции на дискрету x[0] является

П (t)x[0],

на x[1] является П (t T )x[1],

39

на x[2] является П (t 2T )x[2],

на x[m] является П (t mT )x[m].

i

Тогда Y (t) x[m] П (t mT ).

m 0

i

Для дискретных моментов времени y[i] x[m] П [i m]. m 0

Найдем z-преобразование от левой и правой частей.

i

Z{y[i]} Z{ x[m] П[i m]}

m 0

На основании теоремы свертки

Y (z) W (z)X (z) , где дискретная передаточная функция

i

W (z) Z{ П[i]} П[i]z .

i 0

W (z) Y (z) - по аналогии с непрерывными системами: пере-

X (z)

даточная функция разомкнутой импульсной системы – отношение изображения выходного сигнала к изображению входного сигнала при нулевых начальных условиях.

W (z) является z-преобразованием весовой функции импульс-

ной системы.

W (z) Z{ [i]}.

Реакцию разомкнутой импульсной системы на входной сигнал произвольной формы f (t) можно определить следующим образом:

1)Определить передаточную функцию ПНЧ W (S) .

2)Определить соответствующую ей весовую функцию

(t) L 1{W (S)}.

3)Найти весовую функцию импульсной системы [i].

4)Определить z-изображение W (z) Z{ [i]}.

5)От функции f (t) перейти к решетчатой функции f [i].

6)Получить изображение F(z).

7)Найти изображение Y (z) W (z)F(z) .

40