Теория автоматического управления. Часть II. Дискретные системы. Учебное пособие

Если частота квантования недостаточно велика и х 2д , то

в основном диапазоне спектр X *( j ) искажается прилегающи-

ми составляющими с k ± 1 (рис. 1.19, в).

Таким образом, на основе проведенных физических рассуждений можно сформулировать теорему о квантовании:

если непрерывный сигнал обладает спектром, ограниченным частотой х , то его квантование по времени с частотойд 2 х не приводит к потере информации, т. е. сигнал одно-

значно и полностью представляется своими дискретными значе-

ниями, взятыми через интервал квантования

t T 0.5 2 .x

Строгое доказательство этой теоремы было дано советским ученым-радиотехником В.А. Котельниковым в 1933 г. и американским математиком К. Шенноном в 1949 г.

1.5 Решетчатые функции

Введем понятие решетчатой функции времени f [iT ] или в сокращенной записи f [i], значения которой определены в дис-

Ординаты решетчатой функции – это дискреты в моменты времени iT .

Дискреты f (t) могут быть определены для смещенных мо-

ментов времени t iT T (i )T , где T – относитель-

T

ное смещение.

f [iT, T ] f [i, ]

22

зультат решения дифференциального уравнения, порядок которого наименьший по сравнению с другими огибающими. (рис. 1.21)

Рис. 1.21. Огибающие решетчатые функции

Здесь 3 - ступенчатая функция соответствует экстраполятору нулевого порядка.

Пример. f (t) e 1 t , T 0,5 c .

Записать выражение для f [i].

f [i] f (t)|t iT e 1 0.5 i

Пример. f (t) sin(2.5 t), T 0,1 c.

Записать выражение для f [i].

f[i] f (t)|t iT sin(2.5 i 0.1) sin(0.25 i).

1.6Разности и суммы решетчатых функций

Над решетчатыми функциями применяются операции дифференцирования и интегрирования. (рис. 1.22)

Рис. 1.22. Дифференцирование и интегрирование решетчатых функций

24

Аналогом первой производной непрерывной функции для ре-

Аналог производной второго порядка – разность второго порядка (2-ая разность):

2 f [i] f [i 1] f [i] f [i 2] f [i 1] f [i 1] f [i]f [i 2] 2 f [i 1] f [i]

Для разности порядка К:

K f [i] f K 1[i 1] f K 1[i].

Аналогом интеграла непрерывной функции от 0 до t для решетчатой функции является сумма решетчатых функций:

(i 1)) (1 i 1)(i 1)a i (i 1) a 2 2

25

2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ АМПЛИТУДНО- ИМПУЛЬСНОЙ СИСТЕМЫ

2.1 Разностные уравнения

По аналогии с линейными непрерывными системами, процессы в которых описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами для импульсных систем применимы разностные уравнения (или уравнения в конечных разностях).

В общем виде:

Для реальных физически реализуемых систем порядок разности m .

Разности решетчатой функции могут быть выражены через значения самой решетчатой функции, аргументы которой сдвинуты вдоль оси i на некоторое число тактов, в этом случае полу-

чают другую форму записи уравнений

A0 y[i ] A1y[i 1] A y[i] B0x[i m] B1x[i m 1]Bmx[i]

Такую форму записи называют рекуррентным уравнением или разностным уравнением в рекуррентной форме. Порядок разностного уравнения определяется величиной выходной решетчатой функции в рекуррентном уравнении.

Рассмотрим пример.

2 3x[n] 7 2x[n] 8 x[n] 3x[n] 0

Перепишем это уравнение в рекуррентной форме.

3x[n] 2x[n 1] 2x[n] x[n 2] x[n 1] 2x[n]

x[n 3] x[n 2] x[n 2] x[n 1] x[n 1] x[n]

x[n 3] 2x[n 2] x[n 1] x[n 2] x[n 1] x[n 1] x[n]

x[n 3] 3x[n 2] 3x[n 1] x[n].

2x[i 3] 6x[i 2] 6x[i 1] 2x[i] 7x[i 2] 14x[i 1]7x[i] 8x[i 1] 8x[i] 3x[i] 0

2x[i 3] x[i 2] 0

26

Таким образом, порядок уравнения определяется по рекуррентной форме и равен максимальному сдвигу.

Операторная форма записи разностных уравнений.

Введем обозначения:- оператор разности,

Z – оператор смещения решетчатой функции на один такт.

X[i 1] Z X[i],

X[i 2] Z 2 X[i].

Связь операторов и Е.

X[i] X[i 1] X[i] Z X[i] X[i] X[i] (Z 1),

отсюда Z 1 или Z 1.

Пример. Преобразуем уравнение в рекуррентную форму.

2 3x[i] 7 2x[i] 8 x[i] 3x[i] 0

2(Z 1)3 x[i] 7(Z 1)2 x[i] 8(Z 1)x[i] 3x[i] 0 x[i](2Z3 6Z 2 6Z 2 7Z 2 14Z 7 8Z 8 3) 0 x[i](2Z3 Z 2) 0 .

Отсюда 2Z3 Z 2 0 или 2Z 1 0

Тогда 2x[i 1] x[i] 0.

2.2 Решение разностных уравнений

Так же как и в случае дифференциальных уравнений, решение разностного уравнения ищется в виде суммы двух составляющих:

1)общее решение однородного разностного уравнения;

2)частное решение неоднородного уравнения с правой ча-

стью.

Для разностного уравнения так же существует понятие характеристического уравнения.

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

27

Ck – произвольные постоянные, определяемые из начальных

условий.

Частное решение неоднородного уравнения.

Если в правой части уравнения стоит константа, то решение ищется в виде постоянной.

Если в правой части уравнения полином относительно i , то и решение ищется в виде полинома того же порядка.

Пример.

x[i 1] Tx[i] i2

z T 0. Отсюда z T .

xобщ[i] C1( T )i xч[i] C2i2 C3i C4

Подставим в исходное уравнение частное решение

C2(i 1)2 C3(i 1) C4 T (C2i2 C3i C4) i2

C2i2 2C2i C2 C3i C3 C4 TC2i2 TC3i TC4 i2

28

2.3 Z-преобразование амплитудно-импульсной системы

Z-преобразование. Математическое описание и анализ импульсной системы с амплитудной модуляцией существенно упрощаются, если все сигналы в системе (как в импульсной, так и в непрерывной части) рассматривать только в дискретные моменты времени t = 0T; 1T; 2Т; . . . ; IT; . . . ; . При этом каждый непрерывный сигнал X (t) удобно представлять в виде решетчатой функции времени значения которой определены только

для дискретных моментов времени:

X *(t) X[iT ] X (t)/ t iT

Между дискретными значениями аргумента t функция X[iT ] равна нулю.

Непрерывная функция X (t) является огибающей для решетчатой функции X[iT ], и каждому конкретному сигналу X (t) соответствует вполне определенный сигнал X[iT ].

При замене реальных непрерывных сигналов решетчатыми функциями часто удобнее переходить к относительному времени

t Tt , т. е. измерять время числом периодов квантования Т. В

этом случае относительный период T 1, а решетчатая функция обозначается x(i).

Последовательность неединичных импульсов, образующих ре-

шетчатую функцию на интервале 0 < iT < , можно представить в виде бесконечного ряда

где [t iT ]— смещенная дельта-функция, существующая только в моменты времени t iT и равная нулю при всех других

29

значениях t.

Применим к сумме (2.1) преобразование Лапласа, учитывая при этом, что изображение суммы оригиналов равно сумме их изображений, а также, что согласно теореме запаздывания изо-

Выражение (2.2) называется дискретным преобразованием

Лапласа. Оно содержит трансцендентный сомножитель e piT , из-за которого изображения X *( p) и соответствующие передаточные функции становятся иррациональными функциями аргумента р, что создает определенные трудности при их использовании. Поэтому с целью получения передаточных функций импульсных систем в дробно-рациональной форме, свойственной непрерывным системам, целесообразна замена аргументов

Z e pt и тогда вместо (2.2) получают более удобное для практического использования преобразование, называемое z-

преобразованием решетчатой функции (или дискретной последовательности) x(iT ).

i 0

Для большинства встречающихся в расчетах решетчатых функций z-преобразование может быть выполнено при помощи таблиц соответствия, которые приводятся в специальной литературе по импульсным системам. В табл. 2.1 приведены z- изображения лишь для функций времени, используемых далее в примерах.

Главное достоинство и удобство z-преобразования заключается в том, что сама запись z-изображения (2.3) указывает простой способ выполнения прямого и обратного преобразования:

30