Теоретические основы электротехники. Нелинейные электрические цепи постоянного и переменного тока. Учебное пособие
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Ю.В. ПЕТРЕНКО
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО И ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
НОВОСИБИРСК
2018
1
УДК 621.3.01(075.8) П 303
Рецензенты:
д-р техн. наук, профессор В.Ю. Нейман канд. техн. наук, доцент В.В. Богданов
Работа подготовлена на кафедре теоретических основ электротехники для студентов электротехнических направлений подготовки всех форм обучения
Петренко Ю.В.
П 303 Теоретические основы электротехники. Нелинейные электрические цепи постоянного и переменного тока: учебное пособие / Ю.В. Петренко. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2018. – 60 с.
ISBN 978-5-7782-3539-7
Рассмотрены методы расчета нелинейных электрических цепей постоянного и переменного тока, способы построения векторных диаграмм для условно нелинейных сопротивлений, основы методик расчета цепей, содержащих катушки со стальным сердечником.
Структура и содержание пособия соответствуют программе курса «Теоретические основы электротехники» для студентов электротехнических специальностей.
Предназначено для самостоятельной работы студентам энергетических специальностей всех форм обучения.
|
УДК 621.3.01(075.8) |
ISBN 978-5-7782-3539-7 |
Петренко Ю.В., 2018 |
|
Новосибирский государственный |
|
технический университет, 2018 |
2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее пособие является продолжением курса теоретических основ электротехники, в котором изложены методы расчета нелинейных электрических цепей постоянного и переменного тока.
Структура и содержание пособия соответствуют требованиям Государственного общеобразовательного стандарта для специальности вузов по направлению «Электроэнергетика».
Пособие состоит из разделов, которые распределены по темам, соответствующим программе курса. В каждом разделе подробно рассматриваются темы по программе курса, приводится графический материал, помогающий наиболее полно освоить необходимые темы.
Пособие предназначено для самостоятельной работы студентам энергетических специальностей всех форм обучения.
3
ВВЕДЕНИЕ
При исследовании электрических цепей основными являются зависимости напряжения от тока, которые называются вольт-амперными характеристиками цепи. Иногда встречаются такие электрические цепи, параметры которых зависят от тока или напряжения. Такие электрические цепи называются нелинейными. Вообще-то, если подходить к анализу электрических цепей строго, то все электрические цепи являются нелинейными. Допустим, некоторая электрическая цепь состоит из сопротивлений, которые изготовлены из нихромовой проволоки, намотанной на изолированное основание. При прохождении по нему электрического тока проволока нагревается и ее сопротивление меняется в зависимости от температуры проводника. Однако при небольших изменениях температуры сопротивление проводника меняется незначительно, и им можно пренебречь, полагая, что оно практически неизменно. В этом случае проводник считается линейным и его вольтамперная характеристика – прямая линия (рис. В1).
Рис. В1. Вольт-амперная характеристика активного сопротивления
Однако существуют элементы электрической цепи, нелинейность которых выражена весьма резко. Примером таких элементов могут
4
быть выпрямители переменного тока, терморезисторы, лампы накаливания, полупроводниковые приборы и т. д. (рис. В2, а, б).
а |
б |
Рис. В2. Вольт-амперные характеристики:
а – варистора; б – диода
Расчет линейных электрических цепей в большинстве случаев сводится к решению системы линейных дифференциальных или алгебраических уравнений. Методы решения таких уравнений хорошо разработаны и не вызывают особых затруднений. Гораздо сложнее обстоит дело с нелинейными электрическими цепями. Такие цепи описываются системой нелинейных дифференциальных уравнений, для решения которых часто используются специальные методы расчета, тем более что многие нелинейные уравнения не имеют точного аналитического решения. В связи с этим достаточно большое распространение получили приближенные методы расчета, среди которых (особенно для нелинейных электрических цепей постоянного тока) большое место занимают графические и графоаналитические методы.
5
1. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Рассмотрим работу нелинейных электрических цепей постоянного тока. В таких электрических цепях в качестве нелинейных элементов могут рассматриваться только резистивные нелинейные сопротивления, при этом участки цепи с нелинейным индуктивным сопротивлением рассматриваются как закоротки, а с нелинейным емкостным – как обрывы в цепи. Анализ таких цепей производится с помощью вольт-амперных характеристик, т. е. зависимостей U (I).
1.1. ВОЛЬТ-АМПЕРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ (ВАХ)
Эти зависимости (ВАХ) могут быть заданы в виде графиков, таблиц или аналитически. В связи с этим и методы расчета нелинейных цепей постоянного тока делятся:
а) на графические; б) графоаналитические; в) аналитические.
Отметим, что все методы, основанные на законах Кирхгофа, применимы для расчета нелинейных цепей, а методы, основанные на идее пропорциональности напряжения току, непригодны для расчета нелинейных схем. Поэтому закон Ома, метод наложения, свойство взаимности и некоторые другие методы неприменимы для расчета нелинейных цепей.
1.2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Рассмотрим последовательное соединение нелинейных элементов. Пусть два нелинейных резистивных элемента (НС) (рис. 1.1, а) соединены последовательно, как показано на рис. 1.1, б.
6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Рис. 1.1. Заданная ВАХ НС (а); последовательное соединение нелинейных элементов НС1 и НС2 (б)
Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для схемы, изображенной на рис. 1.1, обойдя контур по часовой стрелке:
U (I ) UНС1(I ) UНС2(I ). |
(1.1) |
Уравнение (1.1) справедливо для любых значений токов и напряжений, а значит, справедливо во всем диапазоне изменений токов и напряжений, соответствующих вольт-амперным характеристикам нелинейных сопротивлений схемы (1.1). Отсюда следует, что в соответствии с уравнением (1.1) можно складывать не только конкретные напряжения на нелинейных сопротивлениях, но и вольт-амперные характеристики в целом. Так как НС соединены последовательно, сложение характеристик необходимо производить при одних и тех же значениях тока (т. е. складывать ординаты кривых при одном значении абсциссы).
Так, для получения ординаты точки М (рис. 1.2) необходимо сложить напряжения U1 и U2 при одном значении тока I. Проделав ука-
занные операции для всего диапазона изменения тока, получим эквивалентную характеристику Uн(I ) входного нелинейного сопротивле-
ния относительно зажимов источника. Отложив на оси ординат напряжение источника, получим рабочую точку М на эквивалентной характеристике и найдем значение тока в цепи. Далее по полученному значению тока по характеристикам каждого из заданных нелинейных сопротивлений найдем напряжение на них.
Решение этой задачи можно осуществить и другим способом. Получим из уравнения (1.1) уравнение для вольт-амперной характеристики первого нелинейного элемента:
UНС1(I ) U (I ) UНС2(I ). |
(1.2) |
7 |
|
U, В |
м |
|
|
UН(I) = UНС2(I)+UНС1(I) |
|
|
|
UНС2(I) |
U |
|
|
U1 |
|
UНС1(I) |
U2 |
|
I, А |
|
|
|
0 |
I |
|
Рис. 1.2. Графический расчет последовательного соединения НС
Из уравнения (1.2) следует, что если от вольт-амперной характеристики источника напряжения, представляющей прямую линию, вычесть ВАХ второго НС, то получим вольт-амперную характеристику первого нелинейного элемента. Так как двух различных вольт-ампер- ных характеристик одного и того же нелинейного элемента быть не может, то кривые обязательно пересекутся в одной точке (М), которая и будет рабочей (рис. 1.3).
Рис. 1.3. Графический расчет последовательного соединения НС по уравнению (1.2)
Рабочая точка характеризует ток в цепи и напряжение на нелинейном сопротивлении НС1. Напряжение на втором нелинейном сопро-
тивлении отыскивается по его заданной ВАХ либо по второму закону Кирхгофа (уравнение 1.1).
8
1.3.ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Пусть задана электрическая цепь (рис. 1.4), состоящая из нелинейных сопротивлений с заданными вольт-амперными характеристиками, включенных параллельно.
Рис. 1.4. Электрическая цепь с параллельным соединением нелинейных сопротивлений
Рассмотрим общий принцип расчета нелинейных электрических цепей с параллельным включением нелинейных элементов. Запишем для узла 1 уравнение по первому закону Кирхгофа:
I (U ) IНС1(U ) IНС2(U ). |
(1.3) |
Из уравнения (1.3) следует, что возможно получить вольт-амперную характеристику эквивалентного нелинейного сопротивления относительно зажимов источника питания путем сложения характеристик каждого из НС при одних и тех же значениях напряжения (т. е. сложить абсциссы точек при одних и тех же значениях ординат), рис. 1.5.
Далее, отложив на оси ординат величину приложенного к цепи напряжения, найдем ток I в неразветвленной части электрической цепи, а затем, как показано на рис. 1.5, – токи в самих нелинейных сопротивлениях.
Отметим, что операция по сложению нелинейных характеристик эквивалентна замене параллельно соединенных сопротивлений одним эквивалентным относительно входных зажимов (рис. 1.6) с эквивалентной вольт-амперной характеристикой.
Так как напряжение на эквивалентном сопротивлении известно (оно равно ЭДС), можно по эквивалентной характеристике (рис. 1.5) найти ток I в цепи, а токи в каждом из нелинейных сопротивлений находят по заданным ВАХ уже при известном токе I.
9
Рис. 1.5. Графический расчет параллельного |
соединения НС |
Рис. 1.6. Замена параллельного соединения НС одним эквивалентным
1.4. РАСЧЕТ ЦЕПИ ПРИ СМЕШАННОМ (ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО-ПАРАЛЛЕЛЬНОМ)
СОЕДИНЕНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ
Рассмотрим электрическую цепь, изображенную на рис. 1.7.
При последовательно-параллельном соединении нелинейных сопротивлений расчет начинают с параллельного участка. Вначале складывают вольт-амперные характеристики НС1 и НС2 при одинаковых значениях напряжения (как показано на рис. 1.5), а затем полученную эквивалентную характеристику параллельного соединения складывают с ВАХ линейного сопротивления R при одинаковых значениях тока
(см. рис. 1.3):
U (I ) U12(I ) U R (IR ). |
(1.4) |
10