Теоретические основы электротехники. Нелинейные электрические цепи постоянного и переменного тока. Учебное пособие

Рис.1.9.Вариант расчета последовательно-параллельной схемы

Токи в ветвях и напряжения на всех элементах схемы находятся аналогично предыдущему варианту расчета.

12

1.5. МЕТОД ДВУХ УЗЛОВ

В тех случаях, когда ветви электрической цепи присоединены к двум узлам, весьма эффективным может оказаться метод двух узлов. Суть метода заключается в построении и последующем сложении нелинейных вольт-амперных характеристик ветвей, представляющих зависимость тока в ветви от напряжения между двумя узлами. Рассмотрим электрическую цепь, представленную на рис. 1.10.

Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, состоящего из первой ветви и вектора U12 , дополняющего эту ветвь до

замкнутого контура. Аналогично запишем такие же уравнения для второй и третьей ветви (направление обхода контуров указано на рисунке пунктиром). Получим систему

U1(I1) U12(I1) E1,

U2(I2) U12(I2) 0, (1.7)

U3(I3) U12(I3) E3.

Рис. 1.10. Электрическая цепь с двумя узлами

Выразим в каждом уравнении системы (1.7) зависимость тока в ветви от напряжения U12 . Получим систему

13

Осуществим графические построения в соответствии с уравнениями системы (1.8). Пусть все нелинейные сопротивления схемы, изображенной на рис. 1.10, имеют одинаковые характеристики (см. рис. 1.1, а), симметричные относительно начала координат. Вычтем графически из вольт-амперной характеристики ЭДС (Е = const) вольт-амперную ха-

рактеристику U1(I1). Получим зависимость тока I1, но уже от напряжения U12 между двумя узлами. Аналогично поступим с ВАХ третьей ветви и получим зависимость U12(I3). Сложив токи полученных ха-

рактеристик при одних и тех же значениях напряжения, получим эквивалентную вольт-амперную характеристику U12(I1 I2), или фактиче-

ски ВАХ U12(I2) .Так как две различные ВАХ одного и того же НС не

могут существовать, они пересекутся в одной точке, которая и будет рабочей (рис. 1.11).

Рис. 1.11. Графический расчет цепи методом двух узлов

Опустив перпендикуляр на ось абсцисс в точках его пересечения с вольт-амперными характеристиками U12(I1) и U12(II 3), получим зна-

чения токов I1 и I3. Напряжения на самих НС отыскиваются по заданным ВАХ (рис. 1.1, а) по тем же токам.

14

элемента (u(i), (i),q(u)). Такие характеристики получают, как правило, с помощью осциллографа.

Обозначение нелинейных сопротивлений и их характеристики

2. Характеристика по действующим значениям. Эти характеристики устанавливают связь между действующими значениями величин, характеризующих работу нелинейного элемента:

Такие характеристики можно получать экспериментально с помощью приборов, измеряющих действующие значения указанных величин, либо с использованием характеристик по мгновенным значениям. К сожалению, эти характеристики не однозначны, так как по их виду невозможно установить, какими формами кривых тока и напряжения они обусловлены.

3. Характеристики по первым гармоникам – устанавливают связь между амплитудными либо действующими значениями первых гармонических величин, характеризующих работу нелинейного элемента, т. е.

Эти характеристики также неоднозначны.

16

2.2. ВИДЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Все нелинейные характеристики по их реакции на электрический сигнал переменного тока можно разделить на две большие группы.

1. Инерционные – те, которые не успевают изменить свою величину в течение одного периода изменения приложенной к нелинейному элементу величины тока или напряжения. К такому типу относятся нелинейные элементы, которые обладают тепловой инерцией (лампы накаливания), а также различные электромеханические устройства с вращающимися частями, имеющие большой момент инерции.

2. Безынерционные – элементы, изменяющие свою величину в весьма широких пределах в течение одного периода изменения входной величины, например полупроводниковый диод, изменяющий свою величину от нуля до бесконечности в течение одного периода.

Особое место занимают условно-нелинейные элементы. К ним относятся элементы, у которых связь между мгновенными значениями тока и напряжения линейная, а между действующими значениями – нелинейная. К условно-нелинейным элементам, как правило, относятся инерционные нелинейные элементы. Характерной особенностью цепей с такими элементами является возможность их расчета для каждого действующего значения линейными методами (например, символическим методом расчета цепей переменного тока с использованием комплексных чисел).

2.3. МЕТОДЫ РАСЧЕТА НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Основными методами расчета нелинейных электрических цепей переменного тока являются:

1)графический метод;

2)графоаналитический метод;

3)аналитический метод.

Графический метод достаточно прост и нагляден, однако обладает невысокой точностью, хотя надо отметить, что при использовании современной вычислительной техники и программ MathCAD, MathLAB и других удается получить достаточную для практики точность.

Аналитический метод, безусловно, обладает высокой точностью, однако он очень сложен и в большинстве случаев трудно осуществим.

Графоаналитический метод сочетает достоинства обоих ранее рассмотренных методов и обладает достаточно высокой точностью.

17

Графический метод можно разделить на два по способу использования характеристик:

а) характеристики по мгновенным значениям; б)характеристики по действующим значениям.

Рассмотрим пример расчета электрической цепи, содержащей последовательное соединение активного сопротивления и полупроводникового диода, по характеристикам для мгновенных значений.

На изображенной прямоугольной системе координат (рис. 2.1), обозначим оси i, u. В полученной системе координат зададим вольтамперные характеристики выпрямительного диода и активного сопротивления R. На продолжении оси ординат построим кривую заданного напряжения u(t). Далее, складывая характеристики диода и активного сопротивления R при одних значениях тока, получим кривую

(uд uR )i . Задаваясь произвольными моментами времени на кривой напряжения u(t), находим значение тока на кривой (uд uR )i , соответ-

ствующее напряжению и времени. Пересечение перпендикуляров, восстановленных к осям ординат и абсцисс в полученных точках, дает

18

мгновенное значение тока. Проведем аналогичные построения для других моментов времени кривой u(t) и, соединив точки, получим гра-

фическую зависимость i(t) (рис. 2.1).

Полученную временную зависимость i(t) раскладывают в ряд Фурье, а потом рассчитывают электрическую цепь как линейную цепь несинусоидального тока. В ряде случаев для построения искомой кривой приходится прибегать к методу кусочно-линейной аппроксимации вольт-амперных, кулон-вольтовых и вебер-амперных характеристик, в дальнейшем используются методы графического дифференцирования построенных кривых для получения результирующей графической зависимости. При этом само построение необходимых характеристик производится с помощью записанной для данной схемы системы уравнений по законам Кирхгофа. Большой интерес представляет расчет нелинейных электрических цепей с условно-нелинейными элементами? либо с устройствами, которые могут считаться условно-нелинейными. К таким можно отнести катушку со стальным сердечником.

2.4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПРОЦЕССЫ В КАТУШКЕ СО СТАЛЬНЫМ СЕРДЕЧНИКОМ

Работа современных предприятий немыслима без преобразования одних видов энергии в другие. Устройства, служащие для этих преобразований, называются энергетическими машинами. Одним из видов таких энергетических машин являются электрические генераторы, преобразующие паровую, гидравлическую и механическую энергию в электрическую.

Электрическая энергия с помощью линий электропередач передается на значительные расстояния, а затем вновь преобразуется в другие виды энергии, например в механическую. Преобразование такого вида осуществляется с помощью электрических двигателей. Однако электрические параметры электродвигателей зачастую сильно отличаются от электрических параметров линий электропередач (ЛЭП). Изменение параметров ЛЭП необходимо для работы различных электроустановок и осуществляется с помощью специальных устройств, которые называются трансформаторами. Трансформатор с одной обмоткой – это и есть катушка со стальным сердечником (рис. 2.2). Изучение электромагнитных процессов в катушке со стальным сердечником очень важно, так как позволяет понять особенности работы широкого класса электрических установок (электрические двигатели, генераторы, преобразователи и т. д.).

19