-91 -

3.4.6.Направленные ациклические графы вывода

RAP-последовательность вывода имеет свое графическое представление в виде помеченных направленных ациклических графов. Напомним, что ориентированный ациклический граф (DAграф) - это ориентированный граф, не имеющий циклов ни в одной вершине, а помеченный граф к тому же имеет для каждой вершины метку из множества L. Дадим определение для графа вывода.

Если имеется множество функциональных зависимостей F над схемой R, тогда DA-графом вывода над F будет ориентированный ациклический граф, помеченный метками из R и построенный по следующим правилам:

R1. Любое множество изолированных вершин из множества R является DA-графом над F.

R2. Если имеется DA-граф вывода H над F, содержащий вершины с метками A1, A2, ...,Ak, и функциональная зависимость A1 A2 ...Ak CZ, то можно построить новый граф H путем добавления к исходному графу H новой вершины, помеченной как C и соединенной дугами с вершинами A1, A2, ...,Ak.

R3. Никакой другой граф не является DA-графом вывода над F.

По аналогии с RAP-последовательностью вывода DA-граф вывода над F, который мы будем называть DDA-графом над F, строится путем однократного применения первого правила и некоторого количества применений второго правила.

Среди вершин графа следует выделить множество начальных вершин, к которым относятся те, которые не имеют входящих в них дуг. Все начальные вершины добавляются в DDA-граф только с помощью правила R1.

Формально граф H является DDA-графом вывода для зависимости X→Y, если

•X - множество меток начальных вершин;

•каждый атрибут из Y является меткой какой-либо из вершин

графа.

Аналогично другим выводам DDA-граф обладает используемым множеством, которое определяется следующим образом:

- 92 -

Используемым множеством DDA-графа для функциональной зависимости X Y над множеством функциональных зависимостей F является множество U(H), включающее все зависимости из F, использованные при построении графа H, с использованием правила R2.

Рассмотрим применение DDA-графа на примере. Имеется множество зависимостей F = {AB→E, AG→J, BE→I, E→G, GI→H}. Надо построить DDA-граф для функциональной зависимости AB→GH.

Построение графа всегда начинается с использования правила R1. В результате получается граф, состоящий исключительно из начальных вершин. В качестве начальных вершин выбираются помеченные метками из левой части функциональной зависимости AB→GH:

.

На следующем этапе используется только правило R2 для всех зависимостей, у которых левые части уже полностью включены в граф. Таким образом, мы добавляем вершину с меткой E, используя зависимость AB→E, и вершину, помеченную как G, используя E→G.

- 93 -

Как видно из последнего рисунка, все атрибуты левой части выводимой зависимости имеют соответствующие им вершины в полученном графе. Используемым множеством DDA-графа будет множество U(H) = {AB→E, BE→I, E→G, GI→H}.

3.4.7. Проверка принадлежности к замыканию множества функциональных зависимостей

Для проверки выводимости функциональной зависимости X→Y из множества функциональных зависимостей F достаточно проверить принадлежность зависимости к замыканию F. Однако величина F+ может оказаться достаточно большой. Следовательно, желательно найти алгоритм, позволяющий выполнять проверку с меньшими затратами времени.

Рассмотрим понятие замыкания атрибута X над F, которое представляет собой множество всех атрибутов C R, для которых справедливо F X C, и обозначается как X+.

Отметим еще раз, что если замыкание F - множество функциональных зависимостей, то замыкание X - множество атрибутов.

После нахождения замыкания X можно утверждать, что выведена зависимость X → Z из F и к Z не может быть добавлено ни одного атрибута без нарушения замыкания F. Таким образом, если правая часть зависимости X→Y является подмножеством Z, то эта зависимость выводится из F. Задача нахождения замыкания множества атрибутов является основой многих алгоритмов синтеза и

- 94 -

верификации схем реляционных баз данных, поэтому большое количество работ посвящено разработке и модификации соответствующих алгоритмов. Рассмотрим алгоритм, главным достоинством которого является простота восприятия.

Будем считать, что на входе рассматриваемой функции CLOSURE - множество атрибутов X и функциональных зависимостей F над схемой R. Дополнительно введем два множества зависимостей OLD и NEW.

CLOSURE(X,F) begin

OLD := ; NEW := X; while NEW OLD do begin

OLD := NEW;

for каждая зависимость {W Z} F do if W NEW then

NEW := NEW Z

end return(NEW) end.

Алгоритм обладает сходимостью, потому что в начале каждого цикла происходит проверка того, произошло ли добавление очередного атрибута или группы атрибутов к множеству NEW, и если оно осталось без изменений, то работа алгоритма прекращается. В противном случае на каждом шаге будет прибавляться конечное количество атрибутов из схемы R, содержащей конечное количество атрибутов.

Проиллюстрируем работу алгоритма на примере рассмотренного ранее множества зависимостей F = {AB→E, AG→J, BE→I, E→G, GI→H}. Надо найти замыкание для множества атрибутов AB.