- 85 -

F1. Рефлексивность: X X.

F2. Пополнение: X Y ZX Y.

F3. Аддитивность: X Y и X Z X YZ. F4. Проективность: X YZ X Y.

F5. Транзитивность: X Y и Y Z X Z.

F6. Псевдотранзитивность: X Y и YZ W X Z W.

3.4.3. Применение аксиом вывода

С использованием аксиом вывода можно получить и другие правила для вывода функциональных зависимостей. При проверке полученных правил в качестве опровержения достаточно привести пример отношения, которое удовлетворяет исходным зависимостям и не удовлетворяет выведенным. Например, утверждение о том, что зависимость XY → ZW влечет за собой зависимость X→Z, легко можно опровергнуть на примере отношения, содержащего оценки студентов за весеннюю сессию:

оценки( ФАМИЛИЯ ПРЕДМЕТ ОЦЕНКА ЭКЗАМЕНАТОР )

Как видно из конкретного отношения, в нем выполняется зависимость ФАМИЛИЯ ПРЕДМЕТ → ОЦЕНКА ЭКЗАМЕНАТОР, но зависимость ФАМИЛИЯ → ОЦЕНКА уже не удовлетворяется.

Рассмотренная система аксиом полна, что говорит о том, что любая выводимая из множества функциональных зависимостей F- зависимость может быть получена путем применения к нему аксиом вывода.

С другой стороны, эта система аксиом избыточна, поскольку обладает собственным подмножеством, которое обладает свойством полноты. Таким множеством являются аксиомы F1, F2 и F6. Все остальные аксиомы могут быть выведены из них. Аксиомы F1, F2 и F6 являются независимыми: ни одна из них не может быть выведена из двух оставшихся. Эти аксиомы называются аксиомами Армстронга.

Для дальнейших рассуждений нам понадобится использовать понятие замыкания множества функциональных зависимостей. Дадим определение.

Пусть F - множество функциональных зависимостей для отношения r(R). Замыканием множества функциональных зависимостей F, обозначаемого, как F+, называется множество функциональных зависимостей, полученное из F путем

- 86 -

применения к нему аксиом вывода, причем дальнейшее применение аксиом уже не может дать более ни одной новой зависимости.

Проще говоря, F+ - множество, состоящее из всех зависимостей, которые можно вывести из F, и не содержащее ни одной зависимости, не выводимой из F.

Таким образом можно говорить о справедливости утверждений:

•Если зависимость X→Y принадлежит к F+, то она выводится из F.

•Если зависимость X→Y выводится из F, то она принадлежит к F+.

Замыкание не может быть увеличено, то есть F+ = (F+)+. Многие трудности связаны с большим размером замыкания. Например, если имеется множество F = {A→B, B→C} функциональных зависимостей на схеме R=ABC, то его замыкание будет представлять собой F+ = {A→A, AB→A, ABC→A, B→B, AB→B, ABC→B, C→C, AC→C, ABC→C, AB→AB, ABC→AB, AC→AC, ABC→AC, BC→BC, ABC→BC, ABC→ABC, A→B, AC→B, B→C, AB→C, A→C, AB→C}.

Легко представить, что же произойдет, если вырастет и количество атрибутов в схеме, и количество функциональных зависимостей. В дальнейшем понятие замыкания будет использоваться достаточно часто, но вычисляться не будет.

Кроме понятия замыкания будем использовать и противоположное ему понятие.

Если имеется множество функциональных зависимостей F над схемой R и множество G всех возможных функциональных зависимостей над R, то внешностью множества F будет называться множество F- =F+ - G.

Другими словами, множество G содержит все зависимости, которые нельзя вывести из F.

3.4.4. Выводы на основе аксиом вывода

Как уже упоминалось, если F влечет зависимость X→Y, то всегда можно из множества F вывести зависимость X→Y с помощью аксиом вывода. Эту последовательность применения аксиом называют выводом зависимости X→Y. В процессе вывода включаются зависимости, которые либо принадлежат множеству F, либо получаются в результате применения аксиом вывода к совокупности зависимостей, принадлежащих F и выведенных ранее.

- 87 -

Рассмотрим пример вывода для множества F = {AB→E, AG→J, BE→I, E→G, GI→H} функциональной зависимости AB→GH.

Перед получением вывода напомним, что в него входят на каждом шаге выводимые функциональные зависимости, исходные (заданные ранее или выведенные на одном из предыдущих шагов) и правила вывода (в рассматриваемом случае - аксиомы вывода).

При рассмотрении выводов всегда следует помнить о том, что результат может быть достигнут разными путями, как с использованием различных аксиом, так и за различное число шагов. Рассмотрим другой вариант вывода той же зависимости.

Второй вариант вывода короче, однако результат получен тот же: функциональная зависимость AB → GH выводится из множества функциональных зависимостей F.

В теории реляционных баз данных часто применяется понятие используемого множества вывода. Если мы рассмотрим столбец

- 88 -

«Полученная зависимость», то увидим, что в него входят два вида зависимостей: взятые из множества F и выведенные из них.

Используемым множеством вывода P функциональной зависимости X Y из множества функциональных зависимостей F называется такое его подмножество G, в которое входят только те зависимости из F, которые используются при выводе.

В рассмотренном примере используемым множеством будет следующее множество: G = {AB→E, BE→I, E→G, GI→H}. В используемое множество не вошла только одна зависимость из F:

AG→J.

Различным выводам функциональных зависимостей в общем случае соответствуют различные используемые множества.

Ранее давалось утверждение, что система аксиом Армстронга полна. Покажем на том же примере, что вывод можно получить и с помощью одних только аксиом Армстронга.

Обратите внимание на то, что на шагах 5 и 12 использовалась практически аксиома транзитивности, что правомерно, поскольку данная аксиома является частным случаем аксиомы псевдотранзитивности с Z= .

Следует заметить, что выводы с помощью аксиом Армстронга можно считать больше упражнением для ума, чем аппаратом для практической работы, из-за достаточно большой сложности, как стало ясно уже на достаточно простом примере.

-89 -

3.4.5.RAP-последовательность вывода

Ранее уже было показано, что некоторые подмножества аксиом вывода обладают полнотой, то есть если существует последовательность вывода P для X→Y, использующая аксиомы F1-F2, то обязательно существует и последовательность вывода P` для X→Y , которая использует только аксиомы из выбранного подмножества.

Однако на практике наибольшее применение нашло множество аксиом, которое не является подмножеством аксиом F1-F6. Это множество называется B-аксиомами. Если мы имеем отношение r(R) и подмножества X, Y, Z и W схемы R и одиночного атрибута C в R, то имеем набор аксиом:

Приведенные аксиомы корректны, поскольку каждая из них может быть выведена из аксиом F1-F6. Для первой и третьей аксиом это очевидно, поскольку они полностью совпадают с аксиомами F1 и F4, а аксиома накопления выводится следующим образом:

Полнота B-аксиом доказывается выводом из них аксиом Армстронга. Рефлексивность совпадает с аксиомой B1. Пополнение выводится следующим образом:

Теперь рассмотрим вывод для псевдотранзитивности:

- 90 -

Как видно из приведенных выводов, последовательность вывода можно достаточно строго формализовать. Такой подход называется RAP-последовательностью вывода (по первым буквам названия B- аксиом: Reflexivity, Accumulation, Projectivity). Эту последовательность можно записать в виде трех правил для проверки принадлежности X→Y к замыканию множества F:

1.Первая зависимость в последовательности вывода - X→X .

2.Последняя зависимость - X→Y.

3.Все промежуточные зависимости определяются следующим образом: они либо принадлежат F, либо выводятся с помощью аксиомы B2.

Рассматриваемый подход позволяет достичь нужного результата путем многократного аккуратного перебора всех функциональных зависимостей в множестве F. Другим очевидным преимуществом данного метода является простота его программной реализации, к которой мы еще вернемся несколько позже.

В качестве примера рассмотрим опять то же множество функциональных зависимостей, что и для вывода с помощью системы аксиом F1-F6. Множества F = {AB→E, AG→J, BE→I, E→G, GI→H}. Надо вывести функциональную зависимость AB→GH.