Специальные разделы курса теоретических основ электротехники. Применение матриц и теории графов для формирования уравнений по методу узловых потенциал

Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ф.Э. ЛАППИ, Ю.Б. ЕФИМОВА

СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ КУРСА ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ОСНОВ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦ И ТЕОРИИ ГРАФОВ ДЛЯ ФОРМИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ПО МЕТОДУ УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

НОВОСИБИРСК

2016

1

УДК 621.3.011.714(075.8) Л 245

Рецензенты:

д-р техн. наук, проф. В.Ю. Нейман, канд. техн. наук, доц. Ю.В. Морозов

Работа подготовлена на кафедре ТОЭ для студентов факультета механотроники и автоматизации

Лаппи Ф.Э.

Л 245 Специальные разделы курса теоретических основ электротехники. Применение матриц и теории графов для формирования уравнений по методу узловых потенциалов: учеб. пособие // Ф.Э. Лаппи, Ю.Б. Ефимова. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2016. – 48 с.

ISBN 978-5-7782-3049-1

Рассматривается один из главных методов анализа электрических цепей – метод узловых потенциалов.

В рабочей программе курса предусмотрено изучение данного метода применительно к электрическим цепям, сформированным из основных элементов, а именно резисторов, индуктивностей и емкостей, имеющих соответствующую линейную характеристику. Современные электрические и электронные цепи содержат большое количество элементов, поведение которых невозможно описать, используя только понятие проводимости, которое является основным при традиционном применении метода узловых потенциалов. В настоящее время разработано много более сложных форм метода узловых потенциалов. Это позволило эффективно использовать компьютер для анализа любых процессов в электрических и электронных цепях практически любой сложности.

Пособие предназначено для бакалавров и магистрантов, желающих, вопервых, закрепить знания, полученные в курсе высшей математики в части, касающейся теории графов, матричной алгебры, во-вторых, получить первые навыки анализа сложных электрических и электронных цепей методом узловых уравнений.

ВВЕДЕНИЕ

Современные электрические цепи – это совокупность электротехнических устройств, в состав которых входит большое количество разнообразных элементов. Основными элементами являются резисторы, индуктивности и емкости, имеющие соответствующие линейные характеристики.

Развитие электроники привело к появлению новых элементов, поведение которых невозможно описать, используя только понятие проводимости. Это обстоятельство, а также рост сложности устройств существенно увеличили трудности аналитических расчетов электрической цепи. При этом в ряде случаев трудно достичь необходимой точности результатов.

Решение проблемы состоит в использовании для расчетов компьютерных программ.

Применение вычислительной техники требует формализации записи уравнений для цепи. Весьма пригоден для этой цели топологический метод, когда для отражения структуры схемы электрической цепи используется такое понятия, как граф, являющийся изображением структуры схемы цепи, в которой ветви схемы представлены отрезками кривых, узлы – точками. Этот метод включает в себя использование матричной формы записи и решения системы линейных алгебраических уравнений.

Необходимо также заметить, что в современных пакетах прикладных компьютерных программ в качестве метода расчета электрической цепи заложен метод узловых потенциалов, являющийся наиболее рациональным при расчете сложных электрических цепей.

В настоящей (первой) части пособия рассматривается метод узловых потенциалов в той форме, которая обычно изучается в курсе теоретических основ электротехники. Речь, фактически, идет о составлении уравнений и их ручном счете. Кроме того, здесь рассматриваются основы применения матриц и теории графов для анализа электриче-

3

ских и электронных цепей, состоящих из линейных элементов. Цель учебного пособия – помочь студентам освоить эти способы составления уравнений. Предполагается, что в результате изучения данного пособия будет выполнена работа по автоматическому расчету заданной схемы в определенном диапазоне.

4

1.ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ

ИЕЕ ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

Электрической цепью (в дальнейшем – цепь) называют любую совокупность электрических и электронных устройств, электромагнитное состояние которых можно охарактеризовать с помощью понятий «электрическое напряжение» и «электрический ток».

В ряде устройств вполне достаточно использовать такие понятия, как напряжение и ток, чтобы проанализировать идущие в них процессы. В других устройствах этих понятий может и не хватить.

Пусть имеется какое-то электротехническое устройство. Для анализа протекающего в нем электромагнитного процесса необходимо составить схему замещения этого устройства, т. е. идеализированную цепь, которая является расчетной моделью устройства. Зачастую это достаточно сложная задача. Допустим, что схема замещения имеется. Схема состоит из набора элементов электрической цепи, соединенных определенным образом. Элементом электрической цепи будем называть идеализированное понятие, обладающее той или иной способностью, а именно:

а) вносить энергию в электрическую цепь (источник); б) рассеивать энергию (активное сопротивление); в) запасать энергию магнитного поля (индуктивность); г) запасать энергию электрического поля (емкость).

На рис. 1 изображена схема, содержащая эти основные элементы. Вернемся к рис. 1 и введем еще ряд важных понятий.

Ветвью схемы называется участок схемы, вдоль которого протекает один и тот же ток. В схеме, изображенной на рис. 1, имеется три ветви с неизвестными токами и одна ветвь с источником тока. Ветвь с

током i1 содержит три элемента, соединенных последовательно (ЭДС e1 , резистор R1 и индуктивность L1 ), ветвь с током i2 содержит три элемента, соединенные последовательно (ЭДС e2 , резистор R2 и емкость C2 ), ветвь с током i3 содержит один элемент – емкость C3 , ветвь с источником током J1(t) содержит один элемент.

5

1

Рис. 1. Схема, содержащая основные элементы электрической цепи

Узлом схемы называется точка соединения трех и более ветвей. В рассматриваемой схеме два узла – 1, 2 .

Контуром схемы называется замкнутый путь вдоль ветвей, при этом каждый узел встречается один раз. В схеме, изображенной на рис.1, имеется два независимых контура: 1-й содержит четыре элемен-

та (ЭДС e1 , резистор R1 , индуктивность L1 , емкость C3 ), 2-й содержит тоже четыре элемента (ЭДС e2 , резистор R2 , емкости C2 и C3 ).

Если к числу неизвестных параметров отнести напряжение на источнике тока, то в схеме появятся три контура.

В схемах электрических цепей принято положительное направление токов выбирать произвольно, а направление напряжения на пассивных элементах – совпадающее с направлением тока.

2. ЗАКОНЫ КИРХГОФА

Многочисленные задачи, которые приходится решать на практике, можно объединить в две основные группы.

В первую группу входят задачи анализа, когда известны конфигурация, параметры элементов цепи, но требуется определить токи,

7

напряжения и мощности на тех или иных отдельных участках или во

всей схеме цепи.

Во вторую входят задачи синтеза – известны токи и напряжения, требуется найти конфигурацию цепи и определить параметры элементов.

В основе методов анализа электрических цепей лежат законы, открытые немецким ученым Г. Кирхгофом (1824–1887).

Первый закон Кирхгофа

Алгебраическая сумма всех токов, сходящихся к любому узлу цепи равна нулю:

k 2

Дадим краткие пояснения первому закону Кирхгофа. 1. k 1, если ток в k -й ветви направлен от узла;

k 1 , если ток притекает к узлу.

2.Число независимых уравнений, которые необходимо составить и решить для определения токов и потенциалов в цепи равно числу уз-

лов ( Nу ) в схеме минус единица ( N1 Nу 1).

Второй закон Кирхгофа

В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма напряжений ветвей равна нулю:

k 1

Дадим краткие пояснения к второму закону Кирхгофа.

1.k 1 , если направление обхода контура совпадает с направление напряжения; k 1, если не совпадает.

2.Число независимых уравнений равно числу ветвей в цепи ( Nв)

минус число узлов в схеме цепи, уменьшенное на единицу: ( N2 Nв (Nу 1) ).

8

Часто применяется другая формулировка второго закона Кирхгофа: в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма всех падений напряжений равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре:

Запишем уравнения по законам Кирхгофа для схемы, изображенной на рис. 1.

Число уравнений по первому закону Кирхгофа равно:

Сделаем ряд замечаний к записанной системе уравнений (6).

1.При записи уравнений по второму закону Кирхгофа использована формула (3).

2.Направление обхода контура выбирается произвольно.

3.Особого внимания заслуживает ветвь с источником тока. Во-первых, это ветвь с известным током, во-вторых, напряжение на

зажимах uJ может быть исключено из числа неизвестных, так как если будут найдены токи во всех ветвях схемы, то легко вычислить uJ .

9

Поэтому обычно под числом ветвей в схеме, изображенной на рис. 1, в уравнении (5) понимают число ветвей с неизвестными токами. Для

схемы, изображенной на рис. 1, примем Nв 3 , тогда число контуров равно N2 Nв (N1 1) 2 , и достаточно составить два уравнения по

второму закону Кирхгофа для 1-го и 2-го контуров и одно уравнение для любого узла. В этом случае уравнение для 3-го контура можно не составлять.

Таким образом:

1)использование законов Кирхгофа позволяет получить (записать) систему дифференциальных уравнений (6). Для схемы, изображенной на рис. 1, это система линейных дифференциальных уравнений.

2)для решения полученной системы уравнений существует ряд методов, к ним относятся, например, методы, основанные на преобразовании Лапласа, Фурье, численные методы;

3)существенными недостатками системы уравнений, записанной на основании законов Кирхгофа, являются:

а) большое число уравнений; б) разреженность соответствующих матриц, что приводит к сниже-

нию эффективности вычислительного процесса. Следует иметь в виду, что вместе с тем:

1)система уравнений по законам Кирхгофа служит базой для формирования основных методов анализа узловых потенциалов и контурных токов.

2)формирование системы уравнений по вышеуказанным методам можно проводить вручную или с использование компьютера.

При этом важно отметить, что расчет с помощью метода узловых потенциалов рационален при расчете сложных электрических цепей и заложен в большинстве компьютерных программ, предназначенных для анализа электрических цепей.

Вот почему основное внимание в настоящей работе уделено разным формам метода узловых потенциалов, Поэтому студенты, получающие электротехническое образование, должны уметь использовать все модификации этого метода.

10