Специальные разделы курса теоретических основ электротехники. Применение матриц и теории графов для формирования уравнений по методу узловых потенциал

Рис. 13. Схема и ее ориентированный граф: а – схема; б – граф схемы

Рис. 15. Часть контуров графа

21

3. Деревом связного графа (схемы) называют связный подграф, содержащий все узлы графа (схемы), но ни одного контура. Примеры деревьев графа для рассматриваемой схемы показаны на рис. 16.

т. е. число ветвей дерева равно числу уравнений по 1-му закону Кирхгофа.

4. Ветви графа, дополняющие дерево до исходного графа, называют ветвями связи (дополнением дерева). На рис. 17 показаны ветви связи, соответствующие деревьям, изображенным на рис. 15.

Рис. 17. Примеры ветвей связи графа

5. Сечением графа (схемы) называют множество ветвей, удаление которых делит граф (схему) на два изолированных подграфа (подсхе-

му). Например, на рис. 13 показано одно сечение ( S1 ), которое образо-

вано ветвями 0, 2, 3.

6. Главным контуром называют контур, состоящий из ветвей дерева и только одной ветви связи. На рис. 18 изображена схема, ее граф, выбранное дерево (ветви 1, 2, 3) и соответствующие этому дереву

22

главные контуры (1-й контур: ветви 1, 2, 5). Обратите внимание, что в состав 4-й ветви включена ветвь с источником тока J1 .

Рис. 18. Главные контура, сечения:

а – схема; б – граф, контуры, сечения

т. е. равно числу уравнений по 2-му закону Кирхгофа.

7. Главным сечением считают сечения, состоящие из ветвей связи и только одной ветви дерева. Такие сечения ( S 1 , S2 , S3 ) показаны на

рис. 18.

Число главных сечений:

Очевидно, что число сечений равно числу уравнений по первому закону Кирхгофа.

Все приведенные понятия используются при топологическом анализе схем.

23

5. ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СХЕМ

Метод узловых потенциалов позволяет получить систему алгебраических уравнений, содержащих неизвестные потенциалы узлов i

( i 1,2.....n ).

Существует много методов решения этих систем уравнений. Один из методов предполагает вычисление определителя системы D и его

миноров Di ( i 1,2.....n ). D состоит из коэффициентов при неизвест-

ных потенциалах, и в общем случае определитель можно записать следующим образом:

Di получают из D путем замены i-го столбца на правую часть системы уравнений:

путем разложения по элементам какой-либо строки или столбца по правилу Крамера и т. д. Топологический метод позволяет сократить

объем вычислений D , Di .

24

6. НАХОЖДЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ СХЕМЫ

На рис. 19 показана схема и ее структурный граф.

Рис. 19. Простая схема и ее граф

В матрично-топологическом методе для расчета значения определителя используют:

а) комбинации составляющих структурных чисел; б) разложение определителя по узловой паре; в) разложение определителя по узлу; г) разложение определителя по ветви.

При решении задач достаточно часто применяется разложение определителя по узловой паре. В этом способе:

k1

Вформуле (20) Pk – величина k -го пути между двумя выбранны-

ми узлами, равная произведению проводимостей всех ветвей пути; Dk – алгебраическое дополнение, равное определителю схемы, полу-

чающейся после короткого замыкания ветвей пути. Если замыкаются накоротко все узлы, которые входят в рассматриваемый путь, то

Dk 1 ; m – число неповторяющихся путей между двумя выбранными узлами. Расчет Dk , в свою очередь, может быть осуществлен с ис-

пользованием формулы (20), естественно, для другой пары узлов в схеме, получающейся после короткого замыкания ветвей k -го пути.

Рассмотрим применение формулы (20) для графа, изображенного на рис. 19.

25

Выбираем узловую пару: узлы 1 и 2. Между этой парой имеется че-

Находим алгебраические дополнения. 1. Для первого пути – D1 .

Подграф схемы после замыкания ветвей первого пути показан на рис. 20, а.

Рис. 20. Графы схемы после замыкания путей:

а – подграф 1-го пути исходного графа; б – подграф подграфа; в – подграф подграфа

Для расчета алгебраического дополнения Da этого подграфа

(рис. 20, а) снова выбираем узловую пару: узлы 3,4. Между этой парой имеется три пути.

Первый – по ветвям 3,4. Pa1 Y3Y4 . Подграф подграфа после за-

мыкания этого пути показан на рис. 20, б, для этого достаточно принять, что Y3 Y4 0 , тогда узлы 3 и 4 тоже сливаются в точку (черная

точка). Алгебраическое дополнение для такого подграфа Da1 1 . Сле-

довательно, для первого пути подграфа, показанного на рис. 20, а,

Pa1Da1 Y3Y4 .

Второй – по 5-й ветви. Pa2 Y5 . Подграф подграфа после замыка-

ния этого пути, показан на рис. 20, в. Алгебраическое дополнение для такого подграфа Da2 Y3 Y4 . Следовательно, для второго пути под-

графа, показанного на рис. 20, а, Pa2Da2 Y5 (Y3 Y4 ) .

26

Третий – по 6-й ветви. Pa3 Y6 . Подграф подграфа после замыка-

ния этого пути показан на рис. 20, в. Алгебраическое дополнение для такого подграфа Da3 Y3 Y4 . Следовательно, для третьего пути под-

графа, показанного на рис. 20, а, Pa3Da3 Y6 (Y3 Y4 ) . Суммируя результаты для подграфа по рис. 20, а, получим:

2. Для второго пути – D2 .

Подграф схемы после замыкания ветвей второго пути будет таким же, как и для первого пути и показан на рис. 20, а. Следовательно,

P2D2 Y2 (Y3Y4 Y5 (Y3 Y4 ) Y6 (Y3 Y4 )) .

3. Для третьего пути – D3 .

Подграф схемы после замыкания ветвей третьего пути показан на рис. 20, б. D3 1. Следовательно, P3D3 Y3Y4Y5 1 .

4. Для четвертого пути – D4 .

Подграф схемы после замыкания ветвей третьего пути показан на рис. 20, б. D4 1 . Следовательно, P4D4 Y3Y6Y4 1.

Суммируя все произведения Pk Dk , получаем:

D Y1Y3Y4 Y1Y5Y3 Y1Y5Y4 Y1Y6Y3 Y1Y6Y4 Y2Y3Y4 Y2Y5Y3

Y2Y5Y4 Y2Y6Y3 Y1Y6Y Y3Y5Y4 Y3Y6Y4 .

При вычислении указанным способом не требуется составления исходной системы уравнений.

27

7. НАХОЖДЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ДОПОЛНЕНИЯ

Схемные функции

Значение Di (19) может быть рассчитано по формуле

k1

Вформуле (21) Dki – алгебраическое дополнение для определителя D (18). В топологическом методе анализа для определения Dki используют выражение

В выражении (22) Pk – величина k -го пути передачи, равная про-

изведению проводимости ветвей пути (для измерительного прибора принимается проводимость, равная безразмерной единице); Pk припи-

сывается знак плюс или минус в зависимости от того, положительное или отрицательное отклонение прибора вызовет ток пути от действия источника.

D – определитель пути, получающийся после короткого замыка- k

ния ветвей пути передачи, включая измерительный прибор (ИП). Введение в изображение структурного графа измерительного прибора позволяет подчеркнуть, какую схемную функцию предполагается рассчитать. При расчете схемных функций полагают, что в схеме имеется только один источник энергии. Тогда из формулы (21) следует, что

Di Jk Dki . В этом случае отношение

где Н – функция передачи (схемная функция), которая определяется только структурой и параметрами схемы. Учитывая выражение (22) и

полагая Jk 1, сведем выражение (23) к виду

P D

H k k . (24)

D

28

Найдем Z11 , K13U , Y16 для схемы, изображенной на рис. 19. Соответствующий граф и схема включения приборов показана на рис. 21.

Y1 Y4

Рис. 21. Граф схемы с приборами

Для нахождения Z11 необходимо определить показание амперметра A1 при известной величине E1 . Определим пути и дополнения пути через амперметр A1 . Таких путей и соответственно дополнений три: