Специальные разделы курса теоретических основ электротехники. Применение матриц и теории графов для формирования уравнений по методу узловых потенциал

Строки соответствуют узлам, столбцы – ветвям. Число строк равно числу независимых узлов: N1 У 1 , число столбцов – числу ветвей с

токами. Элемент матрицы A обозначают через aij , т. е. A aij , где i – номер строки; j – номер столбца; aij 1, если j-ветвь соединена с i-м узлом и ток в j-ветви направлен к i-узлу; aij 1, если j-ветвь соединена с i-м узлом и ток в j-ветви направлен от j-узла; aij 0 , если

j-ветвь не соединена с i-м узлом. Для уравнений (29а):

писи (29б) вводят матрицу B . Эта матрица получила название кон-

турной, элементами которой являются коэффициенты при неизвестных напряжениях в уравнениях (29б). Строки матрицы соответствуют контурам, столбцы ветвям.

Элемент матрицы B обозначают через bij , т. е. B bij , где i – номер контура; j – номер тока; bij 1, если ветвь содержится в i-м кон-

туре и направление тока в ветви совпадает с направлением обхода контура; bij 1, если ветвь содержится в i-м контуре и направление тока

в ветви не совпадает с направлением обхода контура; bij 0 , если ветвь не содержится в i-м контуре.

41

Матрица B для уравнений (29б) имеет следующий вид:

Выражение (32) представляет матричную запись второго закона Кирхгофа. Матрицы A и B являются базовыми при формировании

уравнений соответственно по методу узловых потенциалов и контурных токов.

Необходимо отметить, что выбор контуров неоднозначен, в то же время можно изменить нумерацию узлов, но сами узлы определяются схемой однозначно. Вследствие этого применение узловой матри-

цы A получило широкое распространение. Простое использование матрицы A не позволяет определить неизвестные токи, так как, во-

первых, число неизвестных токов больше числа уравнений (числа узлов минус единица) и, во-вторых, не учтен характер элементов, со-

ставляющих ветвь. Недостатком матрицы A в форме (31) является также учет известных токов J6 . Заметим, что запись второго закона

Кирхгофа в форме (32) фактически упрятала как известные величины

( E1 , E2 , E6 ), так и неизвестные ( I1Z1, I 2Z2 ).

Так как только полная система уравнений по двум законам Кирхгофа описывает поведение электрической цепи, то стремление

использовать преимущества матрицы A приводит к необходимости связать между собой матрицы A и B . Выделим из электрической цепи ветвь, изображенную на рис. 27.

42

U k

Рис. 27. Обобщенная ветвь

ставляя значение I kz I k J k , получим:

U k (I k J k )Zk Ek ,

(33)

I k (U k Ek )Yk J k .

Выражения (33) представляют закон Ома для так называемой обобщенной ветви (рис. 27).

Для всех ветвей схемы, изображенной на рис. 26, может быть записано выражение (33) в виде матричной формы закона Ома:

Следует заметить, что в (34) матрица IV включает в себя только

неизвестные токи ветвей, соответственно число столбцов матрицы A равно числу ветвей схемы только с неизвестными токами. В этом случае матрица A для схемы, изображенной на рис. 26, примет следующий вид:

В дальнейшем будем считать, что матрица A включает в себя ко-

эффициенты только неизвестных токов.

Если учесть, что напряжение ветви – это разность потенциалов узлов, к которым подключена ветвь, т. е. U12 1 2 (рис. 27), а матри-

ца A как раз и связана с узлами, то оказывается, что

рица узловых потенциалов. Для схемы, изображенной на рис. 26, ис-

матрица напряжений обобщенных ветвей. Введенные выше матричные топологические понятия и соотношения позволяют перейти к рассмотрению общих методов формирования уравнений схем.

44

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотренные методы формирования систем уравнений являются необходимым, но недостаточным условием успешного анализа процессов в электрических и электронных цепях. Чрезвычайно важными при анализе являются методы решения сформированной системы уравнений. В настоящей работе эти вопросы не нашли никакого отражения, ввиду того что это большой и достаточно сложный отдельный вопрос. Не рассматривались здесь также вопросы, связанные с особенностями применения метода при наличии в схемах элементов, для описания которых недостаточно использовать понятие проводимости. Несмотря на все это, рассмотренные методы создают прочную базу для дальнейшего более глубокого изучения современных подходов к анализу электрических и электронных цепей, содержащих элементы со сложными вольт-амперными характеристиками.

45

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Влах И. Машинные методы анализа и проектирования электронных схем / И. Влах, К. Сингал. – М.: Радио и связь, 1988. – 560 с.

2.Зевеке Г.В. Основы теории цепей / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. – 5-е изд., перераб. – М.: Энергоатомиздат, 1989. – 528 с.

3.Крылов В.В. Основы теории цепей для схемотехников практике / В.В. Крылов, М. Корсаков. – М.: Высшая школа, 1990. – 223 с., ил.

4.Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: учебник для бакалавров / Л.А. Бессонов. – М., 2012. – 701 с.

5.Теоретические основы электротехники: учебник для студентов вузов, обучающихся по направлениям подготовки бакалавра и магистров «Электротехника, электромеханика и электротехнологии», «Электроэнергетика» / К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин. – СПб.: ПИТЕР, 2009. – Т. 1 – 512 с.

46

47

Лаппи Феликс Эдуардович Ефимова Юлия Борисовна

СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ КУРСА ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ОСНОВ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦ И ТЕОРИИ ГРАФОВ ДЛЯ ФОРМИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ПО МЕТОДУ УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ

Учебное пособие

Редактор Л.Н. Ветчакова

Выпускающий редактор И.П. Брованова Дизайн обложки А.В. Ладыжская Компьютерная верстка Л.А. Веселовская

Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета

630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20

48