Специальные разделы курса теоретических основ электротехники. Применение матриц и теории графов для формирования уравнений по методу узловых потенциал

1) P1 Y1 1 Y5Y4 ,

D1V 1 ;

2) P2 Y1 1 Y6Y4 ,

D2V 1 .

i 2

Находим сумму произведений:

Pi DiV

D22 .

i 1

D22

V

Показания амперметра: V

V

E

; KU

.

1

D

13

E1

Для нахождения

Y16 необходимо определить показание ампер-

одно: P1 Y1Y3 1 Y6Y4 ; D1A2 1.

Находим произведение: P D

D .

1

1A2

33

D33

I 6

Показания амперметра: A

I

E

. Y

.

6

6

1

D

16

E1

нального графа заключается в том, что он

a

составляется по уравнению (или для си-

X

X1

стемы уравнений). Уравнению X1 aX0

0

соответствует графическое изображение

Рис. 22. Сигнальный граф

(сигнальный граф), рис. 22.

Z1

I 2

I 3

I1

Z2

Z3

I 4

Z4

E1

3

4

Z5

Z6

I 5

J1

I 6

2Y32 3Y33 4Y34 J1 ,

(25)

2Y42 3Y43 4Y44 J1 .

При этом

Y

1

1

1

;

Y

1

и т. д.

22

Z1 Z2

Z3

23

Z2

Выразим явно 2 , 3 , 4 :

Y23

Y24

E

Y1

;

2

4

Y

1 Y

3 Y

22

22

22

Y32

Y34

J

1

;

(26)

2 Y

4

Y

1 Y

3

33

33

33

Y42

Y43

J

1

.

4

1 Y

2 Y

3

Y

44

44

44

32

1

I 2

J1

1

Z2

Z2

C3

b23

C2

b34

1

C1

b32

b

Z

6

E1

43

I 6

2

3

4

b42

b24

Рис. 24. Сигнальный граф

C

Y1

,

C

2

1

,

C

1

, b

Y23

и т. д.

1

Y22

Y33

3

Y44

23

Y22

В граф можно ввести, используя закон Ома, точку, соответствую-

щую любому току, в частности, токам I 2 ,

I 6 .

Главные понятия сигнального графа приведены в табл. 3.

Таблица 3

1

Исток – узел, к которому присоединены только исходящие ветви ( E1 ,

J1 )

2

Сток – узел, из которого не выходит ни одна ветвь ( I 2 , I6 )

Путь – непрерывная последовательность ветвей между двумя различ-

ными узлами при условии, что начальный узел каждой ветви (кроме

3

первой совпадает с конечным узлом предыдущей и каждый узел

и ветвь в этой последовательности встречается только один раз

C

b

b

1

1

32

43

Z6

Прямой путь (путь передачи) – путь графа, начинающийся

4

в истоке и заканчивающийся в стоке C

b

1

1

32

Z2

33

Окончание табл. 3

Передача прямого пути – Пk произведение передач этого пути

5

П

С b

b

1

k

1 32

43

Z6

6

Контур – замкнутый путь графа ( b23 b32 , b43 b34 )

Передача контура Lk

– произведение передачи ветвей этого контура

7

(в частности), контур может состоять из одной ветви в виде петли

( L1 b42b24 )

8

Определитель графа – определитель системы уравнений, отображен-

ных графом

Минор прямого пути k – определитель графа, получаемого из исход-

9

ного графа при исключении ветвей, принадлежащих каждому прямому

пути, и ветвей, имеющих с ним общие узлы (т. е. определитель той ча-

сти исходного графа, которая не сопрягается с k -м прямым путем)

Особо следует сказать о петле. Рассмотрим уравнения X2 aX1

cX3 ,

X3 bX 2 ,

которым соответствует граф, изображенный на

рис. 25.

a

c

bc

b

ab

X1

X2

X3

X1

X3

а

б

Рис. 25. Сигнальный граф, имеющий петлю:

а – исходный граф; б – преобразованный граф

Подставляя значение

X2 aX1 cX3 в выражение

X3 bX 2 , полу-

чим

X3 abX1 bcX3 . В этом уравнении

X3 выражено через X1 и са-

Таблица 4

Операция

Исходный граф

Преобразованный граф

Последовательное со-

x1

a

x2

b

x3

x1

ab

x3

единение

Устранение простой

x1

a

b

x2

x

ab

x2

узловой точки

c

x3

ac

x3

1

Параллельное соедине-

x1

b

x2

x1

a b

x2

ние

a

Устранение контура

x

x

b

x

ab

bc

в пути

1

a

2

c

3

x1

x3

c

ab

Устранение петли

1 c

x1 a

x2 b x3

x1

x3

x

d

x5

1

Инверсия пути

d

x5

a

b

x

x1

a x2 b

3

x1 a

x2 c

3

c

x4

x4

b

a

c

ab

bd

cd

x

b

x

d

x

x

ac

x

1

2

3

Комплексные преобра-

1

3

cd

зования

b

c

ac

1 b

x1

a

x2

d

x

1 b

3

x1

x3

35

Окончание табл. 4

Операция

Исходный граф

Преобразованный граф

a

c

ab

cd

x2

ac

Комплексные преобра-

x1 b

1 f

1

f

d x3

1

f

зования

f

x3

H

Пk k

.

(27)

туров, соприкасающихся с k -м путем.

1 Li Li Lj Li Lj Lk ...,

(28)

I

I

H

2

;

H

2

.

2

E1

2

J1

36

П

П

k

k

;

k

k

;

H2

H2

1. Находим .

а) Определим контуры и их передачи:

1-й контур:

L1 b32b23 ;

2-й контур:

L2 b42b24 ;

3-й контур:

L3 b34b43 ;

4-й контур:

L4 b32b43b24 ;

5-й контур:

L5 b23b42b34 .

1

C1 Z2

;

1 L3 ;

1-й путь

П7

1

2-й путь

П2

C1b32

1

;

2

1;

Z2

3-й путь

П

C b b

1

;

1.

3

1 42 34

Z2

3

3. Суммируя произведения П П

П

S , находим

1

1

2

2

3

3

1

1-й путь

П

C

1

1 L ;

2

1

Z2

1

2

2-й путь

П

C

b

1

1;

2

2

23

2

Z2

3-й путь

П

C

b b

1

1;

2

3

43 24

3

Z2

4-й путь

П

C b

1

1;

4

3 34

Z2

4

5-й путь

П

C b b

1

1 .

5

3 24 32

5

Z2

Суммируя произведения:

П

+П

+П

+П

+П

S

2

,

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

S2

.

находим H2

5. Определяем ток I 2 H2 E1

H2 J1 .

2

I1

Z

I 2

Z

2

1

I 3

E1

U1

Z3

U 2

E2

1

Z4

I 4

Z5

I 5

4

3

I 6

J 6

U 6

E6

Z6

Рис. 26. Схема для записи основных матриц

1-й узел

I1 I 4 I 6 J 6 0 ,

2-й узел

I1 I 2

I3

0 ,

(29а)

3-й узел

I3 I 4

I5

0 .

1-й контур

I1Z1 I3Z3 I 4Z4

E1 ,

2-й контур

I 2Z2 I3Z3 I5Z5

E2 ,

(29б)

3-й контур

I 4Z4 I5Z5 I 6Z6

E6 .

Введем матрицы:

токов

напряжений ветвей

потенциалов узлов

I1

U

I 2

1

1

U

I 3

32

2

U

U

I

I 4

U

4

I 5

U

3

I 6

5

4

U

6

J6

ЭДС

сопротивлений ветвей

E1

Z1

Z 2

0

E2

Z

E

0

Z

3Z 4

0

0

0

Z 5

E6

Z 6