Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Специальные разделы курса теоретических основ электротехники. Применение матриц и теории графов для формирования уравнений по методу узловых потенциал

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

822 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

3. МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ (ручное формирование, классическая элементная база)

Главной целью этого метода является нахождение потенциалов узлов (точек) схемы. Если известны потенциалы, то легко можно найти токи. Рассмотрим схему, изображенную на рис. 2.

Е1	I	R	Е2
1			2

U12

Рис. 2. Участок схемы с двумя ЭДС

Используя второй закон Кирхгофа, получим:

U12 IR E1 E2 ,
или
I U12 E1 E2		1 2	E1 E2	.	(7)

	R		R
Выражение (7) получило название закона Ома для участка ветви с
ЭДС. Важно, что если 1	и 2 известны,		то можно определить ток в
ветви между точками 1 и	2 . Естественно, чтобы рассчитать потенциа-

лы в схеме, необходимо составить уравнения, которые в качестве неизвестных содержали бы потенциалы узлов.

Сформируем такую систему уравнений на примере цепи, изображенной на рис. 3.

I1	R1		3	R2	I2
			I3
E1			R3	J3	E2
E1
2	R5	I5	4	R4	I4
2					1
			R6	I6

Рис. 3. Цепь постоянного тока

Прежде всего запишем систему уравнений по первому закону

Кирхгофа (число уравнений равно: N1 4 1 3 ):
2-й узел	I1 I5 I6 0 ;
3-й узел	I1 I2 I3 J3	0 ;	(8)
4-й узел	I3 I4 I5 J3	0 .

Применяя закон Ома, выразим токи через потенциалы узлов:

2 3 E1

;

1 3 E2

;

3 4 ;

4 1 ;

(9)

4 2 ;

1 2 .

Как видно из уравнений (9), величина любого тока определяется разностью потенциалов. Отсюда следует важная рекомендация: при составлении расчетной схемы необходимо задать произвольно потенциал одного из узлов. Как показывает практика, лучше всего принять значение этого потенциала равным нулю (заземлить узел).

Итак, пусть	0 .	Обозначим: g	i	1	( i (1, 2.....6)) , где	g	i	–

1				Ri

проводимость, величина, обратная сопротивлениюRi .

Подставляя уравнения (9) в (8), группируя слагаемые, получаем:

2-й узел	2 (g1 g5 g6 ) 3g1 4 g5 E1g1 ;
3-й узел	2 g1 3(g1 g2 g3 ) 4 g3 E1g1 J3 E2 g2 ; (10)
4-й узел	2 g5 3g3 4 (g3 g4 g5 ) J3 .

Анализ выражений (10) позволяет сформулировать требования к системе уравнений по методу узловых потенциалов (сформулировать правила составления уравнений).

1. Число уравнений равно числу узлов минус единица.

2. Уравнение для узла K содержит:

а) слагаемое вида K gKK , где gKK – собственная узловая проводимость узла K ; gKK равно сумме проводимостей ветвей, соединенных с узлом K ;

б) слагаемое вида L gKL , где L – потенциал узла L , «соседнего»

с узлом K . «Соседнего» надо понимать, как имеющий связь с узлом K

через общее сопротивление

. Так,

например,

узлы 2 и 3

gKL

имеют связь через сопротивление

R . Следовательно,

ПроводимостьgKL

получила

название

общей

узловой

проводимости

узлов K

и L ;

в) в правой части учитываются источники энергии. Правая часть

каждого уравнения содержит алгебраическую сумму произведений

ЭДС на соответствующие проводимости для всех ветвей, присоеди-

ненных к узлу, и узловой ток, равный алгебраической сумме всех ис-

точников тока, присоединенных к узлу K (рис. 4).

Правая часть

для узла 1:

для узла 2:

E1g1

E2 g2

E1g1

E2 g2

J J

Рис. 4. Правило записи правой части уравнений

В общем случае система узловых потенциалов имеет следующий вид (схема содержит K + 1 узлов, потенциал одного из узлов принят равным нулю):

1g11 2 g12	.................... K g1K J11 ,
1g21 2 g22 ....................	K g2K J22	,	(11)
……………………………………….			(11)
……………………………………….
1gK1 2 gK 2 ....................	K gKK JKK .
	13

При этом собственная проводимость gii 0 , а взаимная gik

gki 0 .

Запись системы уравнений (11) для конкретной схемы может быть произведена сразу, без составления уравнений по первому закону Кирхгофа и использования закона Ома. Достаточно применить при составлении системы расчетных уравнений правила, сформулированные и приведенные выше. Отметим только, что предварительно следует провести простейшие преобразования в схеме (рис. 5) и не забывать, что внутреннее сопротивление тока стремится к бесконечности.

R R R

; g

R1 R2

; g

R12

Рис. 5. Простейшие преобразования

В качестве примера составим систему уравнений для схемы, изображенной на рис. 6.

E1		R	J1
		2	J1
	R	3	R3
1	1	3	4
1			4
	R4	R5
	E4		R6
			R6

Рис. 6. Схема для составления уравнений по методу узловых потенциалов

В схеме (рис. 6) пять узлов. Необходимо составить четыре уравнения. Однако, если принять потенциал первого узла равным нулю, то

потенциал второго узла будет равняться 2 E1 . Следовательно, достаточно составить три уравнения:

3-й узел

3 (g1 g2

g3 g5 ) 4 g3 5 g5 2 g2 ;

4-й узел

3g3

4 (g3 g6 ) 5 g6 J1 ;

(12)

5-й узел

3 g5 4 g6 5 (g4 g5 g6 ) E4 g4 .

Рассмотрим схему, изображенную на рис. 7.

Рис. 7. Схема, имеющая ветви с нулевыми сопротивлениями

Попытка в этой схеме составить систему уравнений по методу узловых потенциалов приводит к появлению неопределенности типа

бесконечность. Примем потенциал 1-го узла равным нулю. Тогда2 E1 , но если попытаться составить уравнение для 5-го или

6-го узла, то необходимо учесть проводимость ветви, содержащей ЭДС E2 , а она равна бесконечности (внутреннее сопротивление ЭДС

E2 равно нулю). Если потенциал 5-го узла принять равным нулю, то6 E2 , тогда, аналогичная проблема возникает при составлении уравнений для 1-го и 2-го узлов. В этом случае применяют вынос ЭДС

за узел. Правила выноса следуют из сравнения схем, изображенных на рис. 7 и 8.

В схеме, изображенной на рис. 8, равны соответственно потенциалы узлов: 1 2 и 5 6 . Фактически, в схеме неизвестными явля-

ются потенциалы четырех узлов. Примем потенциал 1-го узла равным нулю. Тогда и потенциал 2-го узла тоже равен нулю. Остается записать уравнения для 3, 4 и 5-го (или 6-го) узлов. Для 6-го узла уравнение будет иметь вид

4 (g5 g6 ) 6 (g5 g6

E1 E1

g4 g7 ) (E1 E2 )g4 E2 g5 .

		6
R4	E2	E2
	E2	E2

Рис. 8. Схема, после выноса ЭДС за узел

Внимательно проанализируйте это уравнение и составьте уравнения для 3-го и 4-го узлов.

Все вышесказанное в полной мере можно использовать и в случае, если в линейной цепи имеет место установившийся режим синусоидального тока. В схеме, изображенной на рис. 9, действуют источни-

ки ЭДС и тока одной и той же частоты 2 f 2T .

e1(t) E1m sin( t 1) , e2 (t) E2m sin( t 2 ) , J1(t) J1m sin( t J ) .

i1			2
R	L1		R	C2
1			2	C2
е1(t)			R3	е2 (t)
C1			R4	3
1			4	3
		J1(t)	4
		J1(t)
Рис. 9. Схема, содержащая основные элементы электрической
	цепи переменного тока

Если применить символический метод к схеме, изображенной на
рис. 9, то соответствующая расчетная модель изображена на рис. 10.
		2
R1	jωL1	R2	j 1
			ωC2
E1		R3	E2
j	1	R
j	ωC	R
1	3	4	3
1		4	3
	J1	4
	J1
Рис. 10. Расчетная модель схемы, изображенной на рис. 9

При этом:

E	E1m	e	j		E		E2m	e	j			J		J1m	e	j
			1	;		2				2	;		1			3 .
			1	;						2	;					3 .
1	2						2							2
	2						2							2

Подчеркивание символа говорит о том, что рассматривается уста-
новившийся синусоидальный режим. Применяя простейшие преобра-
зования, обозначим: Z	R	j L	Z	2	R	j	1	. Расчетная модель
1	1	1		2	2		C2
примет вид, изображенный на рис. 11.							C2
примет вид, изображенный на рис. 11.
			2
Z1							Z2
E1					R3			E2
1
j C1 jXC1 Z4						R4		3
1			4					3
		J1	4
		J1
Рис. 11. Расчетная модель схемы после преобразования

В схеме четыре узла. Примем потенциал 1-го узла равным нулю. Запишем уравнения по методу узловых потенциалов:


		1							1		1									1							1			E			E	2
2-й узел:	2																3					4								1				2	;
2-й узел:	2		Z					R			Z			2			3		Z		2	4				R				Z			Z	2	;
		1							3					2							2						3			1				2
3-й узел:	2				1				3		1							1			4				1				E	2	J1 ;					(13)
																														2
				Z			2						Z		2			R						R					Z	2
							2								2			4							4					2
4-й узел:		2					1			3				1		4					1		1					1				0 .

						R						R								R			Z		4			R
							3							4							3				4				4

Решив систему уравнений (13), найдем потенциалы узлов, а затем токи, используя закон Ома.

Приведенные примеры наглядно показывают простоту составления уравнений по методу узловых потенциалов. Существенными недостатками рассмотренного способа составления уравнений являются огра-

ничения на характер элементов, составляющих схему: не должно быть элементов с проводимостью, равной бесконечности, а также сложности программного продукта, реализующего идеи способа.

Изложенный подход для расчета сложных схем методом узловых потенциалов трудно реализовать в форме компьютерной программы.

Вследствие этого дальнейшее развитие метода узловых потенциалов связано: во-первых, с использованием матрично-топологического способа расчета и, во-вторых, с расширением элементной базы электрических схем.

4. ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СХЕМЫ

Топология изучает свойства электрической цепи, зависящие от ее структуры. Структуру электрической цепи при топологическом подходе отражают графы.

Рассмотрим схемы, изображенные на рис. 12, и запишем уравнения по законам Кирхгофа.

Рис. 12. Схемы, имеющие одинаковую структуру

Для схемы, рис. 12, а:

Для схемы, рис. 12, б:

i1 i2 i3 0 ;

i1R

i3dt e1;

L di1

i3R e1;

L di2

i3dt e2 .

i2dt i3R e2 .

Естественно, что эти различные уравнения имеют разные решения; запишем их, используя понятия u1, u2 , u3 .

В схеме, рис. 12, а, u1 i1R , а в схеме, рис. 12, б, u1 L didt1 .

Уравнения для схемы,	Уравнения для схемы,
рис. 12, а:	рис. 12, б:
i1 i2 i3 0 ;	i1 i2 i3 0 ;
	(14)
u1 u2 e1;	u1 u2 e1;
u2 u3 e2 .	u2 u3 e2 .

Получили две системы уравнений, одинаковые по форме для обеих схем.

Следовательно, эти схемы имеют общие свойства, описываемые законами Кирхгофа и обусловленные структурой расчетных схем, т. е. их топологией.

Приведем главные понятия топологического подхода.

1.Графом электрической цепи называют условное изображение схемы, в котором каждая ветвь заменяется отрезком линии.

На рис. 13 показана схема и ее структурный ориентированный (направленный) граф. У ориентированного графа всем ветвям дается направление, указанное стрелкой.

2.Подграфом графа называют часть графа. Например, вершина 1 или 2 и т. д.

Важное значение имеют следующие подграфы:

а) путь – упорядоченная последовательность ветвей, в которой каждые две соседние ветви имеют общий узел, но любая ветвь, узел встречаются только один раз. Если между любой парой узлов графа (схемы) существует путь, то граф называют связным (связной). На рис. 14 показана часть путей между узлами 1 и 3;

б) контур – замкнутый путь, в котором один из узлов является начальным и конечным узлом пути. Часть контуров показана на рис. 15.

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]