Специальные главы математического анализа. Теория вероятностей. Учебное пособие

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Н.С. Закревская

А.П. Ковалевский

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Утверждено Редакционно–издательским советом университета в качестве учебного пособия

НОВОСИБИРСК

2022

Оглавление

3

Глава 1

Элементарная теория вероятностей

§1. Случайный эксперимент, события

Теория вероятностей изучает математические модели случайных экспериментов. Со всяким случайным экспериментом можно связать множество Ω = {ω} всех его взаимоисключающих исходов. Это множество называют

пространством элементарных исходов. Результатом проведения случайного эксперимента является некоторый элементарный исход ω Ω. Событиями называют подмножества пространства элементарных исходов Ω. Выражение «произошло событие A» означает ω A, где ω — элементарный исход, явившийся результатом эксперимента. Любое «событие» в обычном понимании, то есть любой исход случайного эксперимента, может быть представлено некоторым подмножеством A Ω при подходящем выборе пространства элементарных исходов. В дальнейшем не будем различать «события» в обычном понимании и события — подмножества Ω.

Пусть A и B — какие-нибудь события (подмножества Ω).

Появление объединения событий A B в результате эксперимента означает, что элементарный исход ω A B , а это имеет место, если ω A

или ω B. Поэтому можно сказать, что объединение (сумма) событий происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из этих событий.

Аналогично, пересечение (произведение) событий происходит тогда и только тогда, когда эти события происходят совместно.

Разность A \ B событий происходит тогда и только тогда, когда происходит A, но не происходит B.

Противоположное событие A = Ω\A происходит тогда и только тогда, когда само A не происходит.

Говорят, что событие A влечет событие B, или A содержится в B, если A является подмножеством B: A B. События называются равными, или эквивалентными, если они совпадают как множества: A = B. Оче-

4

видно, что A = B тогда и только тогда, когда каждое из этих событий влечет другое.

События называют непересекающимися, или несовместными, если их пересечение есть невозможное событие. События из некоторой совокупности A1, A2, ..., An, ... называют попарно несовместными, если любые два из них несовместны, т.е. Ai ∩ Aj = при i ̸= j.

Заметим в заключение, что для обозначения введенных операций объединения (суммы), пересечения (произведения), разности событий используются также традиционные алгебраические символы: «+», «·», «−»:

Задачи для самостоятельного решения

1.1 Среди студентов, собравшихся на лекцию по теории вероятностей, наудачу выбирают одного. Пусть событие A заключается в том, что выбранный студент окажется юношей; событие B в том, что он не курит, а событие C - в том, что он живет в общежитии. Описать событие ABC. Когда справедливы:

1.2Рабочий изготовил 3 детали. Пусть событие Ai состоит в том, что i-я изготовленная им деталь имеет дефект. Записать событие, заключающееся в том, что:

а) ни одна из деталей не имеет дефектов; б) хотя бы одна деталь имеет дефект; в) ровно одна деталь имеет дефект;

г) не более двух деталей имеют дефекты; д) по крайней мере две детали не имеют дефектов; е) точно две детали дефектны.

1.3Событие A — хотя бы одно из четырех имеющихся изделий бракованное, событие B — бракованных изделий среди них не менее двух. Что означают противоположные события A и B?

Индивидуальные домашние задания

Задать пространство элементарных исходов Ω, соответствующее случайному эксперименту из условия задачи. Выписать множества A, B, C в виде подмножеств множества Ω. Описать словесно и в

5

виде подмножеств Ω события, противоположные A, B, C, а также событие D. Проверить, будут ли совместны события A и C? A и B? A и C? Ответ обосновать.

Вариант 1 Игральную кость бросают два раза. A — в первый раз выпало четное число очков, B — произведение выпавших очков нечетно, C — сумма очков больше 10, D = (A ∩ B) (C A).

Вариант 2 Для социологического исследования случайно выбирается семья с тремя детьми. A — первый ребенок — мальчик, B — первый ребенок — мальчик, третий — девочка, C — есть мальчик и девочка, D = (A ∩ B)\(A C).

Вариант 3 По каналу связи передаются последовательно три сообщения, каждое из них может быть передано правильно или искажено. A — только одно из трех сообщений передано правильно, B — не менее двух событий передано правильно, C — первое правильное сообщение является вторым по порядку, D = (A ∩ B ∩ C)\C.

Вариант 4 По мишени производится три выстрела. A — был всего лишь один промах, B — мишень поражена хотя бы 2 раза, C — стрелок или попал первым выстрелом, или не попал ни первым, ни вторым,

D = (A B C) ∩ A.

Вариант 5 У биатлониста 5 патронов, мишени стреляют до первого попадания. A — было потрачено ровно 5 патронов, B — было проведено не менее 3 выстрелов, C — стрелок или попал первым выстрелом, или не попал ни первым, ни вторым. D = (A B)\C.

Вариант 6 В коробке лежат 3 красных карандаша, 1 синий и 1 зеленый. Извлекают случайным образом 2 карандаша. A — извлекли два разных карандаша, B — среди извлеченных карандашей не оказалось синего, C — хотя бы один карандаш был синим. D = (A ∩ B)\C.

Вариант 7 У трамвая 3 двери. На остановке дверь может не открыться из-за поломки. A — первая дверь работает всегда, B — открылась хотя бы одна дверь, C — работает либо вторая, либо третья дверь. D = A\(B C).

Вариант 8 Монета подбрасывается до первого выпадения герба, но не более 4 раз. A — герб выпал при третьем подбрасывании, B — потребовалось менее трех подбрасываний, C — монету подбросили 4 раза. D = A\(B C).

Вариант 9 Монета подбрасывается 4 раза подряд. A — выпало 3 герба, B — гербов и цифр одинаковое количество, C — выпал хотя бы один герб.

D = A\(B ∩ C).

Вариант 10 Студент сдает 3 зачета: физкультура, проектная детельность, иностранный язык. A — сдал ровно 2 зачета, B — сдал хотя бы физкультуру, C — не сдал один зачет. D = A\(B ∩ C).

6

Вариант 11 В общежитии в комнате живут 4 студента, они решили по жребию разыграть два разных билета в кино. A — билеты достались первым двум, которые тянули жребий; B — билет достался тому, кто вытянул жребий третьим; C — первый билет достался одному из первых двух, второй билет одному из последних двух. D = (A\B) ∩ (A\C).

Вариант 12 Три монеты раскладывают в 3 копилки случайным образом. A — в двух копилках гремят монеты, B — в каждой копилке не более двух монет, C — хотя бы одна копилка пустая. D = A\(B C).

Вариант 13 Студент может написать контрольную по математике на 2, 3, 4 или 5. Контрольную по философии он напишет на 4 или 5. A — обе контрольные написаны более чем на 3 балла, B — контрольную по математике студент написал хуже, чем по философии, C — хотя бы одна контрольная написана не на отлично. D = (A\B) (A\C).

Вариант 14 У девочки Тани три подруги: Маша, Катя и Лена. Сегодня у них назначена встреча. A — Таня не встретится с двумя подругами, B — Таня встретится хотя бы с двумя подругами, C — на встрече будет не менее трех девочек. D = B\(A C).

Вариант 15 Листик клевера имеет от двух до четырех лепестков. Сорвали три листика. A — количество лепестков было различно, B — попался хотя бы один счастливый листик (с 4 лепестками), C — для счастья надо срывать еще листья. D = (A B)\(A ∩ C).

Вариант 16 На тарелке лежат 4 яблока, любое из них может оказаться червивым. A — одно яблоко червивое, B — не менее двух яблок червивые, C

— чтобы получить целое яблоко, пришлось брать с тарелки не менее 3 яблок.

D = A (B\C).

Вариант 17 В коробке три шара разного цвета: черный, белый и красный. Мудрец три раза подряд достает из коробки шар случайным образом, изучает его цвет и возвращает обратно. A — мудрец не смог вытащить красный шар, B — все три раза попадались разные шары, C — хотя бы один шар оказался черным. D = (A B)\(A C).

Вариант 18 В коробке шесть шаров по два каждого цвета: черные, белые и красные. Мудрец три раза подряд достает из коробки шар случайным образом, изучает его цвет и прячет его себе в карман. A — мудрец не смог вытащить белый шар, B — все три раза попадались разные шары, C — хотя бы один шар оказался черным. D = B (A\C).

Вариант 19 В компьютере неполадки могут возникнуть в трех разных системах. A — произошла одна неполадка в какой-то одной системе, B — неполадок не было хотя бы в одной системе, C — сломалась либо одна система, либо все три вышли из строя. D = B (C A).

7

Вариант 20 В ящике лежат носки: четыре черных, два серых и один красный. Носки извлекаются наудачу до получения пары (двух носков одного цвета). A — потребовалось не более четырех извлечений, B — потребовалось достать не более трех носков , C — хотя бы один носок оказался не парный. D = B\(A C).

Вариант 21 В ящике четыре черных и три серых носка. Случайным образом достают 4 носка. A — получилось две пары, B — получилось не менее одной пары, C — первые два носка не оказались парой. D = A\(B C).

Вариант 22 Преподаватель сочиняет варианты из четырех задач. Задачи бывают корректными и некорректными. Некорректная не решается. A — студент сможет решить первую и какую-нибудь еще задачу, B — студент не сможет решить хотя бы одну задачу, C — ровно половина задач в билете нерешаема. D = (B C)\(A ∩ C).

Вариант 23 Два ключа из пяти могут открыть сундук с сокровищами. Можно произвести только три попытки. A — сундук был открыт, B — потребовалось не менее двух попыток, C — герой потратил все попытки.

D= B\(A C).

Вариант 24 Пять монет раскладывают случайным образом по двум

карманам. A — в каждом кармане есть монеты, B — в левом кармане не более двух монет, C — в правом кармане больше монет, чем в левом.

D = (A C)\(B ∩ C).

Вариант 25 У Вовочки четыре пульки, он стреляет по воздушным шарикам до первого попадания. A — Вовочка попал со второй попытки, B — Вовочка истратил меньше 3 пулек, C — Вовочка истратил более 3 пулек.

D= (B ∩ C)\(A C).

Вариант 26 Две монеты подбрасывают два раза, каждый раз подсчиты-

вают количество гербов. A — в первом подбрасывании гербы были, B — в каждом подбрасывании не более одного герба, C — В первом подбрасывании гербов оказалось больше, чем во втором. D = (A ∩ B)\(A C).

Вариант 27 В дупле было 3 драгоценных камня и 5 обычных камней. Белка 4 раза достает случайным образом камень и кидает в разбойника. A

—белка кинула один драгоценный камень, B — разбойнику достались не только шишки на лбу, C — разбойнику достались все 3 драгоценных камня.

D = (A B)\(A ∩ C).

Вариант 28 Двое поочередно подбрасывают монету до выпадения герба, но не более 3 раз каждый. Выигрывает тот, кто сделал последний бросок. A

—каждый подбросил по два раза, B — монету кидали не менее 5 раз, C — выиграл второй игрок. D = (A B)\(A ∩ C).

8

Вариант 29 В лаборатории работают 8 человек. Каждый из них знает по два языка, все знают русский, кто-то знает французский и пятеро знают английский. Случайным образом выбирают четверых на конференцию. A — на конференцию не оказалось франкоговорящих, B — на конференции был хотя бы один знающий французский язык, C — франко- и англоговорящих было поровну. D = (A B C)\(B ∩ C).

Вариант 30 Игральную кость бросают два раза. Из полученных значений составляют двухзначное число. A — полученное число четно, B — получили число в диапазоне от 20 до 30; C — сумма цифр в числе не более 7. D = (A B C)\(A ∩ B ∩ C).

§2. Классическая вероятность

Пусть пространство элементарных исходов конечно: Ω = {ω1, ω2, ..., ωN }.

классическим определением вероятности. Из этого определения легко следует, что

М1. P(Ω)=1 и P(A) ≥ 0 для любого подмножества A Ω;

М2. для любых попарно несовместных множеств A1, A2, ... выполняется ра-

венство P(S∞i=1 Ai) = P∞i=1 P(Ai) (свойство σ−аддитивности).

Более того, о всякой функции заданной на множестве подмножеств из Ω и обладающей свойствами М1 и М2 мы в дальнейшем будем говорить как о вероятностной мере. В частности, из свойств M1 и М2 вытекают следующие очень полезные свойства вероятности.

1.P(A) = 1 − P(A).

2.Если A B, то P(B \ A) = P(B) − P(A).

3.P(A B) = P(A) + P(B) − P(AB).

Элементы комбинаторики

Пусть имеется конечное множество из n элементов. Эти элементы удобно моделировать шарами, лежащими в специальном сосуде (который традиционно называют урной). На шарах написаны цифры от 1 до n. Изучаются два

9

способа извлечения элементов: с возвращением — вынутый шар тут же возвращается в урну; без возвращения — вынутый шар в урну не возвращается.

Например, семизначный номер телефона образуется выбором 7 элементов из 10 (количество цифр от 0 до 9). Поскольку цифры в номере могут повторяться, это выборка с возвращением. Названия трех карт, извлеченных по порядку из колоды, образуют выборку без возвращения трех элементов из числа всех карт колоды, например: (туз треф, туз бубей, дама пик). Для выборки без возвращения распространено и другое название: размещение из n элементов по k. Выборки с возвращением называют также размещениями с повторениями. Число всех выборок с возвращением (или число размещений с повторениями) из n элементов по k равняется nk. Число всех выборок без возвращения (или число размещений) из n элементов по k обозначается Akn и вычисляется по формуле:

Число всех перестановок n элементов равняется n!.

Сочетаниями из n элементов по k называются выборки без возвращения объема k из генеральной совокупности объема n, различающиеся лишь по составу элементов.

Поскольку для сочетания порядок расположения его элементов значения не имеет, то можно сказать, что сочетания из n элементов по k есть всевозможные k-элементные подмножества генеральной совокупности объема n.

Число сочетаний из n элементов по k обозначается Cnk или (nk) и вычисляется формулой:

Выражения Cnk = (nk), заданные равенствами (1.3), уже встречались читателю в курсе высшей математики, например, в известной формуле бинома

Ньютона:

n

X

(a + b)n = Cnkakbn−k.

k=0

Поэтому выражения Cnk = (nk) называются биномиальными коэффициентами.

Пример 1.1 В партии из N изделий M бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки n изделий ровно m окажутся бракованными.

10